Co to są liczby całkowite? Proste wyjaśnienie z przykładami

Liczby całkowite na osi liczbowej

Na osi liczbowej liczby całkowite to równo rozmieszczone punkty, na które trafiasz, gdy liczysz od 0 do przodu lub do tyłu. Liczby takie jak 1/2, 3,5 czy √2 leżą w przerwach między nimi, więc nie są liczbami całkowitymi. Oto jak odróżnić jedne od drugich, dlaczego zero też się liczy i jak naprawdę działają reguły znaków dla liczb całkowitych.

Jak sprawdzić, czy liczba jest całkowita?

Liczba jest całkowita, jeśli da się ją zapisać bez ułamka i bez części dziesiętnej. Może być dodatnia, ujemna albo równa zero. Anglojęzyczny podręcznik OpenStax Prealgebra 2e ujmuje to prosto, liczby całkowite to liczby, którymi liczymy, liczby do nich przeciwne i zero. Zatem 7, −7 i 0 są liczbami całkowitymi, a 7,5 nie.

Przykład

Spróbuj tych szybkich sprawdzianów.

• −12 jest liczbą całkowitą, bo jest liczbą przeciwną do 12.
• 0 jest liczbą całkowitą.
• 3,5 nie jest liczbą całkowitą, bo ma część dziesiętną.
• 1/2 nie jest liczbą całkowitą.
• 8/2 jest liczbą całkowitą, bo 8/2 = 4.
• √9 jest liczbą całkowitą, bo √9 = 3.
• √2 nie jest liczbą całkowitą, bo wynosi około 1,41.

Ostatnie przykłady pokazują przydatny nawyk. Najpierw oblicz wartość, potem zdecyduj. Liczba może wyglądać jak ułamek albo pierwiastek, a mimo to okazać się liczbą całkowitą.

Czy 0 jest liczbą całkowitą?

Tak, 0 jest liczbą całkowitą. Leży na środku osi liczbowej, między ujemnymi a dodatnimi liczbami całkowitymi. Zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne, co OpenStax mówi wprost. Jest za to parzyste, bo 0 = 2 · 0, więc dzieli się przez 2 bez reszty.

Czy liczby ujemne są liczbami całkowitymi?

Liczby ujemne są całkowite tylko wtedy, gdy nie mają części ułamkowej ani dziesiętnej. −5 i −100 są liczbami całkowitymi. −2,5 i −3/4 są ujemne, ale nie są liczbami całkowitymi. Ten sam test działa dla każdej liczby, bez względu na znak.

Czym różnią się liczby naturalne od liczb całkowitych?

W polskiej szkole liczby naturalne to 0, 1, 2, 3 i tak dalej, bez liczb ujemnych. Liczby całkowite obejmują je wszystkie oraz liczby ujemne −1, −2, −3 i tak dalej. Zatem −4 jest liczbą całkowitą, ale nie jest liczbą naturalną. Niektóre książki zaczynają liczby naturalne od 1, więc warto sprawdzić, jakiej definicji używa szkoła twojego dziecka.

Przykład

Tak główne zbiory liczb mieszczą się jeden w drugim.

• Liczby naturalne dodatnie: 1, 2, 3, 4, …
• Liczby naturalne (ℕ): 0, 1, 2, 3, 4, …
• Liczby całkowite (ℤ): …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
• Liczby wymierne: wszystkie liczby, które można zapisać jako ułamek liczb całkowitych, np. 1/2, −3/4 i 7 (czyli 7/1)

Matematycy oznaczają zbiór liczb całkowitych literą ℤ. Pochodzi ona od niemieckiego słowa Zahlen, które znaczy „liczby”. Zobaczysz też ℕ dla liczb naturalnych. Nawet z nimi wiąże się mały spór, bo jedne książki zaczynają je od 0, a inne od 1.

Gdzie spotykamy liczby całkowite na co dzień?

Liczby całkowite pojawiają się zawsze, gdy liczymy w górę i w dół od jakiegoś punktu zero. Temperatury poniżej zera, piętra pod ziemią, głębokości poniżej poziomu morza i bilans bramek drużyny piłkarskiej to liczby całkowite, które mogą być ujemne. W każdym z tych przypadków 0 jest punktem odniesienia, a nie „niczym”.

Przykład

Rano jest −4 °C, a do południa temperatura wzrasta o 7 stopni. Zacznij od −4 i odlicz 7 kroków w górę osi liczbowej, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. W południe jest 3 °C, więc −4 + 7 = 3.

