Phi, liczba o wielkiej sławie
Matematycy oznaczają ją grecką literą φ (fi), a według obiegowej opinii ukrywa się w słonecznikach, słynnych budowlach i pięknych twarzach. Część tej sławy jest zasłużona, a spora część nie. Najpierw matematyka, potem uczciwa odpowiedź na pytanie, gdzie złoty podział naprawdę się pojawia.
Jak obliczyć złoty podział?
Złoty podział oblicza się ze wzoru φ = (1 + √5) : 2. Pierwiastek kwadratowy z 5 to około 2,236, więc dodajesz 1, dzielisz przez 2 i otrzymujesz około 1,618. Cyfry po przecinku nigdy się nie kończą i nigdy się nie powtarzają, bo φ jest liczbą niewymierną. Do większości codziennych zastosowań 1,618 w zupełności wystarczy.
Przykład
Policz to na kalkulatorze w trzech krokach.
- √5 ≈ 2,236
- 1 + 2,236 = 3,236
- 3,236 : 2 = 1,618
Zatem φ ≈ 1,618. Jeśli potrzebujesz większej dokładności, z dokładnością do dziesięciu miejsc po przecinku φ = 1,6180339887.
Skąd się bierze wzór na φ?
Weź odcinek i podziel go na dłuższą część a i krótszą część b. Podział jest złoty, gdy cały odcinek ma się do dłuższej części tak samo, jak dłuższa część do krótszej. Symbolicznie zapisujemy to jako (a + b) : a = a : b. Ta wspólna wartość to φ.
Teraz przyjmij, że krótsza część ma długość 1, więc dłuższa ma długość φ. Reguła przyjmuje postać (φ + 1) : φ = φ. Po pomnożeniu obu stron przez φ dostajesz φ² = φ + 1, czyli φ² − φ − 1 = 0. To równanie kwadratowe, a jego dodatnie rozwiązanie to (1 + √5) : 2. Encyklopedia Britannica opisuje to samo przekształcenie do postaci x² − x − 1 = 0.
Dlaczego 1,618, 0,618 i 2,618 są do siebie tak podobne?
Ponieważ φ² = φ + 1, podniesienie φ do kwadratu to po prostu dodanie 1. Zatem φ² ≈ 2,618. Gdy podzielisz to samo równanie przez φ, otrzymasz φ = 1 + 1 : φ, co oznacza, że 1 : φ = φ − 1 ≈ 0,618. Dlatego trzy różne liczby mają te same cyfry po przecinku.
Dlaczego złoty podział jest tak wyjątkowy?
Złoty podział jest wyjątkowy, bo φ to jedyna liczba dodatnia, której kwadrat jest równy tej liczbie powiększonej o jeden, a odwrotność tej liczbie pomniejszonej o jeden. Łączy też geometrię z liczeniem. Ta sama wartość pojawia się, gdy dzielisz odcinek w zrównoważony sposób, gdy rysujesz pięciokąt foremny i gdy dzielisz przez siebie sąsiednie liczby Fibonacciego.
Przykład
W pięciokącie foremnym o boku 1 każda przekątna (odcinek łączący wierzchołek z wierzchołkiem niesąsiednim) ma długość dokładnie φ, czyli około 1,618. Dlatego pięcioramienna gwiazda wpisana w pięciokąt jest pełna złotych proporcji. Każde ramię gwiazdy jest przecinane przez pozostałe linie w złotym stosunku.
Ta idea jest bardzo stara. Britannica wywodzi ją od Euklidesa, który w „Elementach” nazwał ją podziałem w „stosunku skrajnym i średnim”.
Czy złoty podział to to samo co pi?
Nie. Pi (π ≈ 3,14) to stosunek obwodu okręgu do jego średnicy, a złoty podział (φ ≈ 1,618) bierze się z podziału odcinka. Obie liczby są niewymierne i mają nieskończenie wiele cyfr po przecinku, i pewnie dlatego ludzie je mylą. Mają różne wartości i pochodzą z różnych figur.
Czy złoty podział i ciąg Fibonacciego to to samo?
Złoty podział i ciąg Fibonacciego to nie to samo, ale są ze sobą ściśle powiązane. Ciąg Fibonacciego to lista liczb naturalnych, w której każda liczba jest sumą dwóch poprzednich. Jeśli podzielisz każdą liczbę Fibonacciego przez poprzednią, wyniki będą coraz bliższe złotemu podziałowi.
Przykład
Weź sąsiednie liczby z ciągu Fibonacciego i podziel je.
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 89 : 55 ≈ 1,618
Wyniki skaczą raz powyżej, raz poniżej 1,618 i szybko się stabilizują. Przy 144 : 89 wynik zgadza się już z φ do trzech miejsc po przecinku. To świetne ćwiczenie z kalkulatorem dla dzieci, bo widzą, jak ze zwykłego dzielenia wyłania się prawidłowość.
Odnajdywanie reguły ukrytej w ciągu liczb to umiejętność, która wykracza daleko poza Fibonacciego. W grze w ciągi liczbowe każdy atak to ciąg z brakującą liczbą, a ty musisz odkryć regułę szybciej niż przeciwnik.
W rundzie powyżej każda liczba jest o 5 większa od poprzedniej, więc brakująca liczba to 24.
Jak narysować złoty prostokąt?
W złotym prostokącie dłuższy bok jest około 1,618 razy dłuższy od krótszego. Aby go narysować, pomnóż krótszy bok przez 1,618 albo podziel dłuższy bok przez 1,618, żeby znaleźć krótszy. Możesz też skonstruować go dokładnie za pomocą cyrkla, zaczynając od kwadratu, bez odmierzania jakichkolwiek ułamków dziesiętnych.
