Por que a equação reduzida da reta é tão útil
Quando uma equação está nessa forma, você lê direto o coeficiente angular e o ponto de partida e consegue esboçar a reta em segundos. A seguir você vai ver como ler essa equação, como montá-la a partir de dois pontos ou de outra forma da equação, e os erros que mais confundem as pessoas.
Como encontrar a equação reduzida da reta?
Para encontrar a equação reduzida, você precisa de duas coisas, o coeficiente angular a e o coeficiente linear b. O coeficiente angular sai de dois pontos com a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁). Depois, substitua um ponto e o coeficiente angular em y = ax + b e isole b. Escreva o resultado com os seus números no lugar de a e b.
Exemplo
Encontre a reta que passa pelos pontos (1, 5) e (3, 9).
- Coeficiente angular: a = (9 − 5) ÷ (3 − 1) = 4 ÷ 2 = 2
- Use o ponto (1, 5): 5 = 2 × 1 + b, então b = 3
- Equação: y = 2x + 3
- Confira com o outro ponto (3, 9): 2 × 3 + 3 = 9. Deu certo.
Essa conferência final leva dez segundos e pega a maioria dos erros, então vale a pena transformá-la em hábito.
E se o coeficiente angular for uma fração?
Frações são totalmente normais aqui, e uma fração não significa que você errou. Pegue os pontos (4, 0) e (−2, 4). O coeficiente angular é (4 − 0) ÷ (−2 − 4) = 4 ÷ (−6) = −2/3. Então 0 = −2/3 × 4 + b dá b = 8/3, ou seja, y = −2/3x + 8/3. Confira com (−2, 4): 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.
Mantenha o coeficiente angular como fração em vez de arredondar para um decimal, porque a fração é exata e a conferência vai bater certinho. Se as frações são o que deixa você mais lento, algumas rodadas do jogo de frações deixam muito mais rápido achar frações equivalentes e simplificar.
Na rodada acima, 7/10 = 70/100, porque o numerador e o denominador são multiplicados por 10.
O que significam a e b em y = ax + b?
Em y = ax + b, o número a é o coeficiente angular e o número b é o coeficiente linear. O coeficiente angular diz quanto y muda quando x aumenta 1, ou seja, quanto a reta sobe a cada unidade que avança para a direita. O coeficiente linear é o valor de y quando x = 0, que é o ponto (0, b) onde a reta corta o eixo y.
Exemplo
Em y = 3x − 2, o coeficiente angular é 3 e o coeficiente linear é −2. A reta corta o eixo y em (0, −2), e cada passo de 1 para a direita faz a reta subir 3. Em y = −2x + 4, o coeficiente angular é −2, então a reta desce 2 a cada passo para a direita, e corta o eixo y em (0, 4).
O livro OpenStax College Algebra 2e (em inglês) descreve a inclinação como "quanto sobe dividido por quanto avança" e o coeficiente linear como o ponto em que o valor de entrada é zero. Um coeficiente angular positivo faz a reta subir da esquerda para a direita, um negativo faz a reta descer, e quanto maior o número (sem considerar o sinal), mais inclinada é a reta.
Um jeito do dia a dia de imaginar a e b
Uma vela tem 20 cm de altura e queima 2 cm por hora. A altura dela depois de t horas é h = −2t + 20. O 20 é de onde ela começa (b), e o −2 é quanto ela muda a cada hora (a). Depois de 3 horas ela tem 14 cm, e depois de 10 horas ela acabou. Muitos alunos acham mais fácil pensar em b como o valor inicial e em a como a variação a cada passo.
Como fazer o gráfico de uma reta pela equação reduzida?
Para fazer o gráfico de y = ax + b, comece pelo coeficiente linear, o ponto (0, b) no eixo y. A partir dele, use o coeficiente angular como "quanto sobe dividido por quanto avança". Ande para a direita o quanto avança e para cima o quanto sobe (ou para baixo se o coeficiente angular for negativo) para achar um segundo ponto. Trace uma reta pelos dois pontos e prolongue.
Exemplo
Faça o gráfico de y = 2x + 1.
- Marque o coeficiente linear (0, 1).
- O coeficiente angular 2 significa 2/1, então ande 1 para a direita e 2 para cima. Você chega em (1, 3).
- Trace a reta que passa por (0, 1) e (1, 3).
Para um coeficiente angular como −2/3, ande 3 para a direita e 2 para baixo. Usar o denominador como o avanço mantém você nos pontos da malha, e fica mais fácil desenhar a reta com precisão.
Como passar da equação geral para a equação reduzida?
