Todo decimal que termina, e todo decimal que se repete para sempre, pode ser escrito como fração. Transformar um decimal em fração leva três passos curtos para a maioria dos números, mais um truque extra para as dízimas periódicas, como 0,333…. Abaixo você encontra os dois métodos, uma lista dos decimais que vale a pena saber de cor e os erros que mais confundem as pessoas.
Como transformar um decimal em fração?
Para transformar um decimal em fração, escreva os algarismos depois da vírgula sobre 10, 100 ou 1000, dependendo de quantas casas decimais houver. Uma casa decimal vai sobre 10, duas vão sobre 100, três vão sobre 1000. Depois simplifique a fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número.
Exemplo
Transforme 0,75 em fração.
- Conte as casas decimais. 0,75 tem duas, então o denominador é 100.
- Escreva os algarismos sobre ele. 0,75 = 75/100.
- Simplifique. Tanto 75 quanto 100 podem ser divididos por 25, o que dá 3/4.
Então 0,75 = 3/4. Um jeito rápido de conferir é dividir 3 por 4 no papel ou na calculadora. Você obtém 0,75 de novo.
Quanto é 2,5 em fração?
2,5 tem uma casa decimal, então vira 25/10. Os dois números podem ser divididos por 5, o que dá 5/2. Você também pode deixar a parte inteira separada. O 2 fica como está e o 0,5 vira 5/10, que simplificado dá 1/2. Então 2,5 = 5/2 = 2 1/2.
Quanto é 0,125 em fração?
0,125 tem três casas decimais, então vira 125/1000. Os dois números podem ser divididos por 125, o que dá 1/8. Vale a pena lembrar este, porque os oitavos aparecem muito em receitas, medidas e exercícios da escola.
A resposta deve ser um número misto ou uma fração imprópria?
As duas formas estão certas. 1,25 pode ser escrito como 5/4 (uma fração imprópria, com o numerador maior do que o denominador) ou como 1 1/4 (um número misto, com uma parte inteira e uma fração). Em alguns lugares os professores preferem uma das formas, então confira o que o exercício pede. Para passar de uma para a outra, 5/4 quer dizer quatro quartos (um inteiro) mais um quarto.
Como simplificar a fração?
Para simplificar uma fração, divida o numerador e o denominador pelo maior número que divide os dois, chamado de máximo divisor comum. Se você não o enxergar logo, divida várias vezes por números pequenos como 2, 5 ou 10 até que nenhum outro divida os dois. Uma fração está totalmente simplificada quando o único número que divide os dois é 1.
Exemplo
Transforme 0,36. Ele tem duas casas decimais, então começa como 36/100. Os dois números podem ser divididos por 4, o que dá 9/25. Agora 9 e 25 não têm nenhum divisor comum além de 1, então 9/25 é a forma mais simples.
Você também pode ir em passos menores. 36/100 dividido por 2 dá 18/50, e dividido por 2 de novo dá 9/25. Você chega ao mesmo lugar. Achar o máximo divisor comum rapidamente é uma habilidade por si só, e o jogo de MDC transforma isso num desafio rápido. É um bom aquecimento antes de exercícios mais longos com frações.
Quais decimais vale a pena saber de cor?
Um pequeno grupo de decimais aparece o tempo todo, e saber as frações deles economiza tempo. Entre eles estão os meios, os quartos, os quintos e os oitavos, além das dízimas periódicas dos terços. Com eles na memória, muitas vezes você consegue transformar um decimal de cabeça, sem escrever nada.
- 0,1 = 1/10
- 0,2 = 1/5
- 0,25 = 1/4
- 0,4 = 2/5
- 0,5 = 1/2
- 0,6 = 3/5
- 0,75 = 3/4
- 0,8 = 4/5
- 0,125 = 1/8
- 0,375 = 3/8
- 0,625 = 5/8
- 0,875 = 7/8
- 0,333… = 1/3
- 0,666… = 2/3
- 0,1666… = 1/6
- 0,111… = 1/9
Exemplo
Quanto é 0,625? Se você sabe que 0,125 = 1/8, então 0,625 é cinco vezes isso, ou seja, 5/8. Contas conhecidas como essa permitem montar outras novas. Passar de uma forma para a outra fica bem mais rápido com o uso frequente, e rodadas curtas do jogo de decimais ou do jogo de frações são um jeito divertido de ganhar essa rapidez. Mesmo alguns minutos por dia deixam a lista acima familiar.
