Todos os números decimais que terminam, e todos os que se repetem para sempre, podem ser escritos como fração. Converter um número decimal em fração leva três passos curtos na maioria dos números, mais um truque extra para as dízimas infinitas periódicas, como 0,333…. Abaixo encontras os dois métodos, uma lista dos decimais que vale a pena saber de cor e os erros que mais vezes atrapalham.
Como se converte um número decimal em fração?
Para converter um número decimal em fração, escreve os algarismos depois da vírgula sobre 10, 100 ou 1000, consoante o número de casas decimais. Uma casa decimal fica sobre 10, duas ficam sobre 100, três ficam sobre 1000. Depois simplifica a fração, dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número.
Exemplo
Converte 0,75 em fração.
- Conta as casas decimais. 0,75 tem duas, por isso o denominador é 100.
- Escreve os algarismos por cima. 0,75 = 75/100.
- Simplifica. Tanto 75 como 100 são divisíveis por 25, o que dá 3/4.
Assim, 0,75 = 3/4. Uma forma rápida de confirmar é dividir 3 por 4 no papel ou na calculadora. Voltas a obter 0,75.
Quanto é 2,5 em fração?
2,5 tem uma casa decimal, por isso passa a 25/10. Os dois números são divisíveis por 5, o que dá 5/2. Também podes manter a parte inteira à parte. O 2 fica como está e o 0,5 passa a 5/10, que simplificado dá 1/2. Assim, 2,5 = 5/2 = 2 1/2.
Quanto é 0,125 em fração?
0,125 tem três casas decimais, por isso passa a 125/1000. Os dois números são divisíveis por 125, o que dá 1/8. Vale a pena lembrar este, porque os oitavos aparecem muitas vezes em receitas, medidas e exercícios da escola.
O resultado deve ser um numeral misto ou uma fração imprópria?
Ambos estão corretos. 1,25 pode escrever-se como 5/4 (uma fração imprópria, com o numerador maior do que o denominador) ou como 1 1/4 (um numeral misto, com uma parte inteira e uma fração). Em alguns sítios os professores preferem uma das formas, por isso confirma o que o exercício pede. Para passar de uma para a outra, 5/4 quer dizer quatro quartos (uma unidade) mais um quarto.
Como se simplifica a fração?
Para simplificar uma fração, divide o numerador e o denominador pelo maior número que divide os dois, chamado máximo divisor comum. Se não o vires logo, divide várias vezes por números pequenos, como 2, 5 ou 10, até não haver mais nenhum que divida os dois. Uma fração está totalmente simplificada quando o único número que divide os dois é 1.
Exemplo
Converte 0,36. Tem duas casas decimais, por isso começa como 36/100. Os dois números são divisíveis por 4, o que dá 9/25. Agora 9 e 25 não têm nenhum divisor comum além de 1, por isso 9/25 é a forma mais simples.
Também podes ir por passos mais pequenos. 36/100 a dividir por 2 dá 18/50, e a dividir outra vez por 2 dá 9/25. Chegas ao mesmo sítio. Encontrar depressa o máximo divisor comum é uma competência à parte, e o jogo do m.d.c. transforma-a num desafio rápido. É um bom aquecimento antes de exercícios mais longos com frações.
Que decimais vale a pena saber de cor?
Há um pequeno grupo de decimais que aparece vezes sem conta, e saber as suas frações poupa tempo. Inclui as metades, os quartos, os quintos e os oitavos, mais as dízimas periódicas dos terços. Com estes de memória, muitas vezes consegues converter um decimal de cabeça, sem escrever nada.
- 0,1 = 1/10
- 0,2 = 1/5
- 0,25 = 1/4
- 0,4 = 2/5
- 0,5 = 1/2
- 0,6 = 3/5
- 0,75 = 3/4
- 0,8 = 4/5
- 0,125 = 1/8
- 0,375 = 3/8
- 0,625 = 5/8
- 0,875 = 7/8
- 0,333… = 1/3
- 0,666… = 2/3
- 0,1666… = 1/6
- 0,111… = 1/9
Exemplo
Quanto é 0,625? Se sabes que 0,125 = 1/8, então 0,625 é cinco vezes mais, por isso é 5/8. Contas que já conheces como esta deixam-te construir outras novas. Passar de uma forma para a outra torna-se muito mais rápido com uso regular, e rondas curtas do jogo de decimais ou do jogo de frações são uma forma divertida de ganhar essa rapidez. Bastam alguns minutos por dia para a lista acima se tornar familiar.
