Med Pythagoras' sætning kan du finde en manglende side i en retvinklet trekant, når du kender de to andre. Det er én kort formel, a² + b² = c², men elever går ofte i stå ved, hvilken side der er hvilken, og hvornår man skal lægge sammen eller trække fra. Denne guide gennemgår begge tilfælde med eksempler, de fejl, du skal holde øje med, og hvor sætningen dukker op i hverdagen.
Hvad er Pythagoras' sætning?
Pythagoras' sætning siger, at i en retvinklet trekant er kvadratet på den længste side lig med summen af kvadraterne på de to korte sider. Skrevet som formel er det a² + b² = c². Her er a og b de to korte sider, som kaldes kateterne, og c er den længste side, som kaldes hypotenusen.
Eksempel
Tag en retvinklet trekant med kateter på 3 cm og 4 cm. Sæt begge kateter i anden. 3² = 9 og 4² = 16. Læg dem sammen, og du får 25. Spørg nu, hvilket tal i anden giver 25. Svaret er 5, så hypotenusen er 5 cm. Du kan tjekke det den anden vej, for 5² = 25 = 9 + 16.
Hvorfor virker den?
Forestil dig et kvadrat tegnet på hver side af trekanten. Sætningen siger, at arealet af det store kvadrat på hypotenusen er lig med de to mindre kvadrater tilsammen. For trekanten med siderne 3, 4 og 5 er det 25 = 9 + 16.
En måde at se hvorfor på er et klassisk bevis med en tegning. Tag fire ens retvinklede trekanter, og læg dem inde i et stort kvadrat, så der bliver et skråt kvadrat tilbage i midten.
Kvadratet i midten har siden c, så dets areal er c². Læg nu de samme fire trekanter på en anden måde inde i det samme store kvadrat. Det tomme område bliver til to kvadrater, et med siden a og et med siden b. Det store kvadrat og de fire trekanter ændrede sig ikke, så det tomme område gjorde heller ikke. Det betyder, at c² = a² + b².
Hvordan finder man hypotenusen?
For at finde hypotenusen sætter du de to korte sider i anden, lægger resultaterne sammen og tager kvadratroden af summen. Som formel er det c = √(a² + b²). Svaret er altid længere end hver af de to korte sider, og det er en hurtig måde at tjekke, at du ikke har lavet en fejl.
Eksempel
En retvinklet trekant har kateter på 6 m og 8 m.
- Sæt hver katete i anden. 6² = 36 og 8² = 64.
- Læg dem sammen. 36 + 64 = 100.
- Tag kvadratroden. √100 = 10.
Hypotenusen er 10 m. Ikke alle svar bliver et helt tal. Med kateter på 5 og 7 får du 25 + 49 = 74, og √74 er cirka 8,60. Hvis kvadratrødder føles langsomme, hjælper et par runder i kvadratrodsspillet dig med hurtigt at genkende kvadrattallene. Når du kan se 36, 64 og 100 med det samme, går alle trinene ovenfor hurtigere.
Hvordan ved man, hvilken side der er hypotenusen?
Hypotenusen er altid siden over for den rette vinkel, og den er altid den længste side. Mange elever bliver forvirrede, når trekanten er drejet eller tegnet på hovedet. Find først det lille kvadrat, der markerer den rette vinkel. Den side, der ikke rører det hjørne, er hypotenusen, uanset hvor den står på siden.
Hvordan finder man en manglende katete?
For at finde en manglende katete sætter du hypotenusen i anden, sætter den kendte side i anden og trækker det mindste kvadrat fra det største. Tag derefter kvadratroden. Som formel er det a = √(c² − b²). Her trækker du fra, fordi hypotenusen er den største side, så dens kvadrat er den helhed, du starter fra.
Eksempel
En retvinklet trekant har en hypotenuse på 13 cm og en katete på 5 cm.
- Sæt hypotenusen i anden. 13² = 169.
- Sæt den kendte katete i anden. 5² = 25.
- Træk fra. 169 − 25 = 144.
- Tag kvadratroden. √144 = 12.
Den manglende side er 12 cm. Tjek, at det giver mening. 12 er kortere end 13, som en katete skal være. Og 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13², så trekanten passer med sætningen.
De to tilfælde følger én enkel regel. Leder du efter den længste side, lægger du sammen. Leder du efter en kortere side, trækker du fra. Når den regel føles naturlig, er geometrispillet et sjovt sted at øve opgaver med trekanter. Det kræver hurtige svar, og det hjælper trinene med at blive automatiske.
Hvilke fejl laver man med Pythagoras' sætning?
De mest almindelige fejl er at bruge sætningen på en trekant uden en ret vinkel, at lægge sammen, når man skulle trække fra, at glemme kvadratroden til sidst og at vælge den forkerte side som hypotenuse. Hver af dem er let at undgå, når du ved, at du skal holde øje med den.
Eksempel
En elev har en hypotenuse på 10 og en katete på 6 og skriver 10² + 6² = 136 og derefter √136 ≈ 11,66. Det svar er længere end hypotenusen, og det er umuligt for en katete. Det rigtige trin er 100 − 36 = 64, og √64 = 8.