Como transformar uma dízima periódica em fração?
Num decimal em que os mesmos algarismos se repetem logo depois da vírgula, escreva a parte que se repete sobre a mesma quantidade de noves. Um algarismo que se repete vai sobre 9, dois vão sobre 99, três vão sobre 999. Depois simplifique. Então 0,777… = 7/9, e 0,272727… = 27/99, que simplificado dá 3/11.
Exemplo
Transforme 0,454545… em fração. A parte que se repete é 45, que tem dois algarismos, então vai sobre 99. Isso dá 45/99. Os dois números podem ser divididos por 9, então a resposta é 5/11. Você pode conferir dividindo 5 por 11, o que dá 0,454545… de novo.
Quando a repetição começa mais tarde, como em 0,1666…, a regra dos noves precisa de um passo extra. Um método que sempre funciona usa um pouco de álgebra:
- Chame o número de x. Então x = 0,1666…
- Multiplique por 10 para passar o algarismo que não se repete para antes da vírgula. 10x = 1,666…
- Multiplique por 100 para passar também uma repetição completa. 100x = 16,666…
- Subtraia a segunda linha da terceira. As partes que se repetem se cancelam. 90x = 15.
- Divida. x = 15/90, que simplificado dá 1/6.
0,333 é a mesma coisa que 1/3?
Não. 0,333 com exatamente três algarismos é 333/1000, que é um pouquinho menos do que 1/3. Só 0,333…, em que os 3 continuam para sempre, é exatamente 1/3. Quando você escrever uma dízima periódica, mostre que ela se repete com reticências ou com um traço sobre os algarismos que se repetem. Senão, é outro número.
Por que 0,999… é igual a 1?
Isso surpreende muita gente. Comece por 1/3 = 0,333…. Multiplique os dois lados por 3. Do lado esquerdo você tem 3/3, que é 1. Do lado direito você tem 0,999…. Então 0,999… = 1. A regra dos noves concorda, porque 0,999… = 9/9 = 1. Não é um número um pouco abaixo de 1, é outro jeito de escrever 1.
Quais erros as pessoas cometem ao transformar decimais em frações?
Os erros mais comuns são usar a quantidade errada de zeros no denominador, esquecer de simplificar, perder a parte inteira e tratar um decimal cortado como se fosse periódico. Cada um é fácil de pegar se você conferir a resposta dividindo o numerador pelo denominador.
Exemplo
Um estudante transforma 0,05 e escreve 5/10. Isso é 0,5, dez vezes maior. 0,05 tem duas casas decimais, então vai sobre 100. A resposta certa é 5/100, que simplificado dá 1/20.
Fique de olho nestes:
- A potência de 10 errada. Conte todos os algarismos depois da vírgula, inclusive os zeros. 0,05 tem duas casas, não uma.
- Não simplificar. 75/100 está certo, mas incompleto. A resposta esperada é 3/4.
- Esquecer a parte inteira. 3,2 é 3 2/10, que simplificado dá 3 1/5, ou 16/5. Não é 2/10.
- Cortar uma dízima periódica. 0,66 é 66/100 = 33/50, enquanto 0,666… é 2/3.
Quais frações viram dízimas periódicas?
Uma fração na forma mais simples dá um decimal que termina se o denominador não tiver fatores primos além de 2 e 5. Se o denominador tiver qualquer outro fator primo, como 3, 7 ou 11, o decimal se repete para sempre. É um jeito rápido de saber o que esperar antes de dividir.
Exemplo
Veja 3/8. O denominador 8 é 2 × 2 × 2, então o decimal termina. 3/8 = 0,375. Agora veja 1/6. O denominador 6 é 2 × 3, e o 3 faz o decimal se repetir. 1/6 = 0,1666…. Do mesmo jeito, 1/7 = 0,142857142857…, com os seis algarismos se repetindo para sempre, porque 7 é um primo diferente de 2 e de 5.
Essa regra também explica por que os dois métodos acima cobrem todos os casos. Decimais que terminam vêm de frações só com 2 e 5 no denominador, e decimais que se repetem vêm de todas as outras. De qualquer forma, um decimal que termina ou se repete é uma fração disfarçada.