Twierdzenie Pitagorasa: jak obliczyć bok trójkąta prostokątnego

Twierdzenie Pitagorasa pozwala obliczyć brakujący bok trójkąta prostokątnego, gdy znasz dwa pozostałe. To jeden krótki wzór, a² + b² = c², ale uczniowie często nie wiedzą, który bok jest który i kiedy dodawać, a kiedy odejmować. Ten poradnik omawia oba przypadki na przykładach, pokazuje błędy, na które trzeba uważać, i miejsca, w których twierdzenie pojawia się w codziennym życiu.

Czym jest twierdzenie Pitagorasa?

Twierdzenie Pitagorasa mówi, że w trójkącie prostokątnym kwadrat najdłuższego boku jest równy sumie kwadratów dwóch krótszych boków. Zapisane jako wzór: a² + b² = c². Tutaj a i b to dwa krótsze boki, nazywane przyprostokątnymi, a c to najdłuższy bok, nazywany przeciwprostokątną.

Przykład

Weź trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 cm i 4 cm. Podnieś obie przyprostokątne do kwadratu. 3² = 9 i 4² = 16. Dodaj je, a dostaniesz 25. Teraz zapytaj, jaka liczba podniesiona do kwadratu daje 25. Odpowiedź to 5, więc przeciwprostokątna ma 5 cm. Możesz to sprawdzić w drugą stronę, bo 5² = 25 = 9 + 16.

Dlaczego to działa?

Wyobraź sobie kwadrat narysowany na każdym boku trójkąta. Twierdzenie mówi, że pole dużego kwadratu na przeciwprostokątnej jest równe polom dwóch mniejszych kwadratów razem. Dla trójkąta 3, 4, 5 to 25 = 9 + 16.

Jednym ze sposobów, żeby zobaczyć dlaczego, jest klasyczny dowód obrazkowy. Weź cztery kopie tego samego trójkąta prostokątnego i ułóż je w dużym kwadracie tak, żeby w środku został przechylony kwadrat.

Ten środkowy kwadrat ma bok c, więc jego pole wynosi c². Teraz ułóż te same cztery trójkąty w tym samym dużym kwadracie w inny sposób. Pusta przestrzeń zamienia się w dwa kwadraty, jeden o boku a i jeden o boku b. Duży kwadrat i cztery trójkąty się nie zmieniły, więc pusta przestrzeń też nie. To oznacza, że c² = a² + b².

Jak obliczyć przeciwprostokątną?

Aby obliczyć przeciwprostokątną, podnieś dwa krótsze boki do kwadratu, dodaj wyniki i wyciągnij pierwiastek kwadratowy z sumy. Jako wzór: c = √(a² + b²). Wynik jest zawsze dłuższy od każdego z dwóch krótszych boków, co daje szybki sposób na sprawdzenie, czy nie popełniłeś błędu.

Przykład

Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne 6 m i 8 m.

1. Podnieś każdą przyprostokątną do kwadratu. 6² = 36 i 8² = 64.
2. Dodaj je. 36 + 64 = 100.
3. Wyciągnij pierwiastek kwadratowy. √100 = 10.

Przeciwprostokątna ma 10 m. Nie każdy wynik wychodzi liczbą całkowitą. Przy przyprostokątnych 5 i 7 dostajesz 25 + 49 = 74, a √74 to około 8,60. Jeśli pierwiastki idą ci powoli, kilka rund gry w pierwiastki kwadratowe pomoże ci szybko rozpoznawać kwadraty liczb naturalnych. Rozpoznanie 36, 64 i 100 na pierwszy rzut oka przyspiesza każdy z powyższych kroków.

Jak rozpoznać, który bok jest przeciwprostokątną?

Przeciwprostokątna to zawsze bok naprzeciwko kąta prostego i zawsze najdłuższy bok. Wielu uczniów gubi się, gdy trójkąt jest obrócony albo narysowany do góry nogami. Najpierw znajdź mały kwadracik oznaczający kąt prosty. Bok, który nie dotyka tego wierzchołka, to przeciwprostokątna, niezależnie od tego, gdzie leży na kartce.