Para transformar uma equação como Ax + By = C na forma reduzida, isole y. Passe o termo com x para o outro lado e depois divida todos os termos pelo número que multiplica y. O número que multiplica x agora é o coeficiente angular, e o número sozinho é o coeficiente linear.
Exemplo
Transforme 2x + 3y = 6.
- Subtraia 2x dos dois lados: 3y = −2x + 6
- Divida todos os termos por 3: y = −2/3x + 2
O coeficiente angular é −2/3 e o coeficiente linear é 2. Um deslize frequente é ler o coeficiente angular como 2 direto de 2x + 3y = 6. Os números só representam o coeficiente angular e o coeficiente linear depois que y está sozinho de um lado.
Equação fundamental ou equação reduzida?
A equação fundamental da reta, y − y₁ = a(x − x₁), é prática quando você conhece um ponto e o coeficiente angular, porque dá para escrever na hora. Para o ponto (1, 5) e coeficiente angular 2, você obtém y − 5 = 2(x − 1). Desenvolva e simplifique, y = 2x − 2 + 5, e você volta para y = 2x + 3. As duas formas descrevem a mesma reta.
Quais retas não podem ser escritas na forma reduzida?
Retas verticais não podem ser escritas na forma reduzida. Todos os pontos de uma reta vertical têm o mesmo x, então o avanço é 0 e calcular o coeficiente angular significaria dividir por zero. Por isso o coeficiente angular de uma reta vertical não é definido. A reta vertical que passa por x = 3 é escrita simplesmente como x = 3.
Exemplo
Os pontos (3, 1) e (3, 6) estão em uma reta vertical. O coeficiente angular seria (6 − 1) ÷ (3 − 3) = 5 ÷ 0, que não tem resposta. Então a reta é x = 3. Uma reta vertical também nunca corta o eixo y, a não ser que seja o próprio eixo y, então não existe coeficiente linear para colocar no lugar de b.
Retas horizontais não têm problema. Os pontos (−1, 4) e (5, 4) dão um coeficiente angular de 0 ÷ 6 = 0, então a reta é y = 0x + 4, que é simplesmente y = 4.
Quais são os erros mais comuns com a equação reduzida da reta?
A maioria dos erros com a equação reduzida são pequenos deslizes, e não falta de entendimento. As pessoas trocam as coordenadas de um ponto, subtraem em ordens diferentes em cima e embaixo na fórmula do coeficiente angular, ou leem a e b antes de isolar y. Conferir a equação final com um dos pontos originais pega quase todos eles.
Soluções rápidas para cada deslize
Estes são os deslizes que aparecem o tempo todo, com uma solução rápida para cada um.
- Confundir x e y em um ponto. (5, 7) significa x = 5 e y = 7. Ao ler, pense "primeiro na horizontal, depois na vertical".
- Mudar a ordem da subtração. Se em cima você faz 9 − 5, embaixo faça 3 − 1, com o mesmo ponto primeiro nas duas vezes.
- Trocar a e b. Em y = 4 + 3x o coeficiente angular continua sendo 3, porque ele é o número que multiplica x, esteja onde estiver.
- Esquecer um sinal de menos. Em y = −x + 2 o coeficiente angular é −1, não 1.
- Achar que uma fração tem que estar errada. Coeficientes angulares como 3/4 ou −2/3 são tão válidos quanto 2.
Praticando a equação reduzida até ficar automático
Ler retas rapidamente vem de ver muitas delas. No jogo de funções lineares, cada ataque é uma pergunta sobre uma reta, então você pratica bastante a identificar coeficientes angulares e lineares sem parecer lição de casa.
Isolar b também é só uma pequena equação de um passo. Se é nessa etapa que você trava, o jogo de equações é um ótimo aquecimento.
As letras mudam de país para país. No Brasil escrevemos y = ax + b, enquanto nos países de língua inglesa se escreve y = mx + b, em Portugal também y = mx + b, na Espanha y = mx + n, na Rússia y = kx + b e na Itália y = mx + q. Sejam quais forem as letras, o número que multiplica x é sempre o coeficiente angular e o número sozinho indica onde a reta corta o eixo y.
Dois números descrevem qualquer reta que não seja vertical
Toda reta que não é vertical pode ser escrita como y = ax + b, então dois números bastam para descrevê-la completamente. O coeficiente angular diz o quanto ela é inclinada e para que lado vai, e o coeficiente linear diz onde ela começa. Encontre esses dois números, confira sua equação com um ponto e o resto vem naturalmente.
Treine estes a seguir