Фи, число с громкой репутацией
Математики обозначают его греческой буквой φ (фи), и у него слава числа, которое прячется в подсолнухах, знаменитых зданиях и красивых лицах. Часть этой славы заслуженна, но большая часть нет. Сначала разберём математику, а потом честно посмотрим, где золотое сечение встречается на самом деле.
Как вычислить золотое сечение?
Золотое сечение вычисляют по формуле φ = (1 + √5) : 2. Квадратный корень из 5 примерно равен 2,236, поэтому прибавляем 1, делим на 2 и получаем около 1,618. Десятичные знаки никогда не заканчиваются и не повторяются, потому что φ иррациональное число. Для большинства повседневных задач 1,618 вполне достаточно.
Пример
Посчитаем на калькуляторе в три шага.
- √5 ≈ 2,236
- 1 + 2,236 = 3,236
- 3,236 : 2 = 1,618
Итак, φ ≈ 1,618. Если нужна большая точность, то с десятью знаками после запятой φ = 1,6180339887.
Откуда берётся формула золотого сечения?
Возьмём отрезок и разделим его на большую часть a и меньшую часть b. Деление называют золотым, если весь отрезок так относится к большей части, как большая часть относится к меньшей. В символах (a + b) : a = a : b. Это общее значение и есть φ.
Теперь пусть меньшая часть равна 1, тогда большая равна φ. Правило превращается в (φ + 1) : φ = φ. Умножим обе части на φ и получим φ² = φ + 1, или φ² − φ − 1 = 0. Это квадратное уравнение, и его положительный корень равен (1 + √5) : 2. В энциклопедии Британника описано то же преобразование к виду x² − x − 1 = 0.
Почему 1,618; 0,618 и 2,618 так похожи?
Поскольку φ² = φ + 1, возведение φ в квадрат просто прибавляет 1. Значит, φ² ≈ 2,618. Разделим то же равенство на φ и получим φ = 1 + 1 : φ, то есть 1 : φ = φ − 1 ≈ 0,618. Вот почему у трёх разных чисел одинаковые знаки после запятой.
Чем особенно золотое сечение?
Золотое сечение особенное, потому что это единственное положительное число, квадрат которого на единицу больше самого числа, а обратное число на единицу меньше. Кроме того, оно связывает геометрию и счёт. Одно и то же значение появляется, когда отрезок делят гармонично, когда строят правильный пятиугольник и когда делят соседние числа Фибоначчи.
Пример
В правильном пятиугольнике со стороной 1 каждая диагональ (отрезок от одной вершины к несоседней) имеет длину ровно φ, около 1,618. Поэтому пятиконечная звезда, вписанная в пятиугольник, полна золотых сечений. Каждый луч звезды делится другими линиями в золотой пропорции.
Идея очень старая. Британника возводит её к Евклиду, который в «Началах» называл её делением в крайнем и среднем отношении.
Золотое сечение и число пи одно и то же?
Нет. Число пи (π ≈ 3,14) это отношение длины окружности к её диаметру, а золотое сечение (φ ≈ 1,618) получается при делении отрезка. Оба числа иррациональные, с бесконечными десятичными знаками, и, наверное, поэтому их путают. У них разные значения, и происходят они из разных фигур.
Золотое сечение и последовательность Фибоначчи одно и то же?
Золотое сечение и последовательность Фибоначчи не одно и то же, но они тесно связаны. Последовательность Фибоначчи это ряд целых чисел, где каждое число равно сумме двух предыдущих. Если делить каждое число Фибоначчи на предыдущее, результаты всё ближе подходят к золотому сечению.
Пример
Возьмём соседние числа последовательности Фибоначчи и разделим.
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 89 : 55 ≈ 1,618
Результаты прыгают то выше, то ниже 1,618 и быстро успокаиваются. Уже при 144 : 89 ответ совпадает с φ до трёх знаков после запятой. Это хорошее упражнение с калькулятором для детей, ведь они видят, как из обычного деления появляется закономерность.
Умение находить правило в ряду чисел пригодится далеко не только с Фибоначчи. В игре с числовыми последовательностями каждая атака это последовательность с пропущенным числом, и нужно разгадать правило раньше соперника.
В раунде выше каждое число на 5 больше предыдущего, значит, пропущено число 24.
Как построить золотой прямоугольник?
У золотого прямоугольника длинная сторона примерно в 1,618 раза больше короткой. Чтобы его начертить, умножьте короткую сторону на 1,618 или разделите длинную сторону на 1,618, чтобы найти короткую. Можно также построить его точно циркулем, начиная с квадрата, вообще без измерения десятичных дробей.
