Как перевести десятичную дробь в обыкновенную, включая периодические

Любую конечную десятичную дробь и любую десятичную дробь, которая бесконечно повторяется, можно записать в виде обыкновенной дроби. Чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, для большинства чисел хватает трёх коротких шагов, а для периодических дробей вроде 0,333… нужен ещё один приём. Ниже вы найдёте оба способа, список десятичных дробей, которые стоит знать наизусть, и ошибки, на которых чаще всего спотыкаются.

Как превратить десятичную дробь в обыкновенную?

Чтобы превратить десятичную дробь в обыкновенную, запишите цифры после запятой в числитель, а в знаменатель поставьте 10, 100 или 1000, в зависимости от количества знаков после запятой. Один знак после запятой даёт знаменатель 10, два дают 100, три дают 1000. Затем сократите дробь, разделив числитель и знаменатель на одно и то же число.

Пример

Переведём 0,75 в обыкновенную дробь.

1. Посчитайте знаки после запятой. У 0,75 их два, поэтому знаменатель равен 100.
2. Запишите цифры в числитель. 0,75 = 75/100.
3. Сократите. И 75, и 100 делятся на 25, и получается 3/4.

Итак, 0,75 = 3/4. Чтобы быстро проверить, разделите 3 на 4 на бумаге или на калькуляторе. Снова получится 0,75.

Чему равно 2,5 в виде обыкновенной дроби?

У 2,5 один знак после запятой, поэтому получается 25/10. Оба числа делятся на 5, и выходит 5/2. Можно также отделить целую часть. 2 остаётся как есть, а 0,5 превращается в 5/10, что сокращается до 1/2. Значит, 2,5 = 5/2 = 2 1/2.

Чему равно 0,125 в виде обыкновенной дроби?

У 0,125 три знака после запятой, поэтому получается 125/1000. Оба числа делятся на 125, и выходит 1/8. Эту дробь стоит запомнить, потому что восьмые доли часто встречаются в рецептах, измерениях и школьных упражнениях.

Ответ нужен в виде смешанного числа или неправильной дроби?

Оба варианта верны. 1,25 можно записать как 5/4 (неправильная дробь, у которой числитель больше знаменателя) или как 1 1/4 (смешанное число, у которого есть целая часть и дробь). В некоторых местах учителя предпочитают одну из форм, поэтому смотрите, что требуется в задании. Чтобы перейти от одной формы к другой, помните, что 5/4 означает четыре четверти (одно целое) и ещё одну четверть.

Как сократить дробь?

Чтобы сократить дробь, разделите числитель и знаменатель на самое большое число, на которое делятся оба. Оно называется наибольшим общим делителем. Если вы не видите его сразу, делите снова и снова на небольшие числа вроде 2, 5 или 10, пока у них не останется общих делителей. Дробь полностью сокращена, когда числитель и знаменатель одновременно делятся только на 1.

Пример

Переведём 0,36. Здесь два знака после запятой, поэтому сначала получается 36/100. Оба числа делятся на 4, и выходит 9/25. У 9 и 25 нет общих делителей, кроме 1, поэтому 9/25 и есть несократимая дробь.

Можно идти и мелкими шагами. 36/100, делённое на 2, даёт 18/50, а ещё раз на 2 даёт 9/25. Результат тот же. Быстро находить наибольший общий делитель тоже нужно уметь, и игра на НОД превращает этот навык в короткое состязание. Это хорошая разминка перед более длинными упражнениями с дробями.

Какие десятичные дроби стоит знать наизусть?

Небольшой набор десятичных дробей встречается снова и снова, и если знать соответствующие им обыкновенные дроби, это экономит время. Сюда входят половины, четверти, пятые и восьмые доли, а также периодические дроби для третей. Если вы их запомните, то часто сможете переводить десятичную дробь в уме, ничего не записывая.

• 0,1 = 1/10
• 0,2 = 1/5
• 0,25 = 1/4
• 0,4 = 2/5
• 0,5 = 1/2
• 0,6 = 3/5
• 0,75 = 3/4
• 0,8 = 4/5
• 0,125 = 1/8
• 0,375 = 3/8
• 0,625 = 5/8
• 0,875 = 7/8
• 0,333… = 1/3
• 0,666… = 2/3
• 0,1666… = 1/6
• 0,111… = 1/9

Пример

Чему равно 0,625? Если вы знаете, что 0,125 = 1/8, то 0,625 в пять раз больше, то есть 5/8. Такие известные факты помогают получать новые. С регулярной практикой переход между двумя формами становится гораздо быстрее, а короткие раунды в игре на десятичные дроби или в игре на дроби помогают набрать эту скорость в игровой форме. Даже несколько минут в день сделают список выше привычным.

