Postać kierunkowa prostej y = ax + b krok po kroku

Dlaczego postać kierunkowa jest tak przydatna

Gdy równanie jest zapisane w tej postaci, od razu odczytasz z niego współczynnik kierunkowy i punkt startowy, a prostą naszkicujesz w kilka sekund. Poniżej dowiesz się, jak je odczytywać, jak wyznaczyć je z dwóch punktów albo z innej postaci i jakie błędy zdarzają się najczęściej.

Jak wyznaczyć postać kierunkową prostej?

Aby wyznaczyć postać kierunkową, potrzebujesz dwóch rzeczy, współczynnika kierunkowego a i wyrazu wolnego b. Współczynnik kierunkowy obliczysz z dwóch punktów ze wzoru a = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Następnie podstaw jeden punkt i współczynnik do y = ax + b i wylicz b. Zapisz wynik, wstawiając swoje liczby w miejsce a i b.

Przykład

Wyznacz prostą przechodzącą przez punkty (1, 5) i (3, 9).

1. Współczynnik kierunkowy: a = (9 − 5) : (3 − 1) = 4 : 2 = 2
2. Podstaw punkt (1, 5): 5 = 2 · 1 + b, więc b = 3
3. Równanie: y = 2x + 3
4. Sprawdź drugim punktem (3, 9): 2 · 3 + 3 = 9. Zgadza się.

To końcowe sprawdzenie zajmuje dziesięć sekund i wyłapuje większość błędów, więc warto zrobić z niego nawyk.

A jeśli współczynnik kierunkowy jest ułamkiem?

Ułamki są tu czymś zupełnie normalnym i ułamek nie oznacza, że coś poszło nie tak. Weź punkty (4, 0) i (−2, 4). Współczynnik kierunkowy wynosi (4 − 0) : (−2 − 4) = 4 : (−6) = −2/3. Wtedy z 0 = −2/3 · 4 + b otrzymujesz b = 8/3, więc y = −2/3x + 8/3. Sprawdzenie punktem (−2, 4): 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.

Zostaw współczynnik kierunkowy w postaci ułamka zwykłego zamiast zaokrąglonego ułamka dziesiętnego, bo ułamek zwykły jest dokładny i sprawdzenie wyjdzie idealnie. Jeśli to ułamki cię spowalniają, kilka rund w grze z ułamkami sprawi, że rozszerzanie i skracanie ułamków pójdzie dużo szybciej.

W rundzie powyżej 7/10 = 70/100, bo licznik i mianownik mnożymy przez 10.

Co oznaczają a i b w y = ax + b?

W równaniu y = ax + b liczba a jest współczynnikiem kierunkowym, a liczba b wyrazem wolnym. Współczynnik kierunkowy mówi, o ile zmienia się y, gdy x rośnie o 1. Wyraz wolny to wartość y dla x = 0, czyli punkt (0, b), w którym prosta przecina oś OY.

Przykład

W y = 3x − 2 współczynnik kierunkowy to 3, a wyraz wolny to −2. Prosta przecina oś OY w punkcie (0, −2), a z każdym krokiem o 1 w prawo wznosi się o 3. W y = −2x + 4 współczynnik kierunkowy to −2, więc prosta opada o 2 przy każdym kroku w prawo i przecina oś OY w punkcie (0, 4).

Podręcznik OpenStax College Algebra 2e (po angielsku) opisuje nachylenie jako „rise over run”, czyli przyrost w pionie podzielony przez przesunięcie w poziomie, a punkt przecięcia z osią OY jako punkt, w którym wartość wejściowa wynosi zero. Przy dodatnim współczynniku kierunkowym prosta wznosi się od lewej do prawej, przy ujemnym opada, a im większa liczba (bez względu na znak), tym bardziej stroma prosta.

Przykład z życia, który pomaga zrozumieć a i b

Świeczka ma 20 cm wysokości i co godzinę wypala się o 2 cm. Jej wysokość po t godzinach to h = −2t + 20. Liczba 20 to wartość początkowa (b), a −2 to zmiana w każdej godzinie (a). Po 3 godzinach świeczka ma 14 cm, a po 10 godzinach już jej nie ma. Wielu uczniom łatwiej myśleć o b jako wartości początkowej, a o a jako zmianie na każdym kroku.

Jak narysować prostą w postaci kierunkowej?

Aby narysować y = ax + b, zacznij od punktu (0, b) na osi OY. Stamtąd użyj współczynnika kierunkowego. Przesuń się o 1 w prawo i o a w górę (albo w dół, jeśli a jest ujemne), żeby znaleźć drugi punkt. Poprowadź prostą przez oba punkty i przedłuż ją.

Przykład

Narysuj y = 2x + 1.

1. Zaznacz punkt (0, 1) na osi OY.
2. Współczynnik 2 oznacza 2/1, więc przesuń się o 1 w prawo i o 2 w górę. Trafisz w punkt (1, 3).
3. Poprowadź prostą przez (0, 1) i (1, 3).

Dla współczynnika takiego jak −2/3 przesuń się o 3 w prawo i o 2 w dół. Gdy mianownik wyznacza krok w poziomie, zostajesz w węzłach kratki i łatwiej dokładnie narysować prostą.

Jak przekształcić postać ogólną w postać kierunkową?

