Geradengleichung y = mx + b Schritt für Schritt erklärt

Warum die Form y = mx + b so praktisch ist

Steht eine Gleichung in dieser Form da, liest du Steigung und Startpunkt direkt ab und skizzierst die Gerade in Sekunden. Hier erfährst du, wie du sie liest, wie du sie aus zwei Punkten oder aus einer anderen Form aufstellst und welche Fehler am häufigsten passieren.

Wie stellt man die Geradengleichung y = mx + b auf?

Um die Geradengleichung aufzustellen, brauchst du zwei Dinge, die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Die Steigung berechnest du aus zwei Punkten mit m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Dann setzt du einen Punkt und die Steigung in y = mx + b ein und löst nach b auf. Schreib das Ergebnis mit deinen Zahlen anstelle von m und b auf.

Beispiel

Gesucht ist die Gerade durch die Punkte (1 | 5) und (3 | 9).

1. Steigung: m = (9 − 5) : (3 − 1) = 4 : 2 = 2
2. Punkt (1 | 5) einsetzen: 5 = 2 · 1 + b, also b = 3
3. Gleichung: y = 2x + 3
4. Probe mit dem anderen Punkt (3 | 9): 2 · 3 + 3 = 9. Passt.

Diese Probe dauert zehn Sekunden und deckt die meisten Fehler auf, deshalb lohnt es sich, sie zur Gewohnheit zu machen.

Was, wenn die Steigung ein Bruch ist?

Brüche sind hier völlig normal, und ein Bruch heißt nicht, dass du dich verrechnet hast. Nimm die Punkte (4 | 0) und (−2 | 4). Die Steigung ist (4 − 0) : (−2 − 4) = 4 : (−6) = −2/3. Dann ergibt 0 = −2/3 · 4 + b den Wert b = 8/3, also y = −2/3x + 8/3. Probe mit (−2 | 4): 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.

Lass die Steigung als Bruch stehen statt als gerundete Dezimalzahl, denn der Bruch ist exakt und die Probe geht genau auf. Wenn dich vor allem die Brüche bremsen, machen ein paar Runden im Bruchrechnen-Spiel das Erweitern und Kürzen deutlich schneller.

In der Runde oben ist 7/10 = 70/100, weil Zähler und Nenner beide mit 10 multipliziert werden.

Was bedeuten m und b in y = mx + b?

In y = mx + b ist m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt. Die Steigung gibt an, um wie viel sich y ändert, wenn x um 1 größer wird. Am Steigungsdreieck kannst du sie als Höhenunterschied geteilt durch den Schritt nach rechts ablesen. Der y-Achsenabschnitt ist der Wert von y bei x = 0, also der Punkt (0 | b), in dem die Gerade die y-Achse schneidet.

Beispiel

Bei y = 3x − 2 ist die Steigung 3 und der y-Achsenabschnitt −2. Die Gerade schneidet die y-Achse bei (0 | −2), und mit jedem Schritt um 1 nach rechts geht sie 3 nach oben. Bei y = −2x + 4 ist die Steigung −2, die Gerade fällt also mit jedem Schritt nach rechts um 2, und sie schneidet die y-Achse bei (0 | 4).

Das Lehrbuch OpenStax College Algebra 2e (auf Englisch) beschreibt die Steigung als „rise over run“, also Anstieg pro Schritt nach rechts, und den y-Achsenabschnitt als den Punkt, an dem der Eingabewert null ist. Eine positive Steigung steigt von links nach rechts, eine negative fällt, und je größer die Zahl (ohne Vorzeichen), desto steiler die Gerade.

Ein Beispiel aus dem Alltag für m und b

Eine Kerze ist 20 cm hoch und brennt pro Stunde 2 cm ab. Ihre Höhe nach t Stunden ist h = −2t + 20. Die 20 ist der Startwert (b), und −2 ist die Änderung pro Stunde (m). Nach 3 Stunden ist sie 14 cm hoch, nach 10 Stunden ist sie weg. Vielen fällt es leichter, sich b als Startwert und m als Änderung pro Schritt vorzustellen.

Wie zeichnet man eine Gerade mit y = mx + b?

Um y = mx + b zu zeichnen, beginnst du beim y-Achsenabschnitt, dem Punkt (0 | b) auf der y-Achse. Von dort aus nutzt du die Steigung mit einem Steigungsdreieck. Geh um 1 nach rechts und um m nach oben (oder nach unten, wenn m negativ ist), dann hast du einen zweiten Punkt. Zeichne eine Gerade durch beide Punkte und verlängere sie.

Beispiel

Zeichne y = 2x + 1.

1. Trage den y-Achsenabschnitt (0 | 1) ein.
2. Die Steigung 2 bedeutet 2/1, also 1 nach rechts und 2 nach oben. So landest du bei (1 | 3).
3. Zeichne die Gerade durch (0 | 1) und (1 | 3).

Bei einer Steigung wie −2/3 gehst du 3 nach rechts und 2 nach unten. Wenn du den Nenner als Schritt nach rechts nimmst, bleibst du auf den Kästchenecken, und die Gerade lässt sich genauer zeichnen.

Wie formt man die allgemeine Form in y = mx + b um?

