Теорема Пифагора: как найти любую сторону прямоугольного треугольника

Теорема Пифагора позволяет найти неизвестную сторону прямоугольного треугольника, если известны две другие. Это одна короткая формула, a² + b² = c², но ученики часто путаются, какая сторона какая и когда нужно складывать, а когда вычитать. В этой статье мы разберём оба случая на примерах, покажем ошибки, на которые стоит обратить внимание, и расскажем, где теорема встречается в повседневной жизни.

Что такое теорема Пифагора?

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат самой длинной стороны равен сумме квадратов двух более коротких сторон. В виде формулы: a² + b² = c². Здесь a и b обозначают две короткие стороны, которые называются катетами, а c обозначает самую длинную сторону, которая называется гипотенузой.

Пример

Возьмём прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см. Возведём оба катета в квадрат. 3² = 9 и 4² = 16. Сложим их и получим 25. Теперь спросим себя, какое число в квадрате даёт 25. Ответ 5, значит гипотенуза равна 5 см. Можно проверить и в обратную сторону, ведь 5² = 25 = 9 + 16.

Почему это работает?

Представьте квадрат, построенный на каждой стороне треугольника. Теорема говорит, что площадь большого квадрата на гипотенузе равна площадям двух меньших квадратов вместе. Для треугольника со сторонами 3, 4 и 5 это 25 = 9 + 16.

Понять почему помогает классическое доказательство с рисунком. Возьмите четыре одинаковых прямоугольных треугольника и разложите их внутри большого квадрата так, чтобы в середине остался наклонённый квадрат.

Сторона этого среднего квадрата равна c, поэтому его площадь равна c². Теперь разложите те же четыре треугольника внутри того же большого квадрата по-другому. Свободное место превращается в два квадрата, один со стороной a, а другой со стороной b. Большой квадрат и четыре треугольника не изменились, значит, и свободная площадь осталась прежней. Это означает, что c² = a² + b².

Как найти гипотенузу?

Чтобы найти гипотенузу, возведите в квадрат два катета, сложите результаты и извлеките квадратный корень из суммы. В виде формулы: c = √(a² + b²). Ответ всегда больше каждого из катетов, и это быстрый способ проверить, что вы не ошиблись.

Пример

У прямоугольного треугольника катеты 6 м и 8 м.

1. Возведите каждый катет в квадрат. 6² = 36 и 8² = 64.
2. Сложите их. 36 + 64 = 100.
3. Извлеките квадратный корень. √100 = 10.

Гипотенуза равна 10 м. Не каждый ответ получается целым числом. С катетами 5 и 7 получается 25 + 49 = 74, а √74 примерно равно 8,60. Если корни даются медленно, несколько раундов в игре на квадратные корни помогут быстро узнавать точные квадраты. Когда вы с первого взгляда узнаёте 36, 64 и 100, каждый шаг выше выполняется быстрее.

Как понять, какая сторона гипотенуза?

Гипотенуза всегда лежит напротив прямого угла, и она всегда самая длинная сторона. Многие путаются, когда треугольник повёрнут или нарисован вверх ногами. Сначала найдите маленький квадратик, которым отмечен прямой угол. Сторона, которая не касается этого угла, и есть гипотенуза, где бы она ни находилась на странице.

Как найти неизвестный катет?

Чтобы найти неизвестный катет, возведите в квадрат гипотенузу и известный катет, а затем вычтите меньший квадрат из большего. Потом извлеките квадратный корень. В виде формулы: a = √(c² − b²). Здесь нужно вычитать, потому что гипотенуза самая длинная сторона и её квадрат служит той суммой, от которой вы отталкиваетесь.

Пример

У прямоугольного треугольника гипотенуза 13 см и один катет 5 см.

1. Возведите в квадрат гипотенузу. 13² = 169.
2. Возведите в квадрат известный катет. 5² = 25.
3. Вычтите. 169 − 25 = 144.
4. Извлеките квадратный корень. √144 = 12.

Неизвестный катет равен 12 см. Проверьте, что ответ разумный. 12 меньше 13, как и положено катету. А 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13², значит треугольник подходит под теорему.

Оба случая подчиняются одному простому правилу. Если ищете самую длинную сторону, складывайте. Если ищете более короткую сторону, вычитайте. Когда это правило станет привычным, игра по геометрии отлично подойдёт, чтобы весело потренироваться на задачах с треугольниками. В ней нужно отвечать быстро, и это помогает довести шаги до автоматизма.

Какие ошибки делают с теоремой Пифагора?

Самые частые ошибки такие: применять теорему к треугольнику без прямого угла, складывать там, где нужно вычитать, забывать извлечь квадратный корень в конце и выбирать не ту сторону в качестве гипотенузы. Каждой из них легко избежать, если знать, на что смотреть.