Jak obliczyć brakujący krótszy bok?

Aby obliczyć brakujący krótszy bok, podnieś do kwadratu przeciwprostokątną i znany bok, a potem odejmij mniejszy kwadrat od większego. Następnie wyciągnij pierwiastek kwadratowy. Jako wzór: a = √(c² − b²). Tutaj odejmujesz, bo przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem, więc jej kwadrat to całość, od której zaczynasz.

Przykład

Trójkąt prostokątny ma przeciwprostokątną 13 cm i jedną przyprostokątną 5 cm.

1. Podnieś przeciwprostokątną do kwadratu. 13² = 169.
2. Podnieś znaną przyprostokątną do kwadratu. 5² = 25.
3. Odejmij. 169 − 25 = 144.
4. Wyciągnij pierwiastek kwadratowy. √144 = 12.

Brakujący bok ma 12 cm. Sprawdź, czy to ma sens. 12 jest mniejsze od 13, tak jak powinno być w przypadku przyprostokątnej. A 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13², więc trójkąt spełnia twierdzenie.

Oba przypadki rządzą się jedną prostą zasadą. Jeśli szukasz najdłuższego boku, dodawaj. Jeśli szukasz krótszego boku, odejmuj. Gdy ta zasada stanie się dla ciebie naturalna, gra w geometrię będzie fajnym miejscem, żeby wykorzystać ją w zadaniach z trójkątami. Wymaga szybkich odpowiedzi, dzięki czemu kroki stają się automatyczne.

Jakie błędy popełnia się przy twierdzeniu Pitagorasa?

Najczęstsze błędy to stosowanie twierdzenia do trójkąta bez kąta prostego, dodawanie zamiast odejmowania, zapominanie o pierwiastku na końcu i wybór złego boku jako przeciwprostokątnej. Każdego z nich łatwo uniknąć, gdy wiesz, na co zwracać uwagę.

Przykład

Uczeń ma przeciwprostokątną 10 i przyprostokątną 6, pisze 10² + 6² = 136, a potem √136 ≈ 11,66. Ten wynik jest dłuższy od przeciwprostokątnej, co dla przyprostokątnej jest niemożliwe. Poprawny krok to 100 − 36 = 64, a √64 = 8.

Oto błędy, na które trzeba uważać:

1. Stosowanie go do każdego trójkąta. Twierdzenie działa tylko wtedy, gdy jeden kąt ma dokładnie 90°.
2. Nazywanie nieznanego boku zawsze c. Tylko przeciwprostokątna to c. Jeśli nieznany bok to przyprostokątna, odejmujesz.
3. Zatrzymanie się przed pierwiastkiem. 6² + 8² = 100 daje c², a nie c. Bok wynosi √100 = 10.
4. Myślenie, że √(a² + b²) to to samo co a + b. Dla 3 i 4 mamy √(9 + 16) = 5, a 3 + 4 = 7.
5. Zbyt wczesne zaokrąglanie. W zadaniach z kilkoma krokami zachowaj dokładną wartość do końca i zaokrąglaj tylko ostateczny wynik.

Czy twierdzenie Pitagorasa działa dla wszystkich trójkątów?

Nie. Twierdzenie Pitagorasa działa tylko dla trójkątów prostokątnych, czyli takich, które mają jeden kąt równy dokładnie 90°. Działa też w drugą stronę. Jeśli trzy boki trójkąta spełniają a² + b² = c², trójkąt musi mieć kąt prosty. Ta odwrotna wersja to pewny sposób, żeby sprawdzić, czy narożnik jest prosty.

Przykład

Czy trójkąt o bokach 5, 12 i 13 jest prostokątny? Podnieś dwa krótsze boki do kwadratu i dodaj je. 25 + 144 = 169. Podnieś najdłuższy bok do kwadratu. 13² = 169. Wyniki się zgadzają, więc tak.

A boki 6, 7 i 9? 36 + 49 = 85, ale 9² = 81. Wyniki się nie zgadzają, więc trójkąt nie ma kąta prostego. Ponieważ 85 jest większe od 81, wszystkie jego kąty są mniejsze niż 90°.

