φ（ファイ）、評判の大きな数
数学者はこの数をギリシャ文字のφ（ファイ）で表します。ヒマワリや有名な建築物、美しい顔に隠れていると評判の数です。その評判の一部は正当ですが、多くはそうではありません。まず数学を説明し、そのあとで黄金比が本当に現れる場所を正直に見ていきましょう。
黄金比はどうやって計算するの？
黄金比はφ = (1 + √5) ÷ 2という式で計算します。5の平方根は約2.236なので、1を足して2で割ると約1.618になります。φは無理数なので、小数は終わることも繰り返すこともありません。日常のほとんどの用途では1.618で十分です。
例
電卓を使って3ステップで求めてみましょう。
- √5 ≈ 2.236
- 1 + 2.236 = 3.236
- 3.236 ÷ 2 = 1.618
つまりφ ≈ 1.618です。もっと精度が必要なら、小数第10位までφ = 1.6180339887です。
(1 + √5) ÷ 2はどこから来るの？
線分を長い部分aと短い部分bに分けます。線分全体と長い部分の比が、長い部分と短い部分の比と等しいとき、その分け方を黄金分割といいます。式で書くと(a + b) ÷ a = a ÷ bです。この共通の値がφです。
ここで短い部分を1とすると、長い部分はφになります。式は(φ + 1) ÷ φ = φとなります。両辺にφを掛けるとφ² = φ + 1、つまりφ² − φ − 1 = 0です。これは二次方程式で、その正の解が(1 + √5) ÷ 2です。ブリタニカ百科事典でも、同じようにx² − x − 1 = 0へ変形する方法が説明されています。
1.618、0.618、2.618はなぜ似ているの？
φ² = φ + 1なので、φを2乗すると1が足されるだけです。だからφ² ≈ 2.618です。同じ式をφで割るとφ = 1 + 1 ÷ φとなり、1 ÷ φ = φ − 1 ≈ 0.618がわかります。3つの違う数の小数部分が同じなのはこのためです。
黄金比はなぜ特別なの？
黄金比が特別なのは、2乗するともとの数に1を足した数になり、逆数がもとの数から1を引いた数になる、ただひとつの正の数だからです。また、図形と数をつなぐ数でもあります。線分をバランスよく分けるとき、正五角形をかくとき、隣り合うフィボナッチ数を割るときに、同じ値が現れます。
例
1辺が1の正五角形では、どの対角線（ある頂点から隣り合わない頂点まで引いた線）も長さがちょうどφ、約1.618です。そのため、正五角形の中にかいた星形（五芒星）は黄金比だらけです。星の各先端は、ほかの線によって黄金比に分けられています。
この考えはとても古いものです。ブリタニカによると、起源はユークリッドにさかのぼり、彼は『原論』の中でこれを「外中比」と呼びました。
黄金比は円周率と同じ？
いいえ。円周率（π ≈ 3.14）は円周と直径の比で、黄金比（φ ≈ 1.618）は線分の分け方から生まれます。どちらも小数が無限に続く無理数なので、混同されやすいのでしょう。値も、もとになる図形も違います。
黄金比とフィボナッチ数列は同じもの？
黄金比とフィボナッチ数列は同じものではありませんが、深く結びついています。フィボナッチ数列は、どの数も前の2つの数の和になっている整数の並びです。各フィボナッチ数を1つ前の数で割ると、答えはどんどん黄金比に近づきます。
例
フィボナッチ数列の隣り合う数を割ってみましょう。
- 5 ÷ 3 ≈ 1.667
- 8 ÷ 5 = 1.6
- 13 ÷ 8 = 1.625
- 21 ÷ 13 ≈ 1.615
- 34 ÷ 21 ≈ 1.619
- 89 ÷ 55 ≈ 1.618
答えは1.618より大きくなったり小さくなったりしながら、すぐに落ち着きます。144 ÷ 89では、もう小数第3位までφと一致します。ふつうの割り算から規則が見えてくるので、子どもにぴったりの電卓遊びです。
数の並びの裏にある規則を見つける力は、フィボナッチにとどまらず役に立ちます。数列ゲームでは、攻撃のたびに1つの数が抜けた数列が出てきて、相手より先に規則を見抜く必要があります。
上のラウンドでは、どの数も前の数より5大きいので、抜けている数は24です。
黄金長方形はどうやってかくの？
黄金長方形は、長い辺が短い辺の約1.618倍の長方形です。かくときは、短い辺に1.618を掛けるか、長い辺を1.618で割って短い辺を求めます。正方形から始めてコンパスを使えば、小数を測らずに正確に作図することもできます。
例
