Zuzenaren ekuazio esplizitua (y = mx + n) urratsez urrats azalduta

Zergatik den hain erabilgarria ekuazio esplizitua

Ekuazio bat era honetan idatzita dagoenean, malda eta abiapuntua zuzenean irakur ditzakezu, eta zuzena segundo gutxitan marraztu. Jarraian ikusiko duzu nola irakurri, nola lortu bi puntutatik edo ekuazioaren beste forma batetik abiatuta, eta zein diren gehien errepikatzen diren akatsak.

Nola aurkitzen da zuzenaren ekuazio esplizitua?

Ekuazio esplizitua aurkitzeko bi datu behar dituzu, m malda eta n jatorriko ordenatua. Malda bi puntutatik lortzen da, m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁) erabiliz. Ondoren, puntu bat eta malda y = mx + n ekuazioan ordezkatu, eta n askatzen duzu. Idatzi emaitza, m eta n letren ordez zure zenbakiak jarrita.

Adibidea

Aurkitu (1, 5) eta (3, 9) puntuetatik igarotzen den zuzena.

1. Malda: m = (9 − 5) : (3 − 1) = 4 : 2 = 2
2. Erabili (1, 5) puntua: 5 = 2 · 1 + n, beraz n = 3
3. Ekuazioa: y = 2x + 3
4. Egiaztatu beste puntuarekin (3, 9): 2 · 3 + 3 = 9. Ondo dago.

Azken egiaztapen horrek hamar segundo besterik ez ditu behar eta akats gehienak harrapatzen ditu, beraz merezi du ohitura bihurtzea.

Eta malda zatiki bat bada?

Zatikiak guztiz normalak dira hemen, eta zatiki bat ateratzeak ez du esan nahi oker zabiltzanik. Har ditzagun (4, 0) eta (−2, 4) puntuak. Malda (4 − 0) : (−2 − 4) = 4 : (−6) = −2/3 da. Orduan, 0 = −2/3 · 4 + n ekuaziotik n = 8/3 ateratzen da, beraz y = −2/3x + 8/3. Egiaztatu (−2, 4) puntuarekin: 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.

Utzi malda zatiki gisa, eta ez biribildu hamartar batera, zatikia zehatza delako eta egiaztapena ezin hobeto aterako delako. Zatikiek moteltzen bazaituzte, zatikien jokoan txanda batzuk eginez gero askoz azkarrago aurkituko dituzu zatiki baliokideak eta askoz azkarrago sinplifikatuko dituzu.

Goiko txandan, 7/10 = 70/100, zenbakitzailea eta izendatzailea biak 10ez biderkatzen direlako.

Zer esan nahi dute m eta n letrek y = mx + n ekuazioan?

y = mx + n ekuazioan, m malda da eta n jatorriko ordenatua. Maldak adierazten du zenbat aldatzen den y, x 1 handitzen denean, hau da, zuzena zenbat igotzen den aurrera egiten duen unitate bakoitzeko. Jatorriko ordenatua y-ren balioa da x = 0 denean, hau da, zuzenak y ardatza ebakitzen duen (0, n) puntua.

Adibidea

y = 3x − 2 ekuazioan, malda 3 da eta jatorriko ordenatua −2. Zuzenak y ardatza (0, −2) puntuan ebakitzen du, eta eskuinera egiten duen 1eko urrats bakoitzean 3 igotzen da. y = −2x + 4 ekuazioan, malda −2 da, beraz zuzena 2 jaisten da eskuinera egiten duen urrats bakoitzean, eta y ardatza (0, 4) puntuan ebakitzen du.

OpenStax College Algebra 2e (ingelesez) testu-liburuak malda «igoera zati aurrerapena» gisa deskribatzen du, eta jatorriko ordenatua sarrerako balioa zero den puntu gisa. Malda positiboa duen zuzena ezkerretik eskuinera igotzen da, malda negatiboa duena jaitsi egiten da, eta zenbat eta handiagoa izan zenbakia (zeinua kontuan hartu gabe), orduan eta aldapatsuagoa da zuzena.

m eta n eguneroko bizitzan irudikatzeko modu bat

Kandela batek 20 cm ditu, eta orduko 2 cm erretzen da. t ordu igaro ondoren, haren altuera h = −2t + 20 da. 20 abiapuntua da (n), eta −2 ordu bakoitzean zenbat aldatzen den (m). 3 orduren buruan 14 cm ditu, eta 10 orduren buruan erabat erreta dago. Ikasle askori errazagoa zaie n hasierako balio gisa eta m urrats bakoitzeko aldaketa gisa pentsatzea.

Nola irudikatzen da zuzen bat ekuazio esplizitutik?

y = mx + n irudikatzeko, hasi jatorriko ordenatuan, y ardatzeko (0, n) puntuan. Hortik aurrera, erabili malda «igoera zati aurrerapena» gisa. Mugitu eskuinera aurrerapena adina eta gora igoera adina (edo behera, malda negatiboa bada) bigarren puntu bat aurkitzeko. Marraztu bi puntuetatik igarotzen den zuzena eta luzatu.

Adibidea

Irudikatu y = 2x + 1.

1. Markatu jatorriko ordenatua (0, 1).
2. 2 maldak 2/1 esan nahi du, beraz egin 1 eskuinera eta 2 gora. (1, 3) puntura iristen zara.
3. Marraztu (0, 1) eta (1, 3) puntuetatik igarotzen den zuzena.

−2/3 bezalako malda batekin, egin 3 eskuinera eta 2 behera. Izendatzailea aurrerapen gisa erabiltzen baduzu, beti sareko puntuetara iristen zara, eta errazagoa da zuzena zehaztasunez marraztea.

