Okrąg jednostkowy to okrąg o promieniu 1 narysowany wokół punktu (0, 0). Wygląda jak kolejna tabela do wykucia na pamięć, ale tak naprawdę to jeden pomysł. Gdy go zobaczysz, odtworzysz każdą wartość na okręgu w kilka sekund, bez zapamiętywania długiej listy liczb.
Czym jest okrąg jednostkowy?
Okrąg jednostkowy to okrąg o promieniu równym dokładnie 1 i środku w początku układu współrzędnych (0, 0). Każdy kąt, mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniej półosi x, wyznacza jeden punkt na okręgu. Ten punkt ma zawsze współrzędne (cos θ, sin θ). Zatem współrzędna x to cosinus kąta, a współrzędna y to sinus.
Przykład
Weź kąt 30°. Poprowadź ze środka linię pod kątem 30° nad osią x, aż dotknie okręgu. Punkt, w którym się zatrzyma, to (√3/2, 1/2), czyli w przybliżeniu (0,866; 0,5). To mówi ci od razu dwie rzeczy. Cosinus 30° wynosi √3/2, a sinus 30° wynosi 1/2.
Każdy punkt okręgu spełnia też równanie x² + y² = 1. Sprawdź to na punkcie dla 30°. (√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1. To równanie to przebrane twierdzenie Pitagorasa, bo promień jest najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego o bokach x i y.
Dlaczego cosinus to współrzędna x, a sinus to współrzędna y?
Wielu uczniów zna stosunki sinusa, cosinusa i tangensa, ale nie widzi, gdzie w tym wszystkim jest okrąg. Narysuj w okręgu trójkąt prostokątny, którego najdłuższym bokiem (przeciwprostokątną) jest promień. Dolny bok biegnie wzdłuż osi x, a pionowy bok idzie w górę do punktu na okręgu.
Cosinus to przyprostokątna przyległa podzielona przez przeciwprostokątną. Na okręgu jednostkowym przeciwprostokątna ma długość 1, więc cosinus to po prostu długość dolnego boku, czyli współrzędna x. Tak samo sinus to przyprostokątna przeciwległa podzielona przez 1, czyli wysokość, a więc współrzędna y. Okrąg po prostu usuwa dzielenie.
Dlaczego na okręgu jednostkowym używa się radianów?
Na okręgu jednostkowym używa się radianów, bo przy promieniu 1 kąt w radianach to dokładnie długość łuku, który przebywasz po okręgu. Pełny obrót to 360°, a cały obwód okręgu to 2π. Zatem 360° to 2π radianów, a 180° to π radianów.
Przykład
Aby zamienić stopnie na radiany, pomnóż przez π i podziel przez 180. Dla 60° daje to 60 · π / 180 = π/3. Aby wrócić, pomnóż przez 180 i podziel przez π. Zatem π/4 radiana to 180 / 4 = 45°.
Kąty takie jak π/8 często mylą uczniów, bo nie ma ich w standardowej tabeli. Sposób polega na myśleniu w częściach półobrotu. π to pół obrotu, π/4 to ćwierć tego półobrotu (45°), a π/8 to połowa π/4, czyli 22,5°. Umieszczasz go w połowie drogi między 0 a punktem dla 45°.
Radiany przydają się też później. W rachunku różniczkowym reguły dla sinusa i cosinusa działają tak zgrabnie tylko wtedy, gdy kąty są podane w radianach. Dlatego nauczyciele przechodzą na radiany, gdy tylko pojawia się okrąg jednostkowy.
Jak zapamiętać okrąg jednostkowy bez wkuwania?
Potrzebujesz tylko wartości dla 0°, 30°, 45°, 60° i 90°. Wszystko inne na okręgu to lustrzane odbicia tych pięciu. Poniżej są trzy sposoby, żeby je odtworzyć, i żaden z nich nie zależy od zdania w jednym języku. Wybierz ten, który wydaje ci się najbardziej naturalny.
Odtwórz go z dwóch trójkątów
Przetnij kwadrat wzdłuż przekątnej, a dostaniesz trójkąt prostokątny z dwoma kątami 45°, więc jego dwa krótsze boki są równe. Niech najdłuższy bok ma długość 1, tak jak promień. Dwa krótsze boki muszą wtedy spełniać x² + y² = 1, a przy x = y oznacza to, że każdy z nich wynosi √2/2. Zatem punkt dla 45° to (√2/2, √2/2).
Teraz narysuj trójkąt równoboczny o bokach 2 i przetnij go na pół. Dostaniesz trójkąt o kątach 30°, 60° i 90° oraz bokach 1, √3 i 2. Podziel każdy bok przez 2, żeby najdłuższy bok miał długość 1. Boki wynoszą teraz 1/2, √3/2 i 1, co daje ci punkty dla 30° i 60°.
Skorzystaj ze wzoru z pierwiastkami
Zapisz liczby 0, 1, 2, 3, 4 pod kątami 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Wyciągnij pierwiastek z każdej liczby i podziel go przez 2. Ten wiersz daje ci sinus każdego kąta. Przeczytaj ten sam wiersz od końca, a dostaniesz cosinus.
- Sinus dla 0°, 30°, 45°, 60°, 90°: √0/2 = 0, √1/2 = 1/2, √2/2, √3/2, √4/2 = 1
- Cosinus dla tych samych kątów: √4/2 = 1, √3/2, √2/2, √1/2 = 1/2, √0/2 = 0
Policz to na dłoni
Unieś lewą dłoń, wnętrzem do siebie. Kciuk oznacza 90°, palec wskazujący 60°, palec środkowy 45°, palec serdeczny 30°, a mały palec 0°. Aby znaleźć wartości dla danego kąta, zegnij jego palec.
