Equação ponto-declive da reta e quando usá-la em vez de y = mx + b

Como se escreve a equação ponto-declive de uma reta?

Põe o declive no lugar de m e as coordenadas de um ponto que conheces no lugar de x₁ e y₁. Deixa x e y como letras. Representam todos os outros pontos da reta. Usa a equação ponto-declive quando conheces um ponto da reta e o seu declive.

Exemplo

Escreve a reta que passa por (2, 3) e tem declive 2.

1. O ponto dá x₁ = 2 e y₁ = 3.
2. O declive dá m = 2.
3. Substitui: y − 3 = 2(x − 2).

Está feito, não há nada para simplificar. Se quiseres ter a certeza, testa um segundo ponto. A partir de (2, 3), um passo para a direita e dois para cima levam-te a (3, 5). Substitui esses números: à esquerda, 5 − 3 = 2, e à direita, 2(3 − 2) = 2. Coincidem.

Repara que (2, 3) aparece dentro da própria equação. Quando desenhares a reta, podes pôr o lápis primeiro nesse ponto e continuar a partir daí.

Como se obtém a equação ponto-declive a partir de dois pontos?

Calcula primeiro o declive com m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Depois escolhe qualquer um dos dois pontos e substitui-o em y − y₁ = m(x − x₁), juntamente com esse declive. Não importa que ponto escolhes. As equações parecem diferentes, mas depois de simplificadas descrevem ambas a mesma reta.

Exemplo

Determina a reta que passa por (1, −2) e (4, 7).

1. Declive: m = (7 − (−2)) : (4 − 1) = 9 : 3 = 3
2. Com (1, −2): y − (−2) = 3(x − 1), ou seja, y + 2 = 3(x − 1)
3. Com (4, 7): y − 7 = 3(x − 4)

Se desenvolveres qualquer uma delas, obténs y = 3x − 5. Convém saber isto antes de corrigir os trabalhos de casa pelas soluções. Se um aluno usou (4, 7) e as soluções usaram (1, −2), vais ver duas equações diferentes, e nenhuma está errada.

Porque é que um ponto negativo muda os sinais?

A fórmula subtrai as coordenadas do ponto. Se uma coordenada for negativa, acabas por subtrair um número negativo, e isso transforma-se numa soma. Assim, o ponto (−4, −1) dá y + 1 e x + 4. Escrever os parênteses por extenso antes de simplificar é a forma mais simples de evitar que o sinal mude para o lado errado.

Exemplo

Escreve a reta que passa por (−4, −1) e tem declive 1/2.

1. Com parênteses: y − (−1) = 1/2(x − (−4))
2. Simplificada: y + 1 = 1/2(x + 4)

Também funciona ao contrário. Se te derem y + 5 = −2(x − 6), o ponto da reta é (6, −5), e não (6, 5). Seja qual for o sinal que vês dentro da equação, a coordenada tem o sinal contrário.

Como se passa da equação ponto-declive para a equação reduzida?

Desenvolve o parêntese e passa o número do lado esquerdo para o outro lado, de modo que o y fique sozinho. O que obténs é a equação reduzida da reta, y = mx + b. O declive não muda durante a conversão, e o número que fica sozinho no fim é a ordenada na origem, o ponto onde a reta interseta o eixo das ordenadas.

Exemplo

Converte y − 3 = 2(x − 2).

1. Desenvolve o parêntese: y − 3 = 2x − 4
2. Adiciona 3 a ambos os membros: y = 2x − 1

O declive continua a ser 2, e a reta interseta o eixo das ordenadas em (0, −1). Podes ver esse ponto no gráfico acima. O caminho inverso é igualmente rápido. Pega em y = −3x + 5, escolhe x = 1 e obténs y = 2. O ponto (1, 2) e o declive −3 dão y − 2 = −3(x − 1).

Que forma deves usar?

Usa a forma que melhor se ajusta ao que já sabes.

• A equação ponto-declive, quando tens um ponto e o declive, ou dois pontos.
• A equação reduzida, quando queres ler o declive e a ordenada na origem ou desenhar o gráfico.
• A equação geral, Ax + By + C = 0, quando precisas dos pontos onde a reta interseta os dois eixos.

