Уравнение прямой, проходящей через точку, и когда оно удобнее y = kx + b

Как записать уравнение прямой, проходящей через точку?

Подставьте угловой коэффициент вместо k, а координаты известной точки вместо x₁ и y₁. Буквы x и y оставьте как есть. Они обозначают любую другую точку прямой. Уравнение прямой, проходящей через точку, удобно, когда вы знаете одну точку прямой и её угловой коэффициент.

Пример

Запишите уравнение прямой, проходящей через (2, 3), с угловым коэффициентом 2.

1. Точка даёт x₁ = 2 и y₁ = 3.
2. Угловой коэффициент даёт k = 2.
3. Подставляем: y − 3 = 2(x − 2).

Готово, упрощать ничего не нужно. Если хотите убедиться, проверьте вторую точку. Шаг вправо и два шага вверх от (2, 3) приводят в (3, 5). Подставьте эти числа: слева 5 − 3 = 2, справа 2(3 − 2) = 2. Совпадает.

Обратите внимание, что точка (2, 3) видна прямо в уравнении. Когда строите график, можно сначала поставить карандаш в эту точку и двигаться от неё.

Как найти уравнение прямой по двум точкам?

Сначала найдите угловой коэффициент по формуле k = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Затем возьмите любую из двух точек и подставьте её вместе с этим коэффициентом в y − y₁ = k(x − x₁). Неважно, какую точку вы выберете. Уравнения выглядят по-разному, но после упрощения описывают одну и ту же прямую.

Пример

Найдите прямую, проходящую через (1, −2) и (4, 7).

1. Угловой коэффициент: k = (7 − (−2)) : (4 − 1) = 9 : 3 = 3
2. Через (1, −2): y − (−2) = 3(x − 1), то есть y + 2 = 3(x − 1)
3. Через (4, 7): y − 7 = 3(x − 4)

Раскройте скобки в любом из них, и получится y = 3x − 5. Это полезно знать, прежде чем сверять домашнее задание с ответами. Ученик, который взял (4, 7), и ответы, где взяли (1, −2), покажут два разных уравнения, и ни одно из них не будет ошибкой.

Почему отрицательные координаты меняют знаки?

Формула вычитает координаты точки. Если координата отрицательная, вы вычитаете отрицательное число, а это превращается в плюс. Поэтому точка (−4, −1) даёт y + 1 и x + 4. Проще всего не ошибиться со знаком, если сначала записать скобки полностью и только потом упрощать.

Пример

Запишите прямую через (−4, −1) с угловым коэффициентом 1/2.

1. Со скобками: y − (−1) = 1/2(x − (−4))
2. После упрощения: y + 1 = 1/2(x + 4)

В обратную сторону это тоже работает. Если дано y + 5 = −2(x − 6), то точка на прямой (6, −5), а не (6, 5). Какой знак вы видите в уравнении, у координаты он противоположный.

Как перейти к уравнению y = kx + b?

Раскройте скобки и перенесите число из левой части так, чтобы y остался один. Получится уравнение прямой с угловым коэффициентом, y = kx + b. Угловой коэффициент при этом не меняется, а число, которое в конце остаётся отдельно, и есть b, то есть место, где прямая пересекает ось y.

Пример

Преобразуйте y − 3 = 2(x − 2).

1. Раскройте скобки: y − 3 = 2x − 4
2. Прибавьте 3 к обеим частям: y = 2x − 1

Угловой коэффициент по-прежнему 2, а прямая пересекает ось y в точке (0, −1). Эту точку видно на графике выше. Обратно тоже быстро. Возьмите y = −3x + 5, выберите x = 1, и получится y = 2. Точка (1, 2) и коэффициент −3 дают y − 2 = −3(x − 1).

Какой вид уравнения выбрать?

Выбирайте тот вид, который подходит к тому, что вы уже знаете.

• Уравнение прямой через точку, когда известны точка и угловой коэффициент или две точки.
• Уравнение с угловым коэффициентом, когда нужно сразу увидеть k и b или построить график.
• Общее уравнение прямой, Ax + By = C, когда нужны точки пересечения прямой с обеими осями.

