نظرية فيثاغورس: شرح لإيجاد أي ضلع في المثلث القائم

تتيح لك نظرية فيثاغورس أن تجد ضلعًا مجهولًا في مثلث قائم الزاوية عندما تعرف الضلعين الآخرين. هي صيغة قصيرة واحدة، a² + b² = c²، لكن المتعلمين كثيرًا ما يتعثرون في معرفة أي ضلع هو أي ضلع، ومتى يجمعون ومتى يطرحون. يشرح لك هذا الدليل الحالتين بأمثلة، والأخطاء التي يجب أن تنتبه لها، وأين تظهر النظرية في الحياة اليومية.

ما هي نظرية فيثاغورس؟

تنص نظرية فيثاغورس على أنه في المثلث القائم الزاوية، يساوي مربع الضلع الأطول مجموع مربعي الضلعين الأقصر. وتُكتب بالصيغة a² + b² = c². هنا a وb هما الضلعان الأقصر، ويُسميان ضلعي القائمة، وc هو الضلع الأطول، ويُسمى الوتر.

مثال

خذ مثلثًا قائم الزاوية طولا ضلعي القائمة فيه 3 cm و4 cm. ربّع الضلعين. 3² = 9 و4² = 16. اجمعهما فتحصل على 25. والآن اسأل: أي عدد مربعه 25؟ الإجابة 5، إذن طول الوتر 5 cm. ويمكنك التحقق بالاتجاه المعاكس، لأن 5² = 25 = 9 + 16.

لماذا تنجح؟

تخيّل مربعًا مرسومًا على كل ضلع من أضلاع المثلث. تقول النظرية إن مساحة المربع الكبير المرسوم على الوتر تساوي مساحتي المربعين الأصغر معًا. في المثلث 3، 4، 5 يعني ذلك 25 = 9 + 16.

ومن طرق فهم السبب برهان مرسوم معروف. خذ أربع نسخ من المثلث القائم نفسه ورتّبها داخل مربع كبير، بحيث يبقى في الوسط مربع مائل.

طول ضلع المربع الأوسط c، فمساحته c². والآن أعد ترتيب المثلثات الأربعة نفسها داخل المربع الكبير نفسه بطريقة مختلفة. يصبح الفراغ مربعين، طول ضلع أحدهما a وطول ضلع الآخر b. المربع الكبير والمثلثات الأربعة لم تتغير، إذن الفراغ لم يتغير أيضًا. وهذا يعني أن c² = a² + b².

كيف تجد طول الوتر؟

لتجد طول الوتر، ربّع الضلعين الأقصر، واجمع الناتجين، ثم خذ الجذر التربيعي للمجموع. وبالصيغة، c = √(a² + b²). والإجابة دائمًا أطول من كل واحد من الضلعين الأقصر، وهذه طريقة سريعة للتأكد من أنك لم تخطئ.

مثال

مثلث قائم الزاوية طولا ضلعي القائمة فيه 6 m و8 m.

1. ربّع كل ضلع. 6² = 36 و8² = 64.
2. اجمعهما. 36 + 64 = 100.
3. خذ الجذر التربيعي. √100 = 10.

طول الوتر 10 m. ليست كل الإجابات أعدادًا صحيحة. فمع ضلعين طولاهما 5 و7 تحصل على 25 + 49 = 74، و√74 يساوي تقريبًا 8.60. إذا شعرت أن الجذور التربيعية تأخذ منك وقتًا، فإن بضع جولات في لعبة الجذور التربيعية تساعدك على التعرف على المربعات الكاملة بسرعة. ومعرفة 36 و64 و100 من النظرة الأولى تجعل كل خطوة من الخطوات السابقة أسرع.

كيف تعرف أي ضلع هو الوتر؟

الوتر هو دائمًا الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو دائمًا الضلع الأطول. كثير من المتعلمين يرتبكون عندما يكون المثلث مُدارًا أو مرسومًا مقلوبًا. ابحث أولًا عن المربع الصغير الذي يدل على الزاوية القائمة. الضلع الذي لا يلمس تلك الزاوية هو الوتر، أينما كان موقعه في الصفحة.

