Prioridade das operações: PEMDAS, BODMAS e a regra por detrás

Como se aplica a prioridade das operações passo a passo?

Com a prioridade das operações (em inglês, PEMDAS), resolves um cálculo em quatro etapas. Primeiro, o que está dentro dos parênteses, depois as potências, a seguir multiplicações e divisões da esquerda para a direita e, por fim, adições e subtrações, também da esquerda para a direita. Volta a escrever a linha toda depois de cada etapa, para que qualquer erro se detete facilmente mais tarde.

Exemplo

Calcula 3 + 4 × (6 − 2)² ÷ 8.

1. Parênteses: 6 − 2 = 4, e fica 3 + 4 × 4² ÷ 8
2. Potências: 4² = 16, e fica 3 + 4 × 16 ÷ 8
3. Multiplicação e divisão, da esquerda para a direita: 4 × 16 = 64, depois 64 ÷ 8 = 8, e fica 3 + 8
4. Adição e subtração: 3 + 8 = 11

Copiar a linha outra vez parece demorado. Ainda assim, é a melhor proteção contra erros. Um engano típico é somar o 3 e o 4 logo no início. Isso dá 7, e o resultado final fica errado.

Na PEMDAS a multiplicação vem antes da divisão?

Não. A multiplicação e a divisão estão no mesmo nível, tal como a adição e a subtração. Dentro de cada par, segue-se simplesmente da esquerda para a direita. A PEMDAS põe o M antes do D só porque uma palavra tem de pôr as letras por alguma ordem. Tratar as letras como uma hierarquia rígida é um dos erros mais frequentes na prioridade das operações.

Exemplo

Calcula 24 ÷ 4 × 2.

1. A partir da esquerda, a divisão aparece primeiro: 24 ÷ 4 = 6
2. Depois, a multiplicação: 6 × 2 = 12

Se multiplicares primeiro, obténs 24 ÷ 8 = 3, o que está errado. Com a adição e a subtração passa-se o mesmo. Em 10 − 4 + 3, da esquerda para a direita dá 6 + 3 = 9. Se somares primeiro, dá 10 − 7 = 3, também errado.

O manual gratuito OpenStax Prealgebra 2e di-lo com toda a clareza. A multiplicação e a divisão fazem-se por ordem, da esquerda para a direita, porque têm a mesma prioridade. Muitos adultos já não se lembram deste pormenor da escola, e é ele que está por trás de muitas discussões sobre desafios de matemática na internet.

Qual é a diferença entre PEMDAS, BODMAS e BIDMAS?

Nas regras não há diferença nenhuma, só nas palavras. PEMDAS começa por P de parentheses (parênteses), enquanto BODMAS e BIDMAS começam por B de brackets, que também quer dizer parênteses. E (exponents), O (orders) e I (indices) querem dizer o mesmo: potências e raízes. Todas as versões põem a multiplicação e a divisão num nível, e a adição e a subtração no seguinte.

Exemplo

Calcula 2 + 3 × 4² tendo cada versão em mente.

1. Primeiro as potências: 4² = 16
2. Depois a multiplicação: 3 × 16 = 48
3. Depois a adição: 2 + 48 = 50

A BODMAS escreve o D antes do M, e a PEMDAS escreve o M antes do D. As duas dão 50 aqui, e dão o mesmo resultado em qualquer cálculo. Se a ordem das letras continuar a baralhar, pode ajudar escrever a regra como quatro níveis em vez de seis letras: parênteses, potências, multiplicar ou dividir, somar ou subtrair.

Porque precisamos de uma prioridade das operações?

Sem uma ordem combinada, uma linha como 2 + 3 × 4 poderia querer dizer duas coisas diferentes. Se somares primeiro, dá 20. Se multiplicares primeiro, dá 14. A convenção diz que a multiplicação vem primeiro, portanto o resultado é 14. O objetivo da regra é simplesmente que toda a gente que lê o mesmo cálculo chegue ao mesmo resultado.

Exemplo

Uma amiga compra 3 cadernos a 4 moedas cada e uma caneta por 2 moedas. O total é 2 + 3 × 4 = 2 + 12 = 14 moedas. Somar primeiro daria 5 × 4 = 20, como se tivesse comprado a caneta quatro vezes.