Um eine Gleichung wie Ax + By = C in die Form y = mx + b zu bringen, löst du sie nach y auf. Bring den x-Term auf die andere Seite und teile dann jeden Term durch die Zahl vor y. Die Zahl vor x ist jetzt die Steigung, und die Zahl ohne x ist der y-Achsenabschnitt.

Beispiel

Forme 2x + 3y = 6 um.

1. Auf beiden Seiten 2x abziehen: 3y = −2x + 6
2. Jeden Term durch 3 teilen: y = −2/3x + 2

Die Steigung ist −2/3, der y-Achsenabschnitt ist 2. Ein häufiger Fehler ist, die Steigung direkt aus 2x + 3y = 6 als 2 abzulesen. Die Zahlen bedeuten erst dann Steigung und Achsenabschnitt, wenn y allein auf einer Seite steht.

Punkt-Steigungs-Form oder y = mx + b?

Die Punkt-Steigungs-Form y − y₁ = m(x − x₁) ist praktisch, wenn du einen Punkt und die Steigung kennst, weil du sie sofort aufschreiben kannst. Für den Punkt (1 | 5) und die Steigung 2 ergibt sich y − 5 = 2(x − 1). Ausmultiplizieren und zusammenfassen, y = 2x − 2 + 5, und du bist wieder bei y = 2x + 3. Beide Formen beschreiben dieselbe Gerade.

Welche Geraden lassen sich nicht als y = mx + b schreiben?

Senkrechte Geraden lassen sich nicht in der Form y = mx + b schreiben. Jeder Punkt auf einer senkrechten Geraden hat dasselbe x, der Schritt nach rechts ist also 0, und für die Steigung müsste man durch null teilen. Deshalb ist die Steigung einer senkrechten Geraden nicht definiert. Eine senkrechte Gerade durch x = 3 schreibt man einfach als x = 3.

Beispiel

Die Punkte (3 | 1) und (3 | 6) liegen auf einer senkrechten Geraden. Die Steigung wäre (6 − 1) : (3 − 3) = 5 : 0, und das hat kein Ergebnis. Die Gerade ist also x = 3. Eine senkrechte Gerade schneidet die y-Achse außerdem nie, außer sie ist selbst die y-Achse, also gibt es auch keinen y-Achsenabschnitt, den man für b einsetzen könnte.

Waagerechte Geraden sind kein Problem. Die Punkte (−1 | 4) und (5 | 4) ergeben eine Steigung von 0 : 6 = 0, die Gerade ist also y = 0x + 4, einfach y = 4.

Welche Fehler passieren bei y = mx + b am häufigsten?

Die meisten Fehler bei y = mx + b sind kleine Flüchtigkeitsfehler, keine Verständnisprobleme. Man vertauscht die Koordinaten eines Punktes, subtrahiert oben und unten in der Steigungsformel in unterschiedlicher Reihenfolge oder liest m und b ab, bevor y allein steht. Eine Probe der fertigen Gleichung mit einem der Ausgangspunkte deckt fast alle davon auf.

Schnelle Lösungen für jeden Fehler

Hier sind die Fehler, die immer wieder vorkommen, jeweils mit einer schnellen Lösung.

• x und y in einem Punkt verwechseln. (5 | 7) heißt x = 5 und y = 7. Sag dir beim Lesen „erst nach rechts, dann nach oben“.
• Die Reihenfolge beim Subtrahieren ändern. Wenn du oben 9 − 5 rechnest, rechne unten 3 − 1, beide Male mit demselben Punkt zuerst.
• m und b vertauschen. In y = 4 + 3x ist die Steigung trotzdem 3, denn m ist die Zahl vor dem x, egal wo sie steht.
• Ein Minuszeichen vergessen. In y = −x + 2 ist die Steigung −1, nicht 1.
• Glauben, ein Bruch müsse falsch sein. Steigungen wie 3/4 oder −2/3 sind genauso gültig wie 2.

Üben, bis y = mx + b ganz automatisch geht

Geraden schnell lesen lernst du, indem du viele davon siehst. Im Spiel zu linearen Funktionen ist jeder Angriff eine Frage zu einer Geraden, so übst du Steigungen und Achsenabschnitte, ohne dass es sich nach Hausaufgaben anfühlt.

Das Auflösen nach b ist außerdem nur eine kleine Gleichung mit einem Schritt. Wenn du genau da ins Stocken kommst, ist das Gleichungsspiel ein gutes Aufwärmen.

Die Buchstaben selbst sind nicht überall gleich. In Deutschland ist y = mx + b verbreitet, je nach Bundesland und Schulbuch auch y = mx + n oder y = mx + t. In englischsprachigen Ländern schreibt man ebenfalls y = mx + b, in Frankreich und Polen y = ax + b, in Russland y = kx + b und in Italien y = mx + q. Egal welche Buchstaben, die Zahl vor x ist immer die Steigung, und die Zahl allein gibt an, wo die Gerade die y-Achse schneidet.

Zwei Zahlen beschreiben jede Gerade, die nicht senkrecht ist

Jede Gerade, die nicht senkrecht ist, lässt sich als y = mx + b schreiben, also reichen zwei Zahlen, um sie vollständig zu beschreiben. Die Steigung sagt, wie steil sie ist und in welche Richtung sie verläuft, und der y-Achsenabschnitt sagt, wo sie beginnt. Finde diese zwei Zahlen, mach die Probe mit einem Punkt, und der Rest ergibt sich.