Budowlańcy korzystają z tego samego pomysłu. Żeby sprawdzić, czy narożnik jest prosty, odmierzają 3 jednostki wzdłuż jednej ściany i 4 jednostki wzdłuż drugiej. Jeśli odległość między tymi dwoma znakami wynosi dokładnie 5 jednostek, narożnik jest kątem prostym. Sprawdza się każda jednostka, na przykład metry albo odcinki po 30 cm, o ile wszystkie trzy pomiary są w tej samej.

Czym jest trójka pitagorejska?

Trójka pitagorejska to zestaw trzech liczb naturalnych, które dokładnie spełniają a² + b² = c². Najbardziej znana to 3, 4, 5. Inne to 5, 12, 13, a także 8, 15, 17 i 7, 24, 25. Jeśli pomnożysz każdą liczbę w trójce przez tę samą liczbę, dostaniesz kolejną trójkę, na przykład 6, 8, 10.

Przykład

Sprawdź 8, 15, 17. 8² = 64 i 15² = 225. Razem to 289. A 17² = 289. Zgadza się. Podwojenie 3, 4, 5 daje 6, 8, 10, a potrojenie daje 9, 12, 15. Obie te trójki też pasują. Znajomość kilku trójek na pamięć pozwala od razu dostrzec odpowiedź w wielu zadaniach.

Czy wynik jest dokładny, czy tylko przybliżony?

Wynik z twierdzenia Pitagorasa jest dokładny, ale nie zawsze jest liczbą całkowitą. Trójkąt prostokątny o dwóch przyprostokątnych równych 1 ma przeciwprostokątną równą dokładnie √2. Jako ułamek dziesiętny √2 nigdy się nie kończy, więc 1,414 to tylko przybliżenie. Dlatego wielu nauczycieli prosi, żeby zostawić wynik w postaci √2.

Przykład

Sprawdź wersję dziesiętną. 1,414² = 1,999396, co jest bliskie 2, ale nie równe. Wartość √2 to dokładna długość. Pisz √2, gdy pytanie wymaga dokładnej odpowiedzi, i zaokrąglaj tylko wtedy, gdy pyta o ułamek dziesiętny, na przykład z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku (1,41).

Gdzie w prawdziwym życiu stosuje się twierdzenie Pitagorasa?

Twierdzenie Pitagorasa stosuje się zawsze, gdy ktoś potrzebuje odległości, której nie da się zmierzyć bezpośrednio. Budowlańcy sprawdzają nim proste narożniki, ludzie używają go, żeby bezpiecznie ustawić drabinę, mierzy się nim wielkość ekranów, a na mapie daje odległość w linii prostej między dwoma punktami.

Przykład

Drabina ma 4 m długości, a jej podstawa stoi 1 m od ściany. Jak wysoko na ścianie sięga? Drabina to przeciwprostokątna, więc odejmujesz. 4² − 1² = 16 − 1 = 15, a √15 to około 3,87 m.

Kilka innych codziennych zastosowań:

1. Wielkość ekranu. Ekran o szerokości 40 cm i wysokości 30 cm ma przekątną √(1600 + 900) = √2500 = 50 cm.
2. Odległości na mapie. Przejdź 3 km na wschód, a potem 4 km na północ, a znajdziesz się 5 km od miejsca startu, licząc w linii prostej.
3. Proste narożniki. Opisany wyżej sposób z 3, 4, 5 stosuje się przy ścianach, grządkach i podłogach z płytek.

Kto pierwszy odkrył twierdzenie Pitagorasa?

Twierdzenie nosi imię greckiego myśliciela Pitagorasa, ale sam pomysł jest dużo starszy. Babilońska gliniana tabliczka znana jako Plimpton 322, datowana na około 1800 r. p.n.e., zawiera liczby z trójek pitagorejskich ponad 1000 lat przed czasami Pitagorasa, jak wyjaśnia artykuł o badaniach na UNSW Sydney. Podobne pomysły pojawiają się we wczesnej matematyce indyjskiej i chińskiej.