ترتيب العمليات الحسابية: PEMDAS وBODMAS والقاعدة وراءهما

كيف تطبّق ترتيب العمليات الحسابية خطوة بخطوة؟

وفق ترتيب العمليات الحسابية (ويُعرف بالإنجليزية باسم PEMDAS)، تحلّ العملية الحسابية على أربع مراحل. ابدأ بما داخل الأقواس، ثم الأسس، ثم الضرب والقسمة من اليسار إلى اليمين، وأخيرًا الجمع والطرح من اليسار إلى اليمين. أعد كتابة السطر كاملًا بعد كل مرحلة، حتى يسهل اكتشاف أي خطأ لاحقًا.

مثال

احسب 3 + 4 × (6 − 2)² ÷ 8.

1. الأقواس: 6 − 2 = 4، فيصبح التعبير 3 + 4 × 4² ÷ 8
2. الأسس: 4² = 16، فيصبح التعبير 3 + 4 × 16 ÷ 8
3. الضرب والقسمة من اليسار إلى اليمين: 4 × 16 = 64، ثم 64 ÷ 8 = 8، فيصبح التعبير 3 + 8
4. الجمع والطرح: 3 + 8 = 11

قد تبدو إعادة كتابة السطر بطيئة، لكنها تبقى أفضل حماية من الأخطاء. ومن الأخطاء الشائعة أن تجمع 3 و4 في البداية. ستحصل على 7، وتكون الإجابة النهائية خاطئة.

هل يأتي الضرب قبل القسمة في PEMDAS؟

لا. الضرب والقسمة في المستوى نفسه، وكذلك الجمع والطرح. وداخل كل زوج تسير ببساطة من اليسار إلى اليمين. تضع PEMDAS حرف M قبل D فقط لأن الكلمة لا بد أن ترتّب حروفها بشكل ما. واعتبار الحروف ترتيبًا صارمًا من أكثر أخطاء ترتيب العمليات الحسابية شيوعًا.

مثال

احسب 24 ÷ 4 × 2.

1. القسمة تأتي أولًا من اليسار: 24 ÷ 4 = 6
2. ثم الضرب: 6 × 2 = 12

إذا ضربت أولًا تحصل على 24 ÷ 8 = 3، وهذا خطأ. والجمع والطرح يتصرفان بالطريقة نفسها. في 10 − 4 + 3، يعطي الحساب من اليسار إلى اليمين 6 + 3 = 9. أما الجمع أولًا فيعطي 10 − 7 = 3، وهذا خطأ أيضًا.

يشرح الكتاب المدرسي المجاني OpenStax Prealgebra 2e الأمر بوضوح. الضرب والقسمة يُجريان بالترتيب من اليسار إلى اليمين، لأن لهما الأولوية نفسها. كثير من الكبار لا يتذكرون هذه التفصيلة من أيام المدرسة، وهي وراء كثير من الجدالات حول الألغاز الرياضية على الإنترنت.

ما الفرق بين PEMDAS وBODMAS وBIDMAS؟

لا فرق في القواعد، والفرق في الكلمات فقط. تبدأ PEMDAS بحرف P من كلمة parentheses (الأقواس)، بينما تبدأ BODMAS وBIDMAS بحرف B من كلمة brackets (الأقواس أيضًا). أما E (exponents) وO (orders) وI (indices) فتعني كلها الأسس والجذور. وكل نسخة تضع الضرب والقسمة في مستوى واحد، والجمع والطرح في المستوى الذي يليه.

مثال

احسب 2 + 3 × 4² مع مراعاة كل نسخة.

1. الأسس أولًا: 4² = 16
2. ثم الضرب: 3 × 16 = 48
3. ثم الجمع: 2 + 48 = 50

تكتب BODMAS حرف D قبل M، وتكتب PEMDAS حرف M قبل D. كلتاهما تعطي 50 هنا، والنسختان تعطيان الإجابة نفسها في كل عملية حسابية. وإذا ظل ترتيب الحروف يسبب الالتباس، فقد يفيد أن تكتب القاعدة على شكل أربعة مستويات بدلًا من ستة حروف: الأقواس، ثم الأسس، ثم الضرب أو القسمة، ثم الجمع أو الطرح.

لماذا نحتاج إلى ترتيب العمليات الحسابية؟

من دون ترتيب متفق عليه، قد يحمل تعبير مثل 2 + 3 × 4 معنيين مختلفين. إذا جمعت أولًا حصلت على 20، وإذا ضربت أولًا حصلت على 14. والاتفاق ينص على أن الضرب يأتي أولًا، فالإجابة 14. والهدف من القاعدة ببساطة أن يصل كل من يقرأ العملية نفسها إلى النتيجة نفسها.

مثال

اشترى صديق 3 دفاتر بسعر 4 عملات للدفتر الواحد، وقلمًا واحدًا بعملتين. المجموع هو 2 + 3 × 4 = 2 + 12 = 14 عملة. أما الجمع أولًا فيعطي 5 × 4 = 20، وكأن القلم اشتُري أربع مرات.