Как перевести периодическую дробь в обыкновенную?

Если одни и те же цифры повторяются сразу после запятой, запишите повторяющуюся часть в числитель, а в знаменатель поставьте столько же девяток. Одна повторяющаяся цифра даёт знаменатель 9, две дают 99, три дают 999. Затем сократите. Значит, 0,777… = 7/9, а 0,272727… = 27/99, что сокращается до 3/11.

Пример

Переведём 0,454545… в обыкновенную дробь. Повторяющаяся часть 45 состоит из двух цифр, поэтому знаменатель равен 99. Получается 45/99. Оба числа делятся на 9, поэтому ответ 5/11. Проверить можно, разделив 5 на 11, и снова получится 0,454545…

Когда повтор начинается не сразу, как в 0,1666…, правилу девяток нужен один дополнительный шаг. Способ, который работает всегда, использует немного алгебры:

1. Обозначьте число буквой x. Тогда x = 0,1666…
2. Умножьте на 10, чтобы неповторяющаяся цифра оказалась перед запятой. 10x = 1,666…
3. Умножьте на 100, чтобы перед запятой оказался ещё и один полный период. 100x = 16,666…
4. Вычтите вторую строку из третьей. Повторяющиеся части взаимно уничтожаются. 90x = 15.
5. Разделите. x = 15/90, что сокращается до 1/6.

Равно ли 0,333 одной трети?

Нет. 0,333 ровно с тремя цифрами равно 333/1000, а это чуть меньше 1/3. Только 0,333…, где тройки продолжаются бесконечно, в точности равно 1/3. Когда вы записываете периодическую дробь, покажите, что она повторяется, с помощью многоточия или черты над повторяющимися цифрами. Иначе это будет другое число.

Почему 0,999… равно 1?

Это удивляет многих. Начнём с 1/3 = 0,333…. Умножим обе части на 3. Слева получится 3/3, то есть 1. Справа получится 0,999…. Значит, 0,999… = 1. Правило девяток с этим согласно, ведь 0,999… = 9/9 = 1. Это не число чуть меньше 1, а просто другая запись единицы.

Какие ошибки делают при переводе десятичной дроби в обыкновенную?

Самые частые ошибки такие: неправильное количество нулей в знаменателе, забытое сокращение, потерянная целая часть и обращение с оборванной десятичной дробью так, будто она периодическая. Каждую из них легко заметить, если проверить ответ делением числителя на знаменатель.

Пример

Ученик переводит 0,05 и пишет 5/10. Но это 0,5, в десять раз больше. У 0,05 два знака после запятой, поэтому знаменатель равен 100. Правильный ответ 5/100, что сокращается до 1/20.

Обратите внимание на такие ошибки:

1. Неправильная степень десяти. Считайте все цифры после запятой, включая нули. У 0,05 два знака, а не один.
2. Нет сокращения. 75/100 верно, но не закончено. Ожидаемый ответ 3/4.
3. Потерянная целая часть. 3,2 равно 3 2/10, что сокращается до 3 1/5, или 16/5. Это не 2/10.
4. Обрезанная периодическая дробь. 0,66 равно 66/100 = 33/50, а 0,666… равно 2/3.

Какие обыкновенные дроби превращаются в периодические?

Несократимая дробь даёт конечную десятичную дробь, если у знаменателя нет простых множителей, кроме 2 и 5. Если у знаменателя есть любой другой простой множитель, например 3, 7 или 11, десятичная дробь повторяется бесконечно. Так можно быстро понять, чего ждать, ещё до деления.

Пример

Посмотрим на 3/8. Знаменатель 8 равен 2 · 2 · 2, поэтому десятичная дробь конечна. 3/8 = 0,375. Теперь посмотрим на 1/6. Знаменатель 6 равен 2 · 3, и из-за тройки дробь получается периодической. 1/6 = 0,1666…. Точно так же 1/7 = 0,142857142857…, и шесть цифр повторяются бесконечно, потому что 7 является простым числом, отличным от 2 и 5.

Это правило также объясняет, почему двух способов выше хватает на все случаи. Конечные десятичные дроби получаются из обыкновенных, у которых в знаменателе только двойки и пятёрки, а периодические получаются из всех остальных. В любом случае конечная или периодическая десятичная дробь на самом деле является обыкновенной дробью в другом виде.