Многие учителя хотят видеть окончательный ответ в виде y = kx + b. Ничто не мешает начать с уравнения прямой через точку и в конце его преобразовать.

Откуда берётся уравнение прямой через точку?

Это та же формула углового коэффициента, только преобразованная. Возьмите фиксированную точку (x₁, y₁) на прямой и любую другую точку (x, y) на той же прямой. Угловой коэффициент между ними k = (y − y₁) : (x − x₁). Умножьте обе части на (x − x₁), и получится y − y₁ = k(x − x₁).

Пример

Останемся с прямой через (2, 3) с угловым коэффициентом 2 и проверим точку (5, 9). Угловой коэффициент от (2, 3) до (5, 9) равен (9 − 3) : (5 − 2) = 6 : 3 = 2. Коэффициент тот же, значит, (5, 9) лежит на прямой. Именно это и говорит уравнение: 9 − 3 = 2(5 − 2).

Бесплатный учебник OpenStax Elementary Algebra 2e выводит формулу так же. Затем он применяет её к прямым через две точки и к параллельным и перпендикулярным прямым, и с этого начинается следующий раздел.

Как найти параллельную и перпендикулярную прямую через точку?

Параллельная прямая имеет тот же угловой коэффициент, что и исходная. У перпендикулярной прямой коэффициент обратный по величине и противоположный по знаку, то есть вы переворачиваете дробь и меняете знак. Коэффициент 2 превращается в −1/2, а −3/4 в 4/3. Когда новый коэффициент найден, подставьте его в уравнение прямой через точку вместе с данной точкой.

Пример

Найдите прямую через (2, 3), перпендикулярную y = 2x − 1.

1. Исходный коэффициент равен 2, или 2/1.
2. Переворачиваем дробь и меняем знак: −1/2.
3. Уравнение через точку: y − 3 = −1/2(x − 2)
4. Вид y = kx + b: y = −1/2x + 4

Быстрая проверка при x = 2: −1/2 · 2 + 4 = 3, а это и есть y нашей точки. Для параллельной прямой через (6, 0) оставьте коэффициент 2: y − 0 = 2(x − 6), то есть y = 2x − 12.

Любую ли прямую можно так записать?

Почти любую. Исключение составляет вертикальная прямая. У всех её точек одинаковый x, поэтому изменение x равно 0, и угловой коэффициент означал бы деление на ноль. Вертикальную прямую через (3, 1) записывают просто как x = 3. С горизонтальными прямыми проблем нет, их угловой коэффициент просто равен 0.

Пример

Возьмите горизонтальную прямую через (1, 4). Уравнение через точку: y − 4 = 0(x − 1). Ноль, умноженный на что угодно, даёт ноль, поэтому уравнение сокращается до y − 4 = 0, то есть y = 4.

Как потренироваться в уравнении прямой?

Скорость с прямыми приходит, когда видишь их много. В игре про линейные функции вы сражаетесь вопросами о прямых. В одном раунде может попасться угловой коэффициент от (−2, 2) до (0, −6), и верный ответ запускает вашу атаку. Здесь это (−6 − 2) : (0 − (−2)) = −8 : 2 = −4.

Преобразование каждый раз сводится к маленькому уравнению. Если именно здесь всё идёт медленно, помогут несколько раундов в игре с уравнениями. Те же действия пригодятся каждый раз, когда вы преобразуете формулу.

Буква для углового коэффициента тоже зависит от страны. В российских школах пишут k, в английских учебниках m, а в некоторых странах a. Какой бы ни была буква, число перед скобкой и есть угловой коэффициент, а числа в скобках берутся из точки на прямой.

Точка и угловой коэффициент задают прямую

Одна точка и угловой коэффициент полностью задают прямую, а уравнение прямой, проходящей через точку, записывает это напрямую. Подставляйте аккуратно, не убирайте скобки, пока не разберётесь со знаками, и проверяйте результат второй точкой. После этого до y = kx + b остаётся два коротких шага.