三平方の定理(ピタゴラスの定理)を使うと、直角三角形の二つの辺がわかっているとき、残りの辺を求められます。a² + b² = c²という短い式一つですが、どの辺がどれなのか、いつたしていつ引くのかで、つまずく人がよくいます。このガイドでは、両方の場合を例を使って説明し、気をつけたいまちがいや、日常生活のどこでこの定理が出てくるかも紹介します。
三平方の定理とは?
三平方の定理とは、直角三角形で、いちばん長い辺の2乗が、短い二つの辺の2乗の和に等しいという定理です。式で書くと、a² + b² = c²です。ここで、aとbは直角をはさむ短い二つの辺、cはいちばん長い辺で、斜辺とよばれます。
例
直角をはさむ二つの辺が3 cmと4 cmの直角三角形を考えます。二つの辺をそれぞれ2乗します。3² = 9、4² = 16です。たすと25になります。次に、2乗すると25になる数を考えます。答えは5なので、斜辺は5 cmです。5² = 25 = 9 + 16なので、逆からも確かめられます。
なぜ成り立つのですか?
三角形のそれぞれの辺に、正方形をかいたところを想像してください。この定理は、斜辺にかいた大きな正方形の面積が、二つの小さな正方形の面積の合計に等しいことを表しています。3、4、5の三角形なら、25 = 9 + 16です。
その理由がわかる方法の一つに、昔からある図を使った証明があります。同じ直角三角形を四つ用意し、大きな正方形の中に並べて、真ん中にかたむいた正方形が残るようにします。
真ん中の正方形は一辺がcなので、面積はc²です。次に、同じ四つの三角形を、同じ大きな正方形の中に別の並べ方でおき直します。すると、空いた部分は、一辺がaの正方形と一辺がbの正方形の二つになります。大きな正方形も四つの三角形も変わっていないので、空いた部分の面積も変わっていません。つまり、c² = a² + b²です。
斜辺はどうやって求めますか?
斜辺を求めるには、短い二つの辺をそれぞれ2乗して、その結果をたし、合計の平方根をとります。式で書くと、c = √(a² + b²)です。答えはいつも、短い二つの辺のどちらよりも長くなります。これで、まちがえていないかをすばやく確かめられます。
例
直角をはさむ二つの辺が6 mと8 mの直角三角形があります。
- それぞれの辺を2乗します。6² = 36、8² = 64です。
- たします。36 + 64 = 100です。
- 平方根をとります。√100 = 10です。
斜辺は10 mです。答えがいつも整数になるとはかぎりません。辺が5と7なら、25 + 49 = 74で、√74はおよそ8.60です。平方根の計算に時間がかかるなら、平方根ゲームを何回かプレイすると、平方数がすぐにわかるようになります。36、64、100がひと目でわかれば、上のどのステップも速くなります。
どの辺が斜辺か、どうやってわかりますか?
斜辺はいつも直角の向かいにある辺で、いつもいちばん長い辺です。三角形が回転していたり、上下逆にかかれていたりすると、まよう人が多くいます。まず、直角を表す小さな四角のしるしを見つけましょう。その角にふれていない辺が、ページのどこにあっても斜辺です。
短い辺はどうやって求めますか?
わからない短い辺を求めるには、斜辺を2乗し、わかっている辺を2乗して、大きいほうから小さいほうを引きます。それから平方根をとります。式で書くと、a = √(c² − b²)です。ここで引き算をするのは、斜辺がいちばん大きい辺なので、その2乗が出発点になる合計だからです。
例
斜辺が13 cm、直角をはさむ辺の一つが5 cmの直角三角形があります。
- 斜辺を2乗します。13² = 169です。
- わかっている辺を2乗します。5² = 25です。
- 引きます。169 − 25 = 144です。
- 平方根をとります。√144 = 12です。
わからなかった辺は12 cmです。答えが正しそうか確かめましょう。12は13より短いので、直角をはさむ辺として正しい長さです。さらに、5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²なので、この三角形は定理にあてはまります。
二つの場合は、一つのかんたんなルールにまとめられます。いちばん長い辺を求めるならたす。短い辺を求めるなら引く。このルールに慣れてきたら、図形ゲームで三角形の問題を楽しく練習しましょう。すばやく答えることが求められるので、手順が自然に身につきます。
三平方の定理でよくあるまちがいは?