Policz palce po stronie małego palca od tego zgiętego, wyciągnij pierwiastek z tej liczby i podziel go przez 2. To daje sinus. Palce po stronie kciuka dają w ten sam sposób cosinus.
Dla 30° zegnij palec serdeczny. Po jego stronie małego palca jest jeden palec (mały), więc sinus wynosi √1/2 = 1/2. Po stronie kciuka są trzy palce, więc cosinus wynosi √3/2.
Każda metoda daje te same pięć punktów. Kilka rund w grze w trygonometrię szybko pokaże, czy przypominasz sobie wartości sinusa i cosinusa pod lekką presją czasu. Takie krótkie, częste ćwiczenie utrwala wartości dużo lepiej niż jedna długa sesja.
Czy trzeba wykuć cały okrąg jednostkowy?
Nie. Potrzebujesz pierwszej ćwiartki (od 0° do 90°) i pewnego sposobu, żeby ją odbijać. Uczniowie, którzy wykuwają całą tabelę na sprawdzian, często zapominają ją po kilku tygodniach. Uczniowie, którzy rozumieją trójkąty i odbicia, mogą ją odtworzyć w każdej chwili, a właśnie tego wymagają późniejsze tematy, takie jak rachunek różniczkowy.
Jak zmieniają się znaki w każdej ćwiartce?
Okrąg ma cztery ćwiartki. W każdej z nich wielkości współrzędnych odpowiadają kątowi z pierwszej ćwiartki, a zmieniają się tylko znaki. W pierwszej ćwiartce x i y są dodatnie. W drugiej x jest ujemne. W trzeciej oba są ujemne. W czwartej y jest ujemne.
Przykład
Znajdź punkt dla 150°. Leży w drugiej ćwiartce, 30° przed 180°. Jest więc lustrzanym odbiciem punktu dla 30° względem osi y. Punkt dla 30° to (√3/2, 1/2). Odbicie sprawia, że współrzędna x staje się ujemna, więc punkt dla 150° to (−√3/2, 1/2).
- Pierwsza ćwiartka (od 0° do 90°): x jest dodatnie, y jest dodatnie
- Druga ćwiartka (od 90° do 180°): x jest ujemne, y jest dodatnie
- Trzecia ćwiartka (od 180° do 270°): x jest ujemne, y jest ujemne
- Czwarta ćwiartka (od 270° do 360°): x jest dodatnie, y jest ujemne
Szybki sposób sprawdzenia to wyobrazić sobie punkt na zwykłym wykresie. Na lewo od osi y oznacza, że x jest ujemne, a pod osią x oznacza, że y jest ujemne. Nie musisz wkuwać tej listy, jeśli potrafisz sobie wyobrazić, gdzie leży punkt.
Czym jest tangens na okręgu jednostkowym?
Tangens kąta to współrzędna y podzielona przez współrzędną x, więc tg θ = sin θ / cos θ. Dla 60° to (√3/2) : (1/2) = √3, czyli około 1,732. Przy 90° i 270° współrzędna x wynosi 0, a przez 0 nie można dzielić, więc dla tych kątów tangens nie jest określony.
Do czego służy okrąg jednostkowy?
Dzięki okręgowi jednostkowemu sinus i cosinus działają dla każdego kąta, a nie tylko dla kątów w trójkącie prostokątnym. To czyni go podstawą wszystkiego, co się powtarza albo obraca. Fale dźwiękowe, fale świetlne, prąd przemienny, ruch wahadła i wskazówki zegara opisuje się za pomocą sinusa i cosinusa.
Przykład
Wyobraź sobie punkt, który porusza się po okręgu ze stałą prędkością. Jego wysokość rośnie do 1, spada do −1 i znowu wraca, tworząc gładką falę. Narysuj tę wysokość w zależności od czasu, a dostaniesz wykres funkcji sinus. Inżynierowie używają dokładnie tego pomysłu do opisu drgań, a twórcy gier i animacji do obracania obiektów na ekranie.
Jedna ćwiartka i dwa trójkąty dają ci cały okrąg
Oto najważniejsze kąty z ich współrzędnymi. Korzystaj z tej listy jako pomocy, ale zanim na nią spojrzysz, spróbuj odtworzyć każdy wiersz za pomocą trójkątów albo sposobu na dłoni.
- 0° (0): (1, 0), tg θ = 0
- 30° (π/6): (√3/2, 1/2), tg θ = √3/3
- 45° (π/4): (√2/2, √2/2), tg θ = 1
- 60° (π/3): (1/2, √3/2), tg θ = √3
- 90° (π/2): (0, 1), tg θ = nieokreślony
- 120° (2π/3): (−1/2, √3/2), tg θ = −√3
- 135° (3π/4): (−√2/2, √2/2), tg θ = −1
- 150° (5π/6): (−√3/2, 1/2), tg θ = −√3/3
- 180° (π): (−1, 0), tg θ = 0
- 210° (7π/6): (−√3/2, −1/2), tg θ = √3/3
- 225° (5π/4): (−√2/2, −√2/2), tg θ = 1
- 240° (4π/3): (−1/2, −√3/2), tg θ = √3
- 270° (3π/2): (0, −1), tg θ = nieokreślony
- 300° (5π/3): (1/2, −√3/2), tg θ = −√3
- 315° (7π/4): (√2/2, −√2/2), tg θ = −1
- 330° (11π/6): (√3/2, −1/2), tg θ = −√3/3
Jeśli jakiś wiersz sprawia ci trudność, wróć do pierwszej ćwiartki, znajdź odpowiadający mu kąt i ustal znaki na podstawie ćwiartki. Ten jeden nawyk zastępuje całą listę.
Potrenuj teraz to