هذا الاتفاق أقدم بكثير من الاختصارات. فبحسب MacTutor، أرشيف تاريخ الرياضيات في جامعة سانت أندروز، كان تقديم الضرب على الجمع والطرح قاعدة معمولًا بها بالفعل في أقدم كتب الجبر الرمزي في القرن السادس عشر. وتقتبس الصفحة نفسها مؤرخًا كتب في أواخر عقد 1920 أنه لم يكن هناك اتفاق بعد على أيهما يأتي أولًا، ÷ أم ×.

ما إجابة 8 ÷ 2(2 + 2)؟

إذا اتبعت ترتيب العمليات الحسابية كما يُدرَّس، فإن 8 ÷ 2(2 + 2) تساوي 16. تأتي الأقواس أولًا وتعطي 4. والعدد 2 المكتوب ملاصقًا للقوس يعني الضرب، والقسمة والضرب يسيران من اليسار إلى اليمين، لذا 8 ÷ 2 × 4 = 4 × 4 = 16.

مثال

إليك القراءتين جنبًا إلى جنب.

1. من اليسار إلى اليمين: 8 ÷ 2 × 4 = 4 × 4 = 16
2. باعتبار 2(2 + 2) كتلة واحدة: 8 ÷ (2 × 4) = 8 ÷ 8 = 1

المشكلة الحقيقية في طريقة كتابة العملية. تشير ملاحظة على موقع قسم الرياضيات في جامعة بيركلي إلى أنه لا يوجد اصطلاح معياري لتعبيرات كهذه، لأن كتابة عدد ملاصق للقوس توحي بأنهما وحدة واحدة. ويتجنب الرياضيون الجدال كله بإضافة أقواس: (8 ÷ 2)(2 + 2) أو 8 ÷ (2(2 + 2)).

وخط الكسر يجمع الحدود بالطريقة نفسها. إذا كُتب 6 + 4 فوق خط الكسر و2 تحته، فإنك تجمع أولًا، فتكون الإجابة 10 ÷ 2 = 5.

ما أكثر أخطاء ترتيب العمليات الحسابية شيوعًا؟

معظم الأخطاء تأتي من قراءة الاختصار على أنه ست خطوات منفصلة بترتيب ثابت. وهذا يدفع الناس إلى الضرب قبل القسمة أو الجمع قبل الطرح. ومن الأخطاء الأخرى نسيان أن خط الكسر يجمع ما فوقه وما تحته، وتربيع عدد سالب من دون أقواسه. وإعادة كتابة السطر بعد كل خطوة تكشف معظمها.

أخطاء تتكرر باستمرار

• الضرب قبل القسمة. في 24 ÷ 4 × 2، احسب من اليسار إلى اليمين: 6 × 2 = 12.
• الجمع قبل الطرح. في 10 − 4 + 3، احسب من اليسار إلى اليمين: 6 + 3 = 9.
• تربيع عدد سالب. التعبير −3² يعني −(3²) = −9، أما (−3)² = 9. القوس هو الذي يحدد هل تُربَّع إشارة السالب أم لا.
• البدء بالقوس الخارجي. في 2 × [5 + (3 − 1)²]، ابدأ من الداخل: 3 − 1 = 2، ثم 2² = 4، ثم 5 + 4 = 9، وأخيرًا 2 × 9 = 18.
• تجاهل خط الكسر. احسب البسط والمقام كلًّا على حدة أولًا، ثم اقسم.

كيف تتدرّب على ترتيب العمليات الحسابية؟

العمليات القصيرة المتكررة هي أفضل طريقة للتدرّب على هذه القاعدة. في لعبة ترتيب العمليات الحسابية، كل هجمة عبارة عن عملية مختلطة مثل (5 + 3) × 7. تحسب ما داخل القوس، ثم تضرب، وتكتب 56 لتنفّذ الهجمة.

الأسس تبطئ كثيرًا من الناس، خصوصًا مع الأعداد السالبة. إذا كانت هذه هي النقطة التي تتعثر عندها، فجرّب لعبة الأسس أولًا. بعد ذلك يصبح حل العمليات الأطول التي فيها أسس أسهل.

يختلف اسم القاعدة حسب المكان الذي تتعلمها فيه. في الولايات المتحدة اسمها PEMDAS، وفي المملكة المتحدة BODMAS أو BIDMAS. وتستخدم اللغات الأخرى عباراتها القصيرة الخاصة، لكن القاعدة نفسها واحدة في كل مكان. وفي المدارس العربية تُدرَّس باسم ترتيب العمليات الحسابية أو أولويات العمليات: الأقواس أولًا، ثم الأسس، ثم الضرب والقسمة، ثم الجمع والطرح.

قاعدة مشتركة تعني أن الجميع يصل إلى الإجابة نفسها

ترتيب العمليات الحسابية اتفاق وليس قانونًا من قوانين الطبيعة، ولا ينجح إلا لأن الجميع يستخدمون الاتفاق نفسه. الأقواس أولًا، ثم الأسس، ثم الضرب والقسمة من اليسار إلى اليمين، ثم الجمع والطرح من اليسار إلى اليمين. وعندما يمكن قراءة عملية حسابية بطريقتين، أضف أقواسًا وينتهي الجدال.