A convenção é muito mais antiga do que as siglas. Segundo o MacTutor, o arquivo de história da matemática da Universidade de St Andrews, fazer a multiplicação antes da adição e da subtração já era a regra nos primeiros livros de álgebra simbólica, no século XVI. A mesma página cita um historiador que, no final da década de 1920, escrevia que ainda não havia acordo sobre se ÷ ou × devia vir primeiro.

Quanto dá 8 ÷ 2(2 + 2)?

Se seguires a prioridade das operações tal como se ensina, 8 ÷ 2(2 + 2) dá 16. Os parênteses vêm primeiro e dão 4. O 2 escrito encostado aos parênteses indica uma multiplicação, e a divisão e a multiplicação fazem-se da esquerda para a direita, portanto 8 ÷ 2 × 4 = 4 × 4 = 16. Na escola a divisão também se escreve com dois pontos (8 : 2), mas a regra é a mesma.

Exemplo

Aqui tens as duas leituras lado a lado.

1. Da esquerda para a direita: 8 ÷ 2 × 4 = 4 × 4 = 16
2. Com 2(2 + 2) como um só bloco: 8 ÷ (2 × 4) = 8 ÷ 8 = 1

O verdadeiro problema é a forma como o cálculo está escrito. Uma nota no site do departamento de matemática de Berkeley assinala que não há uma convenção padrão para expressões destas, porque escrever um número encostado aos parênteses sugere que os dois andam juntos. Os matemáticos evitam a discussão toda com parênteses a mais: (8 ÷ 2)(2 + 2) ou 8 ÷ (2(2 + 2)).

O traço de fração agrupa da mesma maneira. Se 6 + 4 estiver escrito por cima do traço de fração e 2 por baixo, somas primeiro, portanto o resultado é 10 ÷ 2 = 5.

Quais são os erros mais comuns na prioridade das operações?

A maioria dos erros vem de ler a sigla como seis passos separados por uma ordem fixa. Isso leva a multiplicar antes de dividir ou a somar antes de subtrair. Outros enganos são esquecer que o traço de fração agrupa o que está por cima e por baixo dele, e elevar um número negativo ao quadrado sem os seus parênteses. Reescrever a linha depois de cada passo apanha a maior parte deles.

Os enganos que estão sempre a voltar

• Multiplicar antes de dividir. Em 24 ÷ 4 × 2, segue da esquerda para a direita: 6 × 2 = 12.
• Somar antes de subtrair. Em 10 − 4 + 3, segue da esquerda para a direita: 6 + 3 = 9.
• Elevar um número negativo ao quadrado. −3² significa −(3²) = −9, mas (−3)² = 9. São os parênteses que decidem se o sinal menos é elevado ao quadrado.
• Começar pelos parênteses retos de fora. Em 2 × [5 + (3 − 1)²], começa por dentro: 3 − 1 = 2, depois 2² = 4, depois 5 + 4 = 9 e, por fim, 2 × 9 = 18.
• Ignorar o traço de fração. Calcula primeiro a parte de cima e a de baixo, cada uma à parte, e só depois divide.

Como se pode treinar a prioridade das operações?

Cálculos curtos e frequentes são a melhor forma de treinar esta regra. No jogo de prioridade das operações, cada ataque é um cálculo misto como (5 + 3) × 7. Resolves os parênteses, multiplicas e escreves 56 para acertar o ataque.

As potências atrasam muita gente, sobretudo com números negativos. Se é aí que encalhas, experimenta primeiro o jogo de potências. Depois disso, os cálculos mais longos com potências tornam-se mais fáceis de resolver.

O nome da regra depende de onde a aprendes. Nos Estados Unidos é PEMDAS, e no Reino Unido é BODMAS ou BIDMAS. Outras línguas usam as suas próprias frases curtas, mas a regra de fundo é a mesma em todo o lado. Em Portugal, aprende-se na escola como prioridade das operações.

Uma regra comum para que todos cheguem ao mesmo resultado

A prioridade das operações é um acordo, não uma lei da natureza, e só funciona porque toda a gente usa a mesma. Primeiro os parênteses, depois as potências, a seguir a multiplicação e a divisão da esquerda para a direita e, por fim, a adição e a subtração da esquerda para a direita. Quando um cálculo ainda puder ser lido de duas maneiras, acrescenta parênteses e a discussão acaba.