傾きと1点を通る直線の式（点傾き形）と y = mx + b との使い分け

傾きと1点を通る直線の式はどう書く？

傾きを m に、わかっている点の座標を x₁ と y₁ に代入します。x と y は文字のまま残します。この2つは、直線上のほかのすべての点を表しています。直線上の1点と傾きがわかっているときは、この傾きと1点を通る直線の式（点傾き形）を使います。

例題

点 (2, 3) を通り、傾きが 2 の直線の式を求めましょう。

1. 点から x₁ = 2、y₁ = 3 です。
2. 傾きから m = 2 です。
3. 代入すると y − 3 = 2(x − 2) です。

これで完成で、整理する必要もありません。確かめたいときは、別の点で試してみましょう。(2, 3) から右に1、上に2進むと (3, 5) に着きます。この値を代入すると、左辺は 5 − 3 = 2、右辺は 2(3 − 2) = 2。ちゃんと一致します。

(2, 3) が式の中にそのまま入っていることに注目してください。グラフをかくときは、まずこの点に鉛筆を置いて、そこから広げていけます。

2点を通る直線の式はどう求める？

まず m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) で傾きを求めます。次に、2点のどちらか一方を選び、その傾きと一緒に y − y₁ = m(x − x₁) に代入します。どちらの点を選んでもかまいません。式の見た目は違っても、整理すればどちらも同じ直線を表します。

例題

2点 (1, −2)、(4, 7) を通る直線の式を求めましょう。

1. 傾き：m = (7 − (−2)) ÷ (4 − 1) = 9 ÷ 3 = 3
2. (1, −2) を使うと y − (−2) = 3(x − 1)、つまり y + 2 = 3(x − 1)
3. (4, 7) を使うと y − 7 = 3(x − 4)

どちらを展開しても y = 3x − 5 になります。宿題を解答と照らし合わせる前に知っておくと安心です。生徒が (4, 7) を使い、解答が (1, −2) を使っていれば、2つの式は違って見えますが、どちらも間違いではありません。

点の座標が負のとき、なぜ符号が変わる？

公式では点の座標を引きます。座標が負の数なら、負の数を引くことになり、それはたし算に変わります。だから点 (−4, −1) からは y + 1 と x + 4 が出てきます。整理する前にかっこを省かずに書くのが、符号のミスを防ぐいちばん簡単な方法です。

例題

点 (−4, −1) を通り、傾きが 1/2 の直線の式を求めましょう。

1. かっこ付きで書くと y − (−1) = 1/2(x − (−4))
2. 整理すると y + 1 = 1/2(x + 4)

逆向きにも使えます。y + 5 = −2(x − 6) なら、直線上の点は (6, 5) ではなく (6, −5) です。式の中に見える符号と、座標の符号はいつも反対になります。

傾きと切片の形 y = mx + b に直すには？

かっこを展開し、左辺の数を右辺に移項して y だけを残します。これで傾きと切片の形 y = mx + b になります。変形しても傾きは変わりません。最後に単独で残る数が y 切片で、直線が y 軸と交わるところです。

例題

y − 3 = 2(x − 2) を変形しましょう。

1. かっこを展開する：y − 3 = 2x − 4
2. 両辺に 3 をたす：y = 2x − 1

傾きは 2 のままで、直線は y 軸と (0, −1) で交わります。上のグラフでもこの点が確認できます。逆向きも同じくらい簡単です。y = −3x + 5 で x = 1 とすると y = 2 です。点 (1, 2) と傾き −3 から y − 2 = −3(x − 1) が得られます。

どの形を使えばいい？

すでにわかっている情報に合う形を使いましょう。

• 点傾き形は、1点と傾き、または2点がわかっているとき。
• 傾きと切片の形は、傾きと y 切片を読み取りたいときや、グラフをかきたいとき。
• 一般形 Ax + By = C は、直線と両方の座標軸との交点が必要なとき。

多くの先生は、最終的な答えを y = mx + b の形で書くよう求めます。点傾き形から始めて、最後に変形してもまったく問題ありません。

傾きと1点を通る直線の公式はどこから来た？

傾きの公式を変形しただけです。直線上に定点 (x₁, y₁) をとり、同じ直線上に別の点 (x, y) をとります。2点間の傾きは m = (y − y₁) ÷ (x − x₁) です。両辺に (x − x₁) をかけると y − y₁ = m(x − x₁) になります。

例題

引き続き点 (2, 3) を通り傾き 2 の直線を使って、点 (5, 9) を調べます。(2, 3) から (5, 9) への傾きは (9 − 3) ÷ (5 − 2) = 6 ÷ 3 = 2 です。傾きが同じなので、(5, 9) はこの直線上にあります。点傾き形が表しているのはまさにこのことで、9 − 3 = 2(5 − 2) です。

無料の教科書 OpenStax Elementary Algebra 2e でも、同じ方法で公式を導いています。そのあと、2点を通る直線や、平行な直線・垂直な直線にこの公式を使っていて、次の節はそこから続きます。

平行な直線や垂直な直線に使うには？

平行な直線の傾きは、もとの直線と同じです。垂直な直線の傾きは、逆数の符号を変えたものです。つまり分数を上下ひっくり返して、符号を変えます。傾き 2 は −1/2 に、傾き −3/4 は 4/3 になります。新しい傾きがわかったら、与えられた点と一緒に点傾き形に代入します。

例題

点 (2, 3) を通り、y = 2x − 1 に垂直な直線の式を求めましょう。

1. もとの傾きは 2、つまり 2/1 です。
2. ひっくり返して符号を変えると −1/2 です。
3. 点傾き形：y − 3 = −1/2(x − 2)
4. 傾きと切片の形：y = −1/2x + 4

x = 2 ですぐに確かめましょう。−1/2 × 2 + 4 = 3 で、点の y 座標と一致します。点 (6, 0) を通る平行な直線なら、傾きは 2 のままで y − 0 = 2(x − 6)、つまり y = 2x − 12 です。

どんな直線でも点傾き形で書ける？

ほとんどの直線は書けます。例外は x 軸に垂直な直線です。すべての点の x 座標が同じなので、x の増加量が 0 になり、傾きを求めると 0 で割ることになってしまいます。そのため、点 (3, 1) を通るこの直線は x = 3 と書きます。水平な直線はまったく問題ありません。傾きがただの 0 だからです。

例題

点 (1, 4) を通る水平な直線を考えます。点傾き形で書くと y − 4 = 0(x − 1) です。0 に何をかけても 0 なので、式は y − 4 = 0、つまり y = 4 になります。

点傾き形を練習するには？

直線の問題を速く解けるようになるには、たくさんの問題に触れることです。一次関数ゲームでは、直線の問題で戦います。たとえば (−2, 2) から (0, −6) への傾きを聞かれ、正解すれば攻撃が決まります。答えは (−6 − 2) ÷ (0 − (−2)) = −8 ÷ 2 = −4 です。

変形のステップは、毎回小さな方程式です。そこで時間がかかるなら、方程式ゲームを何回かやってみてください。公式を変形するときは、いつも同じ手順を使います。

傾きを表す文字は国によっても違います。日本の中学校では y = ax + b のように a を使い、高校では m がよく使われます。k を使う国もあります。どの文字でも、かっこの前の数が傾きで、かっこの中の数は直線上の1点から来ています。

1点と傾きで直線は決まる

1つの点と傾きがあれば、直線は1本に決まります。点傾き形は、それをそのまま式にしたものです。ていねいに代入し、符号が片づくまでかっこを残し、別の点で結果を確かめましょう。そのあと y = mx + b にするのは、短い2ステップだけです。