短い辺が10cmなら、長い辺は10 × 1.618 ≈ 16.2cmです。幅1000ピクセルのページを黄金比で分けたいなら、φで割ります。約618ピクセルのメイン列と約382ピクセルのサイド列になります。
コンパスで作図するには、次の手順に従います。
- 1辺が1（たとえば1デシメートル、つまり10cm）の正方形をかきます。
- 下の辺の中点に印をつけます。
- コンパスの針をその中点に置き、反対側の上の頂点まで開きます。この長さは√5 ÷ 2、約1.118です。
- コンパスを回して、延長した下の辺まで下ろします。新しい長さは0.5 + 1.118 = 1.618です。
- 長方形を完成させます。辺の長さは1とφです。
黄金長方形から正方形を切り取ると、残りの部分もまた黄金長方形になります。これを繰り返し、各正方形に四分円をかくと、黄金比の図でよく見るらせん（黄金らせん）ができます。こうした図形の問題は図形ゲームにも登場し、図形や角度、面積がテンポのよいチャレンジになります。
自然の中で黄金比はどこに現れる？
自然の中で一番わかりやすい例は、多くの植物の葉や種の並び方です。ヒマワリの花の中心では、新しい種が前の種からほぼ同じ角度、約137.5°ずつ回転した位置に育ちます。この黄金角によって種はすき間なくぎっしり詰まり、らせんの本数はフィボナッチ数になることがよくあります。
例
黄金角はφから直接求められます。1回転をφ²で割ると、360° ÷ 2.618 ≈ 137.5°になります。別の見方をすると、この回転は円を約222.5°と約137.5°の2つの弧に黄金比で分けています。
ノッティンガム大学の研究者による2022年のレビュー論文The Golden Ratio in Natureは、さまざまなスケールの例を集め、この比が「多くの異なる科学や芸術の分野に現れる傾向」について述べています。「傾向」というのが正しい言葉です。ほかの規則に従う植物もたくさんあるので、自然の法則ではありません。
オウムガイの殻は黄金らせん？
たいていは違います。オウムガイは対数らせんを描いて成長し、大きくなっても形が変わりません。それ自体が美しい性質です。実際の殻を測ると、成長の比率はφとは違う値になることが多いのです。オウムガイの写真に重ねた黄金らせんは、きれいな絵であって、測定結果ではありません。
黄金比は本当に美術や建築、顔に隠れている？
ほとんどの場合、答えはノーです。パルテノン神殿や名画、魅力的な顔が黄金比に従っているという主張は、ていねいに測ると成り立ちません。2022年のThe Conversationの記事で、ニューサウスウェールズ大学（UNSW）の数学者トーマス・ブリッツは、古代ギリシャの美術や建築にφが見つかることはごくまれだと説明しています。
例
パルテノン神殿についてよく聞く主張は、正面が黄金長方形にぴったり収まるというものです。ブリッツは、慎重に計算するとこの主張は誤りだとわかると書いています。有名人の顔を採点する「黄金比の顔診断」も同じです。もとになっている顔のマスクはすでに否定されていて、顔が美しいかどうかを決めるひとつの数などありません。
この神話が生き残る理由としてよくあるのが、都合のよい例だけを選ぶことです。ほとんどどの建物や顔にも、比が1.6に近い長さの組がひとつはあります。どこを測るか自分で選べるならなおさらです。3 ÷ 2 = 1.5や16 ÷ 9 ≈ 1.78といった比も見た目に心地よく、画面や写真ではずっとよく使われています。公平に確かめるなら、たくさんのものを調べ、当たりだけでなく外れも数える必要があります。
芸術家やデザイナーは黄金比を意図して使っている？
使う人もいます。デザイナーはレイアウトや額縁、文字の大きさを決める出発点として1.618を使うことがあります。均等すぎず、偏りすぎない分け方になるからです。それはデザイン上の選択であって、美しいものすべてに黄金比が隠れている証拠ではありません。ほかの整った比率と同じように役立つというだけです。
黄金比は美の法則ではなく本物の数学
黄金比は(1 + √5) ÷ 2 ≈ 1.618という正確な数で、数学者を楽しませる性質を持っています。2乗すると1増え、1をφで割ると1減り、隣り合うフィボナッチ数の比はこの値に近づいていきます。多くの植物の種のらせんを形づくる一方で、顔や有名な建物の話のほとんどは、願望に合わせた測り方の産物です。
子どもと一緒に探るなら、手を動かすのが一番です。電卓でフィボナッチ数を割ってみる、コンパスで黄金長方形をかく、松ぼっくりのらせんを数える。どれも本物の規則を見せてくれますし、神話がなくても十分おもしろいものです。