Aby zamienić równanie takie jak Ax + By = C (czyli postać ogólną Ax + By + C = 0 z wyrazem wolnym po drugiej stronie) na postać kierunkową, wyznacz z niego y. Przenieś wyraz z x na drugą stronę, a potem podziel każdy wyraz przez liczbę stojącą przy y. Liczba przy x to teraz współczynnik kierunkowy, a liczba bez x to wyraz wolny.

Przykład

Przekształć 2x + 3y = 6.

1. Odejmij 2x od obu stron: 3y = −2x + 6
2. Podziel każdy wyraz przez 3: y = −2/3x + 2

Współczynnik kierunkowy to −2/3, a wyraz wolny to 2. Częsty błąd to odczytanie współczynnika kierunkowego jako 2 prosto z 2x + 3y = 6. Liczby oznaczają współczynnik kierunkowy i wyraz wolny dopiero wtedy, gdy y stoi samo po jednej stronie.

Równanie przez punkt czy postać kierunkowa?

Równanie prostej o danym współczynniku kierunkowym przechodzącej przez punkt, y − y₁ = a(x − x₁), przydaje się, gdy znasz punkt i współczynnik kierunkowy, bo od razu możesz je zapisać. Dla punktu (1, 5) i współczynnika 2 dostajesz y − 5 = 2(x − 1). Wymnóż i uprość, y = 2x − 2 + 5, i znów masz y = 2x + 3. Obie postacie opisują tę samą prostą.

Których prostych nie da się zapisać w postaci kierunkowej?

Prostych pionowych nie da się zapisać w postaci kierunkowej. Każdy punkt prostej pionowej ma to samo x, więc przesunięcie w poziomie wynosi 0, a współczynnik kierunkowy wymagałby dzielenia przez zero. Dlatego prosta pionowa nie ma współczynnika kierunkowego. Prostą pionową przechodzącą przez x = 3 zapisujemy po prostu jako x = 3.

Przykład

Punkty (3, 1) i (3, 6) leżą na prostej pionowej. Współczynnik kierunkowy wynosiłby (6 − 1) : (3 − 3) = 5 : 0, a to nie ma wyniku. Prosta ma więc równanie x = 3. Prosta pionowa nigdy też nie przecina osi OY, chyba że sama jest osią OY, więc nie ma wyrazu wolnego, który można by wstawić w miejsce b.

Proste poziome nie sprawiają kłopotu. Punkty (−1, 4) i (5, 4) dają współczynnik kierunkowy 0 : 6 = 0, więc prosta to y = 0x + 4, czyli po prostu y = 4.

Jakie błędy w postaci kierunkowej zdarzają się najczęściej?

Większość błędów w postaci kierunkowej to drobne pomyłki, a nie niezrozumienie tematu. Zamienia się współrzędne punktu, odejmuje w innej kolejności w liczniku i mianowniku wzoru na współczynnik kierunkowy albo odczytuje a i b, zanim y zostanie samo. Sprawdzenie gotowego równania jednym z punktów wyjściowych wyłapuje prawie wszystkie.

Szybkie sposoby na każdą pomyłkę

Oto pomyłki, które powtarzają się najczęściej, wraz z szybkim sposobem na każdą z nich.

• Mylenie x i y w punkcie. (5, 7) oznacza x = 5 i y = 7. Powtarzaj sobie przy czytaniu „najpierw w bok, potem w górę”.
• Zmiana kolejności odejmowania. Jeśli w liczniku liczysz 9 − 5, w mianowniku licz 3 − 1, za każdym razem zaczynając od tego samego punktu.
• Zamiana a i b. W y = 4 + 3x współczynnik kierunkowy to nadal 3, bo a to liczba stojąca przy x, gdziekolwiek się znajduje.
• Zgubiony minus. W y = −x + 2 współczynnik kierunkowy to −1, a nie 1.
• Przekonanie, że ułamek musi być błędem. Współczynniki takie jak 3/4 czy −2/3 są tak samo poprawne jak 2.

Ćwicz postać kierunkową, aż wejdzie ci w krew

Szybkie odczytywanie prostych przychodzi, gdy widzisz ich dużo. W grze z funkcjami liniowymi każdy atak to pytanie o prostą, więc ćwiczysz rozpoznawanie współczynników kierunkowych i wyrazów wolnych, a wcale nie czujesz, że odrabiasz pracę domową.

Wyliczenie b to też po prostu małe równanie w jednym kroku. Jeśli właśnie tu zwalniasz, gra z równaniami będzie dobrą rozgrzewką.

Same litery różnią się w zależności od kraju. W Polsce piszemy y = ax + b, tak samo jak we Francji. W krajach anglojęzycznych pisze się y = mx + b, w Rosji y = kx + b, a we Włoszech y = mx + q. Niezależnie od liter liczba przy x to zawsze współczynnik kierunkowy, a liczba bez x mówi, gdzie prosta przecina oś OY.

Dwie liczby opisują każdą prostą, która nie jest pionowa

Każdą prostą, która nie jest pionowa, można zapisać jako y = ax + b, więc dwie liczby wystarczą, żeby ją w pełni opisać. Współczynnik kierunkowy mówi, jak bardzo jest stroma i w którą stronę biegnie, a wyraz wolny, gdzie się zaczyna. Znajdź te dwie liczby, sprawdź równanie jednym punktem, a reszta przyjdzie sama.