Пример

У ученика гипотенуза 10 и катет 6, и он пишет 10² + 6² = 136, а затем √136 ≈ 11,66. Этот ответ больше гипотенузы, а для катета это невозможно. Правильно так: 100 − 36 = 64, и √64 = 8.

Вот ошибки, на которые стоит обратить внимание:

1. Применять теорему к любому треугольнику. Она работает, только если один из углов равен ровно 90°.
2. Всегда обозначать неизвестную сторону буквой c. Буквой c обозначается только гипотенуза. Если неизвестная сторона является катетом, нужно вычитать.
3. Останавливаться до извлечения корня. 6² + 8² = 100 даёт c², а не c. Сторона равна √100 = 10.
4. Думать, что √(a² + b²) то же самое, что a + b. Для 3 и 4 получается √(9 + 16) = 5, а 3 + 4 = 7.
5. Округлять слишком рано. В задачах из нескольких шагов сохраняйте точное значение до конца и округляйте только окончательный ответ.

Работает ли теорема Пифагора для всех треугольников?

Нет. Теорема Пифагора работает только для прямоугольных треугольников, у которых один угол равен ровно 90°. Она работает и в обратную сторону. Если три стороны треугольника удовлетворяют равенству a² + b² = c², то у треугольника обязательно есть прямой угол. Эта обратная теорема надёжно помогает проверить, прямой ли угол.

Пример

Является ли треугольник со сторонами 5, 12 и 13 прямоугольным? Возведите две меньшие стороны в квадрат и сложите. 25 + 144 = 169. Возведите в квадрат самую длинную сторону. 13² = 169. Числа совпадают, значит да.

А если стороны равны 6, 7 и 9? 36 + 49 = 85, но 9² = 81. Числа не совпадают, значит прямого угла у треугольника нет. Поскольку 85 больше 81, все его углы меньше 90°.

Строители пользуются той же идеей. Чтобы проверить, что угол прямой, они отмеряют 3 единицы вдоль одной стены и 4 единицы вдоль другой. Если расстояние между этими двумя отметками ровно 5 единиц, угол прямой. Подойдёт любая единица, например метры или шаги по 30 см, если все три измерения сделаны в одних и тех же единицах.

Что такое пифагорова тройка?

Пифагоровой тройкой называют три целых числа, которые точно удовлетворяют равенству a² + b² = c². Самая известная из них 3, 4, 5. Есть и другие: 5, 12, 13, затем 8, 15, 17 и 7, 24, 25. Если умножить каждое число тройки на одно и то же число, получится новая тройка, например 6, 8, 10.

Пример

Проверим 8, 15, 17. 8² = 64 и 15² = 225. Вместе это 289. А 17² = 289. Подходит. Если удвоить 3, 4, 5, получится 6, 8, 10, а если утроить, получится 9, 12, 15. Обе эти тройки тоже подходят. Если знать несколько троек наизусть, во многих упражнениях ответ виден сразу.

Ответ точный или приблизительный?

Ответ по теореме Пифагора точный, но не всегда целый. У прямоугольного треугольника с двумя катетами по 1 гипотенуза равна ровно √2. В виде десятичной дроби √2 никогда не заканчивается, поэтому 1,414 лишь приближение. Вот почему многие учителя просят оставлять ответ в виде √2.

Пример

Проверьте десятичный вариант. 1,414² = 1,999396, что близко к 2, но не равно 2. Точная длина равна √2. Пишите √2, когда в задаче нужен точный ответ, и округляйте, только когда нужна десятичная дробь, например до двух знаков после запятой (1,41).

Где теорема Пифагора используется в жизни?

Теорему Пифагора используют всякий раз, когда нужно узнать расстояние, которое нельзя измерить напрямую. С её помощью строители проверяют прямые углы, люди безопасно ставят лестницу, измеряют размер экранов, а на карте она даёт расстояние по прямой между двумя точками.

Пример

Лестница длиной 4 м стоит так, что её основание находится в 1 м от стены. На какую высоту она достаёт? Лестница служит гипотенузой, поэтому вычитаем. 4² − 1² = 16 − 1 = 15, а √15 примерно равно 3,87 м.

Ещё несколько примеров из повседневной жизни:

1. Размер экрана. У экрана шириной 40 см и высотой 30 см диагональ равна √(1600 + 900) = √2500 = 50 см.
2. Расстояния на карте. Если пройти 3 км на восток, а потом 4 км на север, вы окажетесь в 5 км от начальной точки по прямой.
3. Прямые углы. Проверку 3, 4, 5, описанную выше, используют для стен, грядок и плиточных полов.

Кто первым открыл теорему Пифагора?

Теорема названа в честь греческого мыслителя Пифагора, но сама идея гораздо старше. На вавилонской глиняной табличке Плимптон 322, которую датируют примерно 1800 годом до н. э., записаны числа из пифагоровых троек более чем за 1000 лет до жизни Пифагора, как объясняется в статье об исследовании в UNSW Sydney. Похожие идеи встречаются в ранней индийской и китайской математике.