Tot decimal que s'acaba, i tot decimal que es repeteix indefinidament, es pot escriure com a fracció. Passar de decimal a fracció requereix tres passos curts per a la majoria de nombres, més un truc addicional per als decimals periòdics com 0,333…. A continuació trobaràs tots dos mètodes, una llista dels decimals que val la pena saber de memòria i els errors més freqüents.
Com es passa un decimal a fracció?
Per passar un decimal a fracció, escriu les xifres que hi ha després de la coma sobre 10, 100 o 1000, segons quantes xifres decimals tingui. Una xifra decimal va sobre 10, dues van sobre 100, tres van sobre 1000. Després simplifica la fracció dividint el numerador i el denominador pel mateix nombre.
Exemple
Passa 0,75 a fracció.
- Compta les xifres decimals. 0,75 en té dues, així que el denominador és 100.
- Escriu les xifres a sobre. 0,75 = 75/100.
- Simplifica. Tant 75 com 100 es poden dividir per 25, i això dona 3/4.
Per tant, 0,75 = 3/4. Una manera ràpida de comprovar-ho és dividir 3 entre 4 en paper o amb la calculadora. Tornes a obtenir 0,75.
Quant és 2,5 en fracció?
2,5 té una xifra decimal, així que es converteix en 25/10. Tots dos nombres es poden dividir per 5, i això dona 5/2. També pots mantenir la part entera a part. El 2 es queda igual i el 0,5 es converteix en 5/10, que se simplifica a 1/2. Per tant, 2,5 = 5/2 = 2 1/2.
Quant és 0,125 en fracció?
0,125 té tres xifres decimals, així que es converteix en 125/1000. Tots dos nombres es poden dividir per 125, i això dona 1/8. Val la pena recordar-la, perquè els vuitens surten sovint en receptes, mesures i exercicis de l'escola.
El resultat ha de ser un nombre mixt o una fracció impròpia?
Totes dues formes són correctes. 1,25 es pot escriure com a 5/4 (una fracció impròpia, amb el numerador més gran que el denominador) o com a 1 1/4 (un nombre mixt, amb una part entera i una fracció). En alguns llocs els professors prefereixen una de les dues formes, així que mira què demana l'exercici. Per passar d'una a l'altra, 5/4 vol dir quatre quarts (una unitat) més un quart.
Com se simplifica la fracció?
Per simplificar una fracció, divideix el numerador i el denominador pel nombre més gran que divideixi tots dos, anomenat màxim comú divisor. Si no el veus de seguida, divideix una vegada i una altra per nombres petits com 2, 5 o 10 fins que ja no n'hi hagi cap altre que divideixi tots dos. Una fracció està del tot simplificada quan l'únic nombre que divideix tots dos és l'1.
Exemple
Passa 0,36 a fracció. Té dues xifres decimals, així que comença com a 36/100. Tots dos nombres es poden dividir per 4, i això dona 9/25. Ara 9 i 25 no tenen cap divisor comú a part de l'1, així que 9/25 és la forma més simple.
També ho pots fer amb passos més petits. 36/100 dividit per 2 és 18/50, i tornat a dividir per 2 és 9/25. Arribes al mateix lloc. Trobar ràpidament el màxim comú divisor és una habilitat en si mateixa, i el joc del MCD la converteix en un repte ràpid. És un bon escalfament abans d'exercicis de fraccions més llargs.
Quins decimals val la pena saber de memòria?
Hi ha un grup petit de decimals que surten una vegada i una altra, i saber-ne les fraccions estalvia temps. Inclouen les meitats, els quarts, els cinquens i els vuitens, a més dels decimals periòdics dels terços. Si te'ls saps de memòria, sovint pots passar un decimal a fracció mentalment sense escriure res.
- 0,1 = 1/10
- 0,2 = 1/5
- 0,25 = 1/4
- 0,4 = 2/5
- 0,5 = 1/2
- 0,6 = 3/5
- 0,75 = 3/4
- 0,8 = 4/5
- 0,125 = 1/8
- 0,375 = 3/8
- 0,625 = 5/8
- 0,875 = 7/8
- 0,333… = 1/3
- 0,666… = 2/3
- 0,1666… = 1/6
- 0,111… = 1/9
Exemple
Quant és 0,625? Si saps que 0,125 = 1/8, llavors 0,625 és cinc vegades més, així que és 5/8. Els resultats que ja coneixes et permeten construir-ne de nous. Passar d'una forma a l'altra es torna molt més ràpid amb l'ús regular, i unes rondes curtes del joc de decimals o del joc de fraccions són una manera divertida de guanyar aquesta rapidesa. Només uns quants minuts al dia fan que la llista d'aquí dalt et sigui familiar.