Her er de fejl, du skal holde øje med:
- At bruge den på alle trekanter. Sætningen virker kun, når én vinkel er præcis 90°.
- Altid at kalde den ukendte side c. Kun hypotenusen er c. Hvis den ukendte side er en katete, trækker du fra.
- At stoppe før kvadratroden. 6² + 8² = 100 giver c², ikke c. Siden er √100 = 10.
- At tro, at √(a² + b²) er det samme som a + b. Med 3 og 4 er √(9 + 16) = 5, mens 3 + 4 = 7.
- At afrunde for tidligt. I opgaver med flere trin beholder du den eksakte værdi til sidst og afrunder kun det endelige svar.
Gælder Pythagoras' sætning for alle trekanter?
Nej. Pythagoras' sætning gælder kun for retvinklede trekanter, som har én vinkel på præcis 90°. Den virker også omvendt. Hvis de tre sider i en trekant passer i a² + b² = c², må trekanten have en ret vinkel. Den omvendte udgave er en pålidelig måde at tjekke, om et hjørne er retvinklet.
Eksempel
Er en trekant med siderne 5, 12 og 13 retvinklet? Sæt de to korte sider i anden, og læg dem sammen. 25 + 144 = 169. Sæt den længste side i anden. 13² = 169. De passer, så ja.
Hvad med siderne 6, 7 og 9? 36 + 49 = 85, men 9² = 81. De passer ikke, så trekanten har ingen ret vinkel. Fordi 85 er større end 81, er alle dens vinkler mindre end 90°.
Håndværkere bruger den samme idé. For at tjekke, at et hjørne er retvinklet, måler de 3 enheder langs den ene væg og 4 enheder langs den anden. Hvis afstanden mellem de to mærker er præcis 5 enheder, er hjørnet en ret vinkel. Enhver enhed kan bruges, for eksempel meter eller trin på 30 cm, så længe alle tre mål bruger den samme.
Hvad er en pythagoræisk tripel?
En pythagoræisk tripel er tre hele tal, der passer præcis i a² + b² = c². Den mest kendte er 3, 4, 5. Andre er 5, 12, 13, og derefter 8, 15, 17 og 7, 24, 25. Hvis du ganger alle tal i en tripel med det samme tal, får du en ny tripel, for eksempel 6, 8, 10.
Eksempel
Tjek 8, 15, 17. 8² = 64 og 15² = 225. Tilsammen er det 289. Og 17² = 289. Det passer. Hvis du fordobler 3, 4, 5, får du 6, 8, 10, og hvis du tredobler, får du 9, 12, 15. Begge dele passer også. Når du kan et par tripler udenad, kan du se svaret med det samme i mange opgaver.
Er svaret eksakt eller kun tilnærmet?
Svaret fra Pythagoras' sætning er eksakt, men det er ikke altid et helt tal. En retvinklet trekant med to kateter på 1 har en hypotenuse på præcis √2. Som decimaltal slutter √2 aldrig, så 1,414 er kun en tilnærmelse. Derfor beder mange lærere dig om at lade svaret stå som √2.
Eksempel
Tjek decimaludgaven. 1,414² = 1,999396, og det er tæt på 2, men ikke lig med 2. Værdien √2 er den eksakte længde. Skriv √2, når opgaven beder om et eksakt svar, og afrund kun, når den beder om et decimaltal, for eksempel med to decimaler (1,41).
Hvor bruges Pythagoras' sætning i virkeligheden?
Pythagoras' sætning bruges, hver gang nogen har brug for en afstand, der ikke kan måles direkte. Håndværkere bruger den til at tjekke rette hjørner, folk bruger den til at stille en stige sikkert op, skærmstørrelser måles med den, og på et kort giver den den direkte afstand mellem to punkter.
Eksempel
En stige er 4 m lang, og dens fod står 1 m fra en væg. Hvor højt op ad væggen når den? Stigen er hypotenusen, så du trækker fra. 4² − 1² = 16 − 1 = 15, og √15 er cirka 3,87 m.
Et par andre hverdagseksempler:
- Skærmstørrelser. En skærm, der er 40 cm bred og 30 cm høj, har en diagonal på √(1600 + 900) = √2500 = 50 cm.
- Afstande på et kort. Gå 3 km mod øst og derefter 4 km mod nord, og du ender 5 km fra startpunktet i lige linje.
- Rette hjørner. Tjekket med 3, 4, 5 ovenfor bruges til vægge, højbede og flisegulve.
Hvem fandt først Pythagoras' sætning?
Sætningen er opkaldt efter den græske tænker Pythagoras, men idéen er meget ældre. En babylonisk lertavle kendt som Plimpton 322, dateret til omkring 1800 f.Kr., viser tal fra pythagoræiske tripler mere end 1000 år før Pythagoras levede, som en artikel om forskning ved UNSW Sydney forklarer. Lignende idéer findes i tidlig indisk og kinesisk matematik.
Træn disse herefter