いちばんよくあるまちがいは、直角のない三角形に定理を使うこと、引くべきところでたしてしまうこと、最後に平方根をとり忘れること、斜辺をまちがえることです。どれも、気をつけるべき点だと知っていれば、かんたんに防げます。
例
ある人が、斜辺が10、直角をはさむ辺が6の三角形で、10² + 6² = 136と書き、√136 ≈ 11.66としました。この答えは斜辺より長いので、直角をはさむ辺としてはありえません。正しくは100 − 36 = 64で、√64 = 8です。
気をつけたいまちがいは次のとおりです。
- どんな三角形にも使ってしまう。この定理は、一つの角がちょうど90°のときだけ成り立ちます。
- わからない辺をいつもcとしてしまう。cは斜辺だけです。わからない辺が直角をはさむ辺なら、引き算をします。
- 平方根をとる前に止めてしまう。6² + 8² = 100で求まるのはc²で、cではありません。辺の長さは√100 = 10です。
- √(a² + b²)とa + bを同じだと考えてしまう。3と4なら、√(9 + 16) = 5ですが、3 + 4 = 7です。
- 早い段階で四捨五入してしまう。何段階もある問題では、最後まで正確な値のまま計算し、最後の答えだけを四捨五入します。
三平方の定理はすべての三角形で成り立ちますか?
いいえ。三平方の定理が成り立つのは、一つの角がちょうど90°の直角三角形だけです。また、この定理は逆も成り立ちます。三角形の三つの辺がa² + b² = c²を満たせば、その三角形には必ず直角があります。この逆の性質を使えば、角が直角かどうかを確実に確かめられます。
例
辺が5、12、13の三角形は直角三角形でしょうか?短い二つの辺を2乗してたします。25 + 144 = 169です。いちばん長い辺を2乗します。13² = 169です。等しいので、直角三角形です。
辺が6、7、9ならどうでしょう?36 + 49 = 85ですが、9² = 81です。等しくないので、この三角形には直角がありません。85は81より大きいので、すべての角が90°より小さくなります。
大工さんも同じ考え方を使います。角が直角かどうかを確かめるために、一方の壁にそって3単位分、もう一方の壁にそって4単位分の長さをはかります。二つのしるしのあいだの距離がちょうど5単位分なら、その角は直角です。三つの長さを同じ単位ではかれば、メートルでも30 cmずつでも、どんな単位でもかまいません。
ピタゴラス数とは?
ピタゴラス数とは、a² + b² = c²をぴったり満たす三つの整数の組です。いちばんよく知られているのは3、4、5です。ほかにも、5、12、13や、8、15、17、7、24、25などがあります。組のすべての数に同じ数をかけると、6、8、10のように、別の組ができます。
例
8、15、17を確かめましょう。8² = 64、15² = 225です。合わせると289です。そして17² = 289です。あてはまりますね。3、4、5を2倍すると6、8、10に、3倍すると9、12、15になります。どちらもあてはまります。いくつかの組を覚えておくと、多くの問題で答えにすぐ気づけます。
答えは正確な値ですか、それとも近い値ですか?
三平方の定理で求めた答えは正確な値ですが、いつも整数になるとはかぎりません。直角をはさむ二つの辺が1の直角三角形では、斜辺はちょうど√2です。√2を小数で表すと終わりがないので、1.414は近似値にすぎません。だから多くの先生は、答えを√2のまま書くように言います。
例
小数で確かめてみましょう。1.414² = 1.999396で、2に近いですが、2ではありません。√2が正確な長さです。正確な答えを求められたら√2と書き、小数で答えるように言われたときだけ、たとえば小数第2位まで(1.41)のように四捨五入します。
三平方の定理は日常生活のどこで使われていますか?
三平方の定理は、直接はかれない距離が必要なときにいつも使われます。大工さんは角が直角かを確かめるのに使い、はしごを安全に立てかけるときにも使われます。画面の大きさもこの定理ではかられ、地図では二つの地点のあいだの直線距離がわかります。
例
長さ4 mのはしごがあり、その足もとは壁から1 m離れています。はしごは壁のどの高さまで届くでしょうか?はしごが斜辺なので、引き算をします。4² − 1² = 16 − 1 = 15で、√15はおよそ3.87 mです。
日常での使い道を、ほかにもいくつか紹介します。
- 画面の大きさ。横40 cm、縦30 cmの画面の対角線は、√(1,600 + 900) = √2,500 = 50 cmです。
- 地図上の距離。東へ3 km歩き、次に北へ4 km歩くと、出発点から直線で5 kmのところにいます。
- 直角の角。上で紹介した3、4、5の確かめ方は、壁や花壇、タイルの床に使われます。
三平方の定理を最初に見つけたのはだれですか?
この定理はピタゴラスの定理ともよばれ、ギリシャの思想家ピタゴラスにちなんで名づけられていますが、考え方そのものはずっと古いものです。UNSWシドニーの研究についての記事で説明されているように、紀元前1800年ごろのものとされる「プリンプトン322」というバビロニアの粘土板には、ピタゴラスが生きた時代より1,000年以上前に、ピタゴラス数の数が並んでいます。古代インドや中国の数学にも、似た考え方が見られます。