Com es passa un decimal periòdic a fracció?
Per a un decimal en què les mateixes xifres es repeteixen just després de la coma, escriu la part que es repeteix sobre el mateix nombre de nous. Una xifra que es repeteix va sobre 9, dues van sobre 99, tres van sobre 999. Després simplifica. Així, 0,777… = 7/9, i 0,272727… = 27/99, que se simplifica a 3/11.
Exemple
Passa 0,454545… a fracció. La part que es repeteix és 45, que té dues xifres, així que va sobre 99. Això dona 45/99. Tots dos nombres es poden dividir per 9, així que el resultat és 5/11. Ho pots comprovar dividint 5 entre 11, que torna a donar 0,454545….
Quan la repetició comença més tard, com a 0,1666…, la regla dels nous necessita un pas més. Un mètode que sempre funciona fa servir una mica d'àlgebra:
- Anomena x el nombre. Així, x = 0,1666…
- Multiplica per 10 per passar la xifra que no es repeteix davant de la coma. 10x = 1,666…
- Multiplica per 100 per passar-hi també una repetició sencera. 100x = 16,666…
- Resta la segona línia de la tercera. Les parts que es repeteixen s'anul·len. 90x = 15.
- Divideix. x = 15/90, que se simplifica a 1/6.
0,333 és el mateix que 1/3?
No. 0,333 amb exactament tres xifres és 333/1000, que és una mica menys que 1/3. Només 0,333…, on els 3 continuen indefinidament, és exactament 1/3. Quan escriguis un decimal periòdic, indica que es repeteix amb tres punts o amb un arc sobre les xifres que es repeteixen. Si no, és un nombre diferent.
Per què 0,999… és igual a 1?
Això sorprèn molta gent. Comença per 1/3 = 0,333…. Multiplica els dos costats per 3. A l'esquerra obtens 3/3, que és 1. A la dreta obtens 0,999…. Per tant, 0,999… = 1. La regla dels nous hi està d'acord, perquè 0,999… = 9/9 = 1. No és un nombre just per sota d'1, és una altra manera d'escriure 1.
Quins errors es fan en passar decimals a fraccions?
Els errors més habituals són posar un nombre equivocat de zeros al denominador, oblidar-se de simplificar, perdre la part entera i tractar un decimal tallat com si fos periòdic. Cadascun és fàcil de detectar si comproves el resultat dividint el numerador entre el denominador.
Exemple
Un alumne passa 0,05 a fracció i escriu 5/10. Això és 0,5, deu vegades massa gran. 0,05 té dues xifres decimals, així que va sobre 100. El resultat correcte és 5/100, que se simplifica a 1/20.
Vigila aquests errors:
- La potència de 10 equivocada. Compta totes les xifres després de la coma, zeros inclosos. 0,05 té dues xifres decimals, no una.
- No simplificar. 75/100 és correcte però està per acabar. El resultat esperat és 3/4.
- Perdre la part entera. 3,2 és 3 2/10, que se simplifica a 3 1/5, o 16/5. No és 2/10.
- Tallar un decimal periòdic. 0,66 és 66/100 = 33/50, mentre que 0,666… és 2/3.
Quines fraccions es converteixen en decimals periòdics?
Una fracció en la seva forma més simple dona un decimal que s'acaba si el denominador no té factors primers diferents de 2 i 5. Si el denominador té qualsevol altre factor primer, com 3, 7 o 11, el decimal es repeteix indefinidament. És una manera ràpida de saber què esperar abans de dividir.
Exemple
Mira 3/8. El denominador 8 és 2 × 2 × 2, així que el decimal s'acaba. 3/8 = 0,375. Ara mira 1/6. El denominador 6 és 2 × 3, i el 3 fa que el decimal sigui periòdic. 1/6 = 0,1666…. De la mateixa manera, 1/7 = 0,142857142857…, amb les sis xifres repetint-se indefinidament, perquè 7 és un nombre primer diferent de 2 i 5.
Aquesta regla també explica per què els dos mètodes d'aquí dalt cobreixen tots els casos. Els decimals que s'acaben vénen de fraccions amb només 2 i 5 al denominador, i els decimals periòdics vénen de totes les altres. En tots dos casos, un decimal que s'acaba o que es repeteix és una fracció disfressada.