كيف تجد ضلعًا أقصر مجهولًا؟

لتجد ضلعًا أقصر مجهولًا، ربّع الوتر، وربّع الضلع المعلوم، واطرح المربع الأصغر من الأكبر. ثم خذ الجذر التربيعي. وبالصيغة، a = √(c² − b²). تطرح هنا لأن الوتر هو الضلع الأكبر، فمربعه هو المجموع الذي تبدأ منه.

مثال

مثلث قائم الزاوية طول وتره 13 cm وطول أحد ضلعي القائمة فيه 5 cm.

1. ربّع الوتر. 13² = 169.
2. ربّع الضلع المعلوم. 5² = 25.
3. اطرح. 169 − 25 = 144.
4. خذ الجذر التربيعي. √144 = 12.

طول الضلع المجهول 12 cm. تحقّق من أن ذلك منطقي. 12 أقصر من 13، كما ينبغي لضلع القائمة. و5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²، إذن المثلث يحقق النظرية.

الحالتان تتبعان قاعدة بسيطة واحدة. إذا كنت تبحث عن الضلع الأطول، فاجمع. وإذا كنت تبحث عن ضلع أقصر، فاطرح. وعندما تصبح هذه القاعدة طبيعية لديك، تكون لعبة الهندسة مكانًا ممتعًا لتطبيق مسائل المثلثات. فهي تطلب إجابات سريعة، وهذا يساعد على أن تصبح الخطوات تلقائية.

ما الأخطاء التي يقع فيها الناس مع نظرية فيثاغورس؟

أكثر الأخطاء شيوعًا هي استخدام النظرية في مثلث ليس فيه زاوية قائمة، والجمع حين يجب الطرح، ونسيان الجذر التربيعي في النهاية، واختيار الضلع الخطأ على أنه الوتر. وتجنّب كل منها سهل بمجرد أن تعرف أن عليك الانتباه له.

مثال

لدى متعلم وتر طوله 10 وضلع قائمة طوله 6، فيكتب 10² + 6² = 136، ثم √136 ≈ 11.66. هذه الإجابة أطول من الوتر، وهذا مستحيل لضلع القائمة. الخطوة الصحيحة هي 100 − 36 = 64، و√64 = 8.

إليك الأخطاء التي يجب أن تنتبه لها:

1. استخدامها في أي مثلث. النظرية لا تنجح إلا إذا كانت إحدى الزوايا 90° تمامًا.
2. تسمية الضلع المجهول c دائمًا. الوتر وحده هو c. إذا كان الضلع المجهول ضلع قائمة، فإنك تطرح.
3. التوقف قبل الجذر التربيعي. 6² + 8² = 100 يعطيك c² لا c. وطول الضلع هو √100 = 10.
4. الظن أن √(a² + b²) يساوي a + b. مع 3 و4 يكون √(9 + 16) = 5، بينما 3 + 4 = 7.
5. التقريب مبكرًا. في المسائل ذات الخطوات المتعددة، احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى النهاية، ولا تقرّب إلا الإجابة النهائية.

هل تنطبق نظرية فيثاغورس على كل المثلثات؟

لا. نظرية فيثاغورس لا تنطبق إلا على المثلثات القائمة الزاوية، التي فيها زاوية قياسها 90° تمامًا. وهي تنطبق بالعكس أيضًا. فإذا حققت أضلاع مثلث الثلاثة a² + b² = c²، فلا بد أن يكون في المثلث زاوية قائمة. وهذه الصيغة العكسية طريقة موثوقة للتحقق من أن الزاوية قائمة.

مثال

هل المثلث الذي أطوال أضلاعه 5 و12 و13 قائم الزاوية؟ ربّع الضلعين الأقصر واجمعهما. 25 + 144 = 169. ربّع الضلع الأطول. 13² = 169. القيمتان متساويتان، إذن نعم.

وماذا عن الأضلاع 6 و7 و9؟ 36 + 49 = 85، لكن 9² = 81. القيمتان غير متساويتين، إذن ليس في المثلث زاوية قائمة. ولأن 85 أكبر من 81، فإن كل زواياه أصغر من 90°.