W windzie parter to zwykle 0, parking podziemny może być na poziomie −2, a piąte piętro to 5. Przejazd z −2 na 5 to 7 kondygnacji, bo 5 − (−2) = 7.

Jak dodawać i odejmować liczby całkowite?

Przy dodawaniu liczb całkowitych wyobraź sobie oś liczbową. Dodanie liczby dodatniej przesuwa cię w prawo, a dodanie liczby ujemnej w lewo. Odejmowanie jest przeciwieństwem dodawania, więc odjęcie liczby ujemnej przesuwa cię w prawo. Dlatego odjęcie liczby ujemnej daje większy wynik.

Przykład

Oblicz −3 + 5. Zacznij od −3 i zrób 5 kroków w prawo. Mijasz −2, −1, 0 i 1, a zatrzymujesz się na 2. Zatem −3 + 5 = 2.

Kilka kolejnych do spróbowania.

• −6 + 2 = −4, bo 2 kroki w prawo od −6 prowadzą do −4.
• −2 − 5 = −7, bo 5 kroków w lewo od −2 prowadzi do −7.
• 4 − (−3) = 7, bo odjęcie −3 to to samo co dodanie 3.

Dlaczego odjęcie liczby ujemnej daje większy wynik?

Odejmowanie oznacza pytanie „jaka jest różnica?”. Na osi liczbowej różnica między 4 a −3 to 7 kroków, więc 4 − (−3) = 7. OpenStax zapisuje ogólną regułę jako a − (−b) = a + b. Wiele dzieci zacina się przy −5 + 4, bo widzą znak plus i spodziewają się większej liczby. Gdy zaczniesz od −5 i przesuniesz się o 4 w prawo, zobaczysz, że wynik to −1.

Dlaczego minus razy minus daje plus?

Gdy mnożysz dwie liczby całkowite, wynik jest dodatni, jeśli znaki są takie same, i ujemny, jeśli są różne. Minus razy minus daje plus z powodu pewnej regularności. Za każdym razem, gdy pierwsza liczba maleje o 1, wynik zmienia się o tyle samo, a ta regularność trwa dalej tylko wtedy, gdy wynik staje się dodatni.

Przykład

Zobacz, co dzieje się z 3 · (−2), gdy pierwsza liczba za każdym razem maleje o 1.

• 3 · (−2) = −6
• 2 · (−2) = −4
• 1 · (−2) = −2
• 0 · (−2) = 0
• (−1) · (−2) = 2
• (−2) · (−2) = 4

Każdy wynik jest o 2 większy od poprzedniego. Żeby regularność trwała dalej po przekroczeniu zera, (−1) · (−2) musi wynosić 2. Można to też wyobrazić sobie tak, że mnożenie przez −1 obraca cię na osi liczbowej. Obróć się dwa razy, a znów patrzysz w tę samą stronę.

Czy przy dzieleniu obowiązuje ta sama reguła znaków?

Tak. (−12) : 3 = −4 i (−12) : (−3) = 4, z tą samą regułą dotyczącą znaków. Jest jednak jedna różnica. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie dwóch liczb całkowitych zawsze daje liczbę całkowitą, ale dzielenie nie zawsze. 8 : 2 = 4 jest liczbą całkowitą, a 7 : 2 = 3,5 nie.

Jak liczyć szybciej na liczbach całkowitych?

Szybkość w liczeniu na liczbach całkowitych bierze się z wielu małych obliczeń, aż oś liczbowa zostanie ci w głowie. W grze z liczbami ujemnymi każdy atak to szybkie działanie na liczbach ujemnych, więc dzieci ćwiczą reguły znaków, gdy są zajęte wygrywaniem walki.

W rundzie powyżej odjęcie −17 to to samo co dodanie 17, więc −1 − (−17) = −1 + 17 = 16.

Odległość liczby od zera nazywa się jej wartością bezwzględną, więc wartość bezwzględna liczby −5 to 5. To kolejne zagadnienie, które większość uczniów poznaje po liczbach całkowitych, a gra z wartością bezwzględną zamienia je w serię szybkich rund.

Liczby całkowite to liczby, do których dojdziesz, licząc do przodu lub do tyłu

Każda liczba całkowita to krok, do którego dojdziesz, licząc od 0, w prawo dla liczb dodatnich i w lewo dla ujemnych. Zero leży pośrodku i też należy do tej grupy. Jeśli dziecko potrafi wyobrazić sobie tę oś liczbową, reguły dodawania, odejmowania i mnożenia przestają być regułami do wykucia na pamięć i zaczynają mieć sens.