Como se converte uma dízima infinita periódica em fração?
Numa dízima em que os mesmos algarismos se repetem logo a seguir à vírgula, escreve a parte que se repete sobre o mesmo número de noves. Um algarismo que se repete fica sobre 9, dois ficam sobre 99, três ficam sobre 999. Depois simplifica. Assim, 0,777… = 7/9, e 0,272727… = 27/99, que simplificado dá 3/11.
Exemplo
Converte 0,454545… em fração. A parte que se repete é 45, que tem dois algarismos, por isso fica sobre 99. Isso dá 45/99. Os dois números são divisíveis por 9, por isso o resultado é 5/11. Podes confirmar dividindo 5 por 11, o que volta a dar 0,454545….
Quando a repetição começa mais tarde, como em 0,1666…, a regra dos noves precisa de um passo extra. Um método que funciona sempre usa um pouco de álgebra:
- Chama x ao número. Assim, x = 0,1666…
- Multiplica por 10 para passar o algarismo que não se repete para a frente da vírgula. 10x = 1,666…
- Multiplica por 100 para passar também uma repetição completa. 100x = 16,666…
- Subtrai a segunda linha à terceira. As partes que se repetem anulam-se. 90x = 15.
- Divide. x = 15/90, que simplificado dá 1/6.
0,333 é o mesmo que 1/3?
Não. 0,333 com exatamente três algarismos é 333/1000, um pouquinho menos do que 1/3. Só 0,333…, em que os 3 continuam para sempre, é exatamente 1/3. Quando escreves uma dízima periódica, mostra que se repete com reticências ou com um traço por cima dos algarismos que se repetem. Caso contrário, é um número diferente.
Porque é que 0,999… é igual a 1?
Isto surpreende muita gente. Parte de 1/3 = 0,333…. Multiplica os dois membros por 3. À esquerda obténs 3/3, que é 1. À direita obténs 0,999…. Assim, 0,999… = 1. A regra dos noves confirma, porque 0,999… = 9/9 = 1. Não é um número um pouco abaixo de 1, é outra forma de escrever 1.
Que erros se cometem ao converter decimais em frações?
Os erros mais comuns são usar o número errado de zeros no denominador, esquecer de simplificar, perder a parte inteira e tratar um decimal cortado como se fosse periódico. Cada um é fácil de detetar se confirmares o resultado dividindo o numerador pelo denominador.
Exemplo
Um aluno converte 0,05 e escreve 5/10. Isso é 0,5, dez vezes maior. 0,05 tem duas casas decimais, por isso fica sobre 100. O resultado correto é 5/100, que simplificado dá 1/20.
Tem atenção a estes:
- A potência de 10 errada. Conta todos os algarismos depois da vírgula, incluindo os zeros. 0,05 tem duas casas, não uma.
- Não simplificar. 75/100 está correto mas incompleto. O resultado esperado é 3/4.
- Esquecer a parte inteira. 3,2 é 3 2/10, que simplificado dá 3 1/5, ou 16/5. Não é 2/10.
- Cortar uma dízima periódica. 0,66 é 66/100 = 33/50, enquanto 0,666… é 2/3.
Que frações dão dízimas infinitas periódicas?
Uma fração irredutível dá um decimal que termina se o denominador não tiver fatores primos além de 2 e 5. Se o denominador tiver qualquer outro fator primo, como 3, 7 ou 11, a dízima repete-se para sempre. É uma forma rápida de saber o que esperar antes de dividir.
Exemplo
Olha para 3/8. O denominador 8 é 2 × 2 × 2, por isso o decimal termina. 3/8 = 0,375. Agora olha para 1/6. O denominador 6 é 2 × 3, e o 3 faz com que a dízima se repita. 1/6 = 0,1666…. Da mesma forma, 1/7 = 0,142857142857…, com os seis algarismos a repetirem-se para sempre, porque 7 é um número primo diferente de 2 e de 5.
Esta regra também explica porque é que os dois métodos acima cobrem todos os casos. Os decimais que terminam vêm de frações só com 2 e 5 no denominador, e as dízimas periódicas vêm de todas as outras. Seja como for, um decimal que termina ou que se repete é uma fração disfarçada.