يستخدم البنّاؤون الفكرة نفسها. للتحقق من أن الزاوية قائمة، يقيسون 3 وحدات على أحد الجدارين و4 وحدات على الآخر. فإذا كانت المسافة بين العلامتين 5 وحدات بالضبط، فالزاوية قائمة. وأي وحدة تصلح، مثل الأمتار أو خطوات من 30 cm، ما دامت القياسات الثلاثة كلها بالوحدة نفسها.

ما هي ثلاثية فيثاغورس؟

ثلاثية فيثاغورس مجموعة من ثلاثة أعداد صحيحة تحقق a² + b² = c² تمامًا. أشهرها 3، 4، 5. ومن غيرها 5، 12، 13، ثم 8، 15، 17 و7، 24، 25. وإذا ضربت كل عدد في ثلاثية في العدد نفسه، تحصل على ثلاثية أخرى، مثل 6، 8، 10.

مثال

تحقّق من 8، 15، 17. 8² = 64 و15² = 225. مجموعهما 289. و17² = 289. إنها تحقق النظرية. ومضاعفة 3، 4، 5 تعطي 6، 8، 10، وضربها في ثلاثة يعطي 9، 12، 15. وكلتاهما تحقق النظرية أيضًا. ومعرفة بضع ثلاثيات عن ظهر قلب تتيح لك أن تلاحظ الإجابات فورًا في كثير من التمارين.

هل الإجابة دقيقة أم تقريبية فقط؟

الإجابة التي تعطيها نظرية فيثاغورس دقيقة، لكنها ليست دائمًا عددًا صحيحًا. المثلث القائم الذي طول كل من ضلعي القائمة فيه 1 يكون طول وتره √2 بالضبط. وفي الصورة العشرية لا ينتهي √2 أبدًا، لذلك فإن 1.414 مجرد قيمة تقريبية. ولهذا يطلب كثير من المعلمين أن تترك الإجابة على صورة √2.

مثال

تحقّق من الصورة العشرية. 1.414² = 1.999396، وهذا قريب من 2 لكنه لا يساويه. القيمة √2 هي الطول الدقيق. اكتب √2 عندما يطلب السؤال إجابة دقيقة، ولا تقرّب إلا عندما يطلب عددًا عشريًا، مثلًا إلى منزلتين عشريتين (1.41).

أين تُستخدم نظرية فيثاغورس في الحياة الواقعية؟

تُستخدم نظرية فيثاغورس كلما احتاج أحد إلى مسافة لا يستطيع قياسها مباشرة. يستخدمها البنّاؤون للتحقق من أن الزوايا قائمة، ويستخدمها الناس لوضع السلم بأمان، وتُقاس بها أحجام الشاشات، وتعطي على الخريطة المسافة المستقيمة بين نقطتين.

مثال

سلّم طوله 4 m، وقاعدته على بعد 1 m من الجدار. إلى أي ارتفاع يصل على الجدار؟ السلم هو الوتر، لذلك اطرح. 4² − 1² = 16 − 1 = 15، و√15 يساوي تقريبًا 3.87 m.

وإليك بعض الاستخدامات اليومية الأخرى:

1. أحجام الشاشات. شاشة عرضها 40 cm وارتفاعها 30 cm يكون قطرها √(1,600 + 900) = √2,500 = 50 cm.
2. المسافات على الخريطة. امشِ 3 km نحو الشرق ثم 4 km نحو الشمال، فتجد نفسك على بعد 5 km من نقطة البداية، في خط مستقيم.
3. الزوايا القائمة. يُستخدم التحقق بـ 3، 4، 5 المذكور أعلاه في الجدران وأحواض الحدائق والأرضيات المبلطة.

من اكتشف نظرية فيثاغورس أولًا؟

سُميت النظرية باسم المفكر اليوناني فيثاغورس، لكن الفكرة أقدم منه بكثير. فلوح طيني بابلي يُعرف باسم Plimpton 322، ويعود تاريخه إلى نحو عام 1800 قبل الميلاد، يسرد أعدادًا من ثلاثيات فيثاغورس قبل أن يعيش فيثاغورس بأكثر من 1,000 عام، كما يوضح مقال عن أبحاث جامعة UNSW Sydney. وتظهر أفكار مشابهة في الرياضيات الهندية والصينية القديمة.