Nola pasatzen da ekuazio orokorretik ekuazio esplizitura?

Ax + By = C bezalako ekuazio bat era esplizitura pasatzeko, askatu y. Eraman x-ren gaia beste aldera, eta zatitu gai guztiak y-ren aurrean dagoen zenbakiaz. x-ren aurrean dagoen zenbakia da orain malda, eta bakarrik dagoen zenbakia jatorriko ordenatua.

Adibidea

Bihurtu 2x + 3y = 6.

1. Kendu 2x bi aldeetan: 3y = −2x + 6
2. Zatitu gai guztiak 3z: y = −2/3x + 2

Malda −2/3 da eta jatorriko ordenatua 2. Ohiko akatsa da malda 2 dela irakurtzea, zuzenean 2x + 3y = 6 ekuaziotik. Zenbakiek malda eta jatorriko ordenatua adierazten dituzte y alde batean bakarrik dagoenean soilik.

Puntu-malda ekuazioa ala ekuazio esplizitua?

Puntu-malda ekuazioa, y − y₁ = m(x − x₁), erabilgarria da puntu bat eta malda ezagutzen dituzunean, berehala idatz dezakezulako. (1, 5) puntuarekin eta 2 maldarekin, y − 5 = 2(x − 1) lortzen duzu. Garatu eta sinplifikatu, y = 2x − 2 + 5, eta berriro y = 2x + 3 duzu. Bi formek zuzen bera deskribatzen dute.

Zein zuzen ezin dira idatzi ekuazio esplizituan?

Zuzen bertikalak ezin dira ekuazio esplizituan idatzi. Zuzen bertikal bateko puntu guztiek x bera dute, beraz aurrerapena 0 da, eta malda kalkulatzeko zeroz zatitu beharko litzateke. Horregatik, zuzen bertikal baten malda ez dago definituta. x = 3-tik igarotzen den zuzen bertikala x = 3 idazten da, besterik gabe.

Adibidea

(3, 1) eta (3, 6) puntuak zuzen bertikal batean daude. Malda (6 − 1) : (3 − 3) = 5 : 0 litzateke, eta horrek ez du emaitzarik. Beraz, zuzena x = 3 da. Gainera, zuzen bertikal batek ez du inoiz y ardatza ebakitzen, y ardatza bera ez bada, beraz ez du n-ren ordez jartzeko jatorriko ordenaturik.

Zuzen horizontalekin ez dago arazorik. (−1, 4) eta (5, 4) puntuek 0 : 6 = 0 malda ematen dute, beraz zuzena y = 0x + 4 da, hau da, y = 4 besterik ez.

Zein dira ekuazio esplizituarekin egiten diren akats ohikoenak?

Ekuazio esplizituarekin egiten diren akats gehienak arreta-huts txikiak dira, ez ulermen-arazoak. Puntu baten koordenatuak trukatzen dira, maldaren formulan goian eta behean ordena desberdinean kentzen da, edo m eta n irakurtzen dira y askatu aurretik. Amaierako ekuazioa hasierako puntuetako batekin egiaztatuz gero, ia guztiak harrapatzen dira.

Arreta-huts bakoitzerako konponbide azkarrak

Hauek dira behin eta berriz agertzen diren arreta-hutsak, bakoitzaren konponbide azkarrarekin.

• x eta y nahastea puntu batean. (5, 7) puntuak x = 5 eta y = 7 esan nahi du. Irakurtzean, pentsatu «lehenik horizontalean, gero bertikalean».
• Kenketaren ordena aldatzea. Goian 9 − 5 egiten baduzu, behean egin 3 − 1, bi aldietan puntu bera lehenengo jarrita.
• m eta n nahastea. y = 4 + 3x ekuazioan malda 3 da oraindik ere, m x-ri lotutako zenbakia delako, edozein tokitan dagoela ere.
• Minus zeinu bat galtzea. y = −x + 2 ekuazioan malda −1 da, ez 1.
• Zatiki bat gaizki egon behar dela pentsatzea. 3/4 edo −2/3 bezalako maldak 2 bezain baliozkoak dira.

Ekuazio esplizitua lantzea berez atera arte

Zuzenak azkar irakurtzen ikasteko, asko ikusi behar dira. Funtzio linealen jokoan, eraso bakoitza zuzen bati buruzko galdera bat da, beraz maldak eta jatorriko ordenatuak antzematen asko praktikatzen duzu, etxeko lanak egiten ari zarela iruditu gabe.

n askatzea ere urrats bakarreko ekuazio txiki bat besterik ez da. Urrats horretan moteltzen bazara, ekuazioen jokoa berotze ona da.

Letrak herrialdearen arabera aldatzen dira. Euskadiko eta Nafarroako ikastetxeetan, Espainia osoan bezala, y = mx + n idazten da. Ingelesez hitz egiten den herrialdeetan, berriz, y = mx + b idazten da, Frantzian eta Polonian y = ax + b, Errusian y = kx + b eta Italian y = mx + q. Letrak edozein direla ere, x-ren aurreko zenbakia malda da beti, eta bakarrik dagoen zenbakiak adierazten du non ebakitzen duen zuzenak y ardatza.

Bi zenbakik deskribatzen dute bertikala ez den edozein zuzen

Bertikala ez den edozein zuzen y = mx + n gisa idatz daiteke, beraz bi zenbaki nahikoak dira hura osorik deskribatzeko. Maldak adierazten du zenbat makurtzen den eta zein norabidetan, eta jatorriko ordenatuak non hasten den. Aurkitu bi zenbaki horiek, egiaztatu ekuazioa puntu batekin, eta gainerakoa berez etorriko da.