Muitos professores querem a resposta final na forma y = mx + b. Nada te impede de começar pela equação ponto-declive e converter no fim.

De onde vem a fórmula ponto-declive?

É a fórmula do declive, reorganizada. Escolhe um ponto fixo (x₁, y₁) de uma reta e qualquer outro ponto (x, y) da mesma reta. O declive entre eles é m = (y − y₁) : (x − x₁). Multiplica ambos os membros por (x − x₁) e obténs y − y₁ = m(x − x₁).

Exemplo

Continua com a reta que passa por (2, 3) com declive 2 e testa o ponto (5, 9). O declive de (2, 3) para (5, 9) é (9 − 3) : (5 − 2) = 6 : 3 = 2. É o mesmo declive, por isso (5, 9) pertence à reta. A equação ponto-declive diz exatamente isso: 9 − 3 = 2(5 − 2).

O manual gratuito OpenStax Elementary Algebra 2e deduz a fórmula da mesma maneira. Depois usa-a para retas que passam por dois pontos e para retas paralelas e perpendiculares, que é precisamente o tema da secção seguinte.

Como se usa a equação ponto-declive com retas paralelas e perpendiculares?

Uma reta paralela tem o mesmo declive que a reta original. Uma reta perpendicular tem o simétrico do inverso, ou seja, inverte-se a fração e troca-se o sinal. Um declive de 2 passa a −1/2, e um declive de −3/4 passa a 4/3. Quando tiveres o novo declive, coloca-o na equação ponto-declive com o ponto que te foi dado.

Exemplo

Determina a reta que passa por (2, 3) e é perpendicular a y = 2x − 1.

1. O declive original é 2, ou seja, 2/1.
2. Inverte e troca o sinal: −1/2.
3. Equação ponto-declive: y − 3 = −1/2(x − 2)
4. Equação reduzida: y = −1/2x + 4

Verificação rápida com x = 2: −1/2 × 2 + 4 = 3, que é a ordenada do nosso ponto. Para uma paralela que passe por (6, 0), mantém o declive 2: y − 0 = 2(x − 6), ou seja, y = 2x − 12.

Todas as retas se podem escrever na forma ponto-declive?

Quase todas. A exceção é a reta vertical. Todos os seus pontos têm a mesma abcissa, por isso o avanço horizontal é 0, e calcular um declive obrigaria a dividir por zero. Assim, a reta vertical que passa por (3, 1) escreve-se x = 3. As retas horizontais não causam problema nenhum, porque o seu declive é simplesmente 0.

Exemplo

Pega na reta horizontal que passa por (1, 4). Na forma ponto-declive fica y − 4 = 0(x − 1). Zero vezes qualquer número dá zero, por isso a equação reduz-se a y − 4 = 0, ou seja, y = 4.

Como se pode praticar a equação ponto-declive?

A rapidez com retas vem de ver muitas. No jogo de funções afins lutas a responder a perguntas sobre retas. Uma ronda pode pedir o declive de (−2, 2) para (0, −6), e uma resposta certa faz o teu ataque acertar. Essa dá (−6 − 2) : (0 − (−2)) = −8 : 2 = −4.

A conversão entre formas é sempre uma pequena equação. Se é aí que encravas, algumas rondas do jogo de equações ajudam. Vais usar os mesmos passos sempre que precisares de reorganizar uma fórmula.

A letra do declive também muda de país para país. Em Portugal usa-se m, como em inglês, mas noutros países vais encontrar k ou a. Seja qual for a letra, o número antes do parêntese é o declive, e os números dentro do parêntese vêm de um ponto da reta.

Um ponto e um declive definem a reta

Um único ponto e um declive definem completamente uma reta, e a equação ponto-declive escreve isso diretamente. Substitui com cuidado, mantém os parênteses até os sinais estarem resolvidos e testa o resultado com um segundo ponto. Depois disso, chegar a y = mx + b são só dois passos curtos.