Пример
Если короткая сторона 10 см, то длинная 10 · 1,618 ≈ 16,2 см. Если страница шириной 1000 пикселей и нужно золотое деление, разделите на φ. Получится основная колонка около 618 пикселей и боковая около 382 пикселей.
Чтобы построить его циркулем, выполните следующие шаги.
- Начертите квадрат со стороной 1 (например, 1 дециметр).
- Отметьте середину нижней стороны.
- Поставьте иглу циркуля в эту середину и раскройте его до верхней вершины на противоположной стороне. Это расстояние равно √5 : 2, около 1,118.
- Опустите дугу на продолжение нижней стороны. Новая длина равна 0,5 + 1,118 = 1,618.
- Достройте прямоугольник. Его стороны равны 1 и φ.
Если отрезать от золотого прямоугольника квадрат, оставшаяся часть снова будет золотым прямоугольником. Повторите это, проведите в каждом квадрате четверть окружности, и получится спираль, которая часто встречается на иллюстрациях к золотому сечению. Такая геометрия есть и в игре по геометрии, где фигуры, углы и площади превращаются в быстрые задания.
Где золотое сечение встречается в природе?
Самый наглядный пример в природе это то, как многие растения располагают листья и семена. Каждое новое семечко в корзинке подсолнуха вырастает примерно с одинаковым поворотом относительно предыдущего, около 137,5°. Этот золотой угол плотно упаковывает семена без промежутков и образует спирали, число которых часто оказывается числом Фибоначчи.
Пример
Золотой угол получается прямо из φ. Разделите полный оборот на φ² и получите 360° : 2,618 ≈ 137,5°. Можно посмотреть и иначе. Поворот делит окружность на две дуги, около 222,5° и 137,5°, в золотой пропорции.
В обзоре 2022 года исследователей Ноттингемского университета The Golden Ratio in Nature собраны примеры на самых разных масштабах, и там говорится о «склонности этого отношения появляться во многих научных и художественных областях». Слово «склонность» здесь точное. Многие растения следуют другим закономерностям, так что это не закон природы.
Раковина наутилуса это золотая спираль?
Обычно нет. Наутилус растёт по логарифмической спирали, которая сохраняет форму при увеличении, и это красиво само по себе. Измерения настоящих раковин обычно дают коэффициент роста, отличный от φ. Золотая спираль, нарисованная поверх фотографии наутилуса, это красивая картинка, а не измерение.
Правда ли золотое сечение есть в искусстве, архитектуре и лицах?
В основном нет. Утверждения, что Парфенон, знаменитые картины или привлекательные лица подчиняются золотому сечению, не выдерживают аккуратных измерений. В статье 2022 года в The Conversation математик из Университета Нового Южного Уэльса Томас Бритц объясняет, что в древнегреческом искусстве и архитектуре φ встречается очень редко.
Пример
Популярное утверждение о Парфеноне гласит, что его фасад вписывается в золотой прямоугольник. Бритц пишет, что тщательные расчёты показывают ложность этого утверждения. То же касается «тестов лица по золотому сечению», которые выставляют оценки знаменитостям. Маска лица, на которой они основаны, давно развенчана, и не существует одного числа, которое решает, красиво лицо или нет.
Частая причина, по которой миф живёт, это выборочный подход, когда из всех измерений берут только удачные. Почти у любого здания или лица найдётся пара длин с отношением около 1,6, особенно если самому выбирать, где мерить. Отношения вроде 3 : 2 = 1,5 или 16 : 9 ≈ 1,78 тоже приятны глазу и гораздо чаще встречаются в экранах и фотографиях. Честная проверка рассматривает много объектов и учитывает промахи наравне с попаданиями.
Используют ли художники и дизайнеры золотое сечение намеренно?
Некоторые да. Дизайнеры иногда берут 1,618 за отправную точку для макетов, рамок для картин или размеров шрифта, потому что такое деление ни слишком равномерное, ни слишком перекошенное. Это дизайнерский выбор, а не доказательство того, что золотое сечение скрыто во всём красивом. Оно работает так же, как любая другая аккуратная пропорция.
Золотое сечение это настоящая математика, а не правило красоты
Золотое сечение это точное число (1 + √5) : 2 ≈ 1,618 со свойствами, которые радуют математиков. Возведение в квадрат прибавляет 1, деление 1 на него отнимает 1, а отношения чисел Фибоначчи стремятся к нему. Оно определяет спирали семян у многих растений, а большинство историй о лицах и знаменитых зданиях это измерения, подогнанные под желаемое.
Исследовать его с ребёнком лучше всего на практике. Делите числа Фибоначчи на калькуляторе, постройте золотой прямоугольник циркулем или посчитайте спирали на сосновой шишке. Каждое занятие показывает настоящую закономерность, и ни одному из них не нужен миф, чтобы быть интересным.
Потренируй дальше это