Przykład
Jeśli krótszy bok ma 10 cm, dłuższy ma 10 · 1,618 ≈ 16,2 cm. Jeśli strona internetowa ma 1000 pikseli szerokości i chcesz podzielić ją według złotej proporcji, podziel przez φ. Otrzymasz główną kolumnę o szerokości około 618 pikseli i boczną kolumnę o szerokości około 382 pikseli.
Aby narysować go cyrklem, wykonaj te kroki.
- Narysuj kwadrat o boku 1 (na przykład 1 decymetr).
- Zaznacz środek dolnego boku.
- Wbij nóżkę cyrkla w ten środek i rozstaw cyrkiel tak, by sięgał górnego wierzchołka po przeciwnej stronie. Ta odległość to √5 : 2, czyli około 1,118.
- Zatocz łuk w dół do przedłużenia dolnego boku. Nowa długość to 0,5 + 1,118 = 1,618.
- Dokończ prostokąt. Jego boki mają długości 1 i φ.
Jeśli odetniesz kwadrat od złotego prostokąta, pozostały kawałek jest kolejnym złotym prostokątem. Powtórz to, narysuj w każdym kwadracie ćwiartkę okręgu, a otrzymasz spiralę, która często pojawia się na ilustracjach złotego podziału. Taka geometria jest też częścią gry geometrycznej, w której figury, kąty i pola zamieniają się w szybkie wyzwania.
Gdzie złoty podział występuje w przyrodzie?
Najwyraźniejszym przykładem w przyrodzie jest sposób, w jaki wiele roślin rozmieszcza liście i nasiona. W koszyczku słonecznika każde nowe nasiono wyrasta obrócone względem poprzedniego mniej więcej o ten sam kąt, około 137,5°. Ten złoty kąt upakowuje nasiona ciasno, bez przerw, i tworzy spirale, których liczba często jest liczbą Fibonacciego.
Przykład
Złoty kąt wynika wprost z φ. Podziel pełny obrót przez φ² i otrzymasz 360° : 2,618 ≈ 137,5°. Można to też zobaczyć inaczej. Ten obrót dzieli okrąg na dwa łuki, około 222,5° i 137,5°, w złotej proporcji.
Przegląd opublikowany w 2022 roku przez badaczy z Uniwersytetu w Nottingham, The Golden Ratio in Nature, zbiera przykłady w wielu różnych skalach i opisuje skłonność złotej proporcji „do pojawiania się w wielu różnych dziedzinach nauki i sztuki”. Skłonność to dobre słowo. Wiele roślin podąża za innymi wzorami, więc nie jest to prawo natury.
Czy muszla łodzika to złota spirala?
Zwykle nie. Muszla łodzika rośnie po spirali logarytmicznej, która zachowuje kształt w miarę wzrostu, i to samo w sobie jest piękne. Pomiary prawdziwych muszli dają zwykle współczynnik wzrostu inny niż φ. Złota spirala narysowana na zdjęciu łodzika to ładny obrazek, a nie pomiar.
Czy złoty podział naprawdę występuje w sztuce, budowlach i twarzach?
Przeważnie nie. Twierdzenia, że Partenon, słynne obrazy czy atrakcyjne twarze są zbudowane według złotego podziału, nie wytrzymują starannych pomiarów. W artykule z 2022 roku w The Conversation matematyk Thomas Britz z UNSW wyjaśnia, że φ bardzo rzadko występuje w sztuce i architekturze starożytnej Grecji.
Przykład
Popularne twierdzenie o Partenonie mówi, że jego fasada mieści się w złotym prostokącie. Britz pisze, że dokładne obliczenia pokazują, iż to nieprawda. To samo dotyczy „testów złotej proporcji twarzy”, które oceniają celebrytów. Maska twarzy, na której się opierają, została obalona, a żadna pojedyncza liczba nie decyduje o tym, czy twarz jest piękna.
Częstym powodem, dla którego mit wciąż żyje, jest wybieranie tylko tych przykładów, które pasują. Niemal każdy budynek czy twarz ma jakąś parę długości, których stosunek jest bliski 1,6, zwłaszcza jeśli można samemu wybrać, gdzie mierzyć. Proporcje takie jak 3 : 2 = 1,5 czy 16 : 9 ≈ 1,78 też są przyjemne dla oka i znacznie częściej spotyka się je na ekranach i zdjęciach. Uczciwy test sprawdza wiele obiektów i liczy zarówno pudła, jak i trafienia.
Czy artyści i projektanci celowo używają złotego podziału?
Niektórzy tak. Projektanci czasem przyjmują 1,618 jako punkt wyjścia dla układu strony, ram obrazów czy rozmiarów czcionek, bo daje to podział ani zbyt równy, ani zbyt nierówny. To wybór projektowy, a nie dowód, że ta proporcja kryje się we wszystkim, co piękne. Działa tak samo jak każda inna zgrabna proporcja.
Złoty podział to prawdziwa matematyka, a nie reguła piękna
Złoty podział to dokładna liczba, (1 + √5) : 2 ≈ 1,618, o własnościach, które wywołują uśmiech na twarzach matematyków. Podniesienie jej do kwadratu dodaje 1, podzielenie przez nią 1 odejmuje 1, a liczby Fibonacciego coraz bardziej się do niej zbliżają. Kształtuje spirale nasion wielu roślin, a większość historii o twarzach i słynnych budowlach to pomiary naginane do oczekiwań.
Dobrym sposobem na odkrywanie jej z dzieckiem jest praktyka. Dzielcie liczby Fibonacciego na kalkulatorze, narysujcie złoty prostokąt cyrklem albo policzcie spirale na szyszce. Każde z tych zajęć pokazuje prawdziwą prawidłowość i żadne nie potrzebuje mitu, żeby było ciekawe.