Czy 1 jest liczbą pierwszą? Czym są liczby pierwsze i jak je szybko rozpoznać

Czym jest liczba pierwsza?

Czy 1 jest liczbą pierwszą? Nie. Liczba pierwsza to liczba naturalna, która ma dokładnie dwa różne dzielniki: 1 i samą siebie. Na przykład 7 jest liczbą pierwszą, bo bez reszty dzielą ją tylko 1 i 7. Liczba 1 ma tylko jeden dzielnik, więc nie spełnia tej zasady. Nie jest też liczbą złożoną, więc 1 tworzy osobną grupę.

Czy 1 jest liczbą pierwszą?

Nie, 1 nie jest liczbą pierwszą. Liczba pierwsza musi mieć dokładnie dwa różne dzielniki, a 1 ma tylko jeden. Nie jest też liczbą złożoną, bo liczby złożone mają więcej niż dwa dzielniki. Dlatego matematycy uznają, że 1 nie jest ani liczbą pierwszą, ani złożoną. Najmniejszą liczbą pierwszą jest 2, a jej dzielniki to 1 i 2.

Przykład

Oto dzielniki liczb od 1 do 6.

• 1 ma jeden dzielnik (1), więc nie jest ani pierwsza, ani złożona.
• 2 ma dwa dzielniki (1 i 2), więc jest pierwsza.
• 3 ma dwa dzielniki (1 i 3), więc jest pierwsza.
• 4 ma trzy dzielniki (1, 2 i 4), więc jest złożona.
• 5 ma dwa dzielniki (1 i 5), więc jest pierwsza.
• 6 ma cztery dzielniki (1, 2, 3 i 6), więc jest złożona.

Tylko 1 ma jeden dzielnik. Każda liczba pierwsza ma ich dokładnie dwa, a każda złożona trzy lub więcej.

Zobacz to na kropkach

Spróbuj tego z kropkami na kartce albo z drobnymi przedmiotami, na przykład guzikami. Sześć kropek możesz ułożyć w prostokąt: 2 rzędy po 3, więc 6 jest liczbą złożoną. Z siedmiu kropek, jakkolwiek byś próbował, ułożysz tylko jeden rząd po 7, więc 7 jest liczbą pierwszą. Z jedną kropką nie ma czego układać, a to na inny sposób pokazuje, że 1 zachowuje się inaczej.

Dlaczego tak wielu ludzi myśli, że 1 jest liczbą pierwszą

Wielu z nas uczyło się, że liczba pierwsza to liczba, „która dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie”. Według tego sformułowania 1 wydaje się pasować. Haczyk polega na tym, że 1 i „sama siebie” to tutaj ta sama liczba, więc wychodzi jeden dzielnik, a nie dwa. Dlatego staranne definicje mówią o dokładnie dwóch różnych dzielnikach albo o „liczbie naturalnej większej od 1”, która dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie.

W internecie możesz też przeczytać, że 1 „kiedyś była liczbą pierwszą”. Prawdziwa historia jest bardziej zawiła. Matematycy starożytnej Grecji w ogóle nie uważali 1 za liczbę, a późniejsi matematycy spierali się o nią. Jak wyjaśnia Scientific American w artykule o historii tego pytania, brytyjski matematyk G. H. Hardy jeszcze we wczesnych wydaniach swojego podręcznika zaliczał 1 do liczb pierwszych i zmienił to w 1938 roku. Dziś matematycy są zgodni, że 1 nie jest liczbą pierwszą.

Dorośli, którzy latami uczyli się matematyki, też czasem się tu wahają. Jeśli twoje dziecko nazwało 1 liczbą pierwszą, a odpowiedź uznano za błędną, jego rozumowanie wcale nie było głupie. W zasadzie, którą zapamiętało, brakowało po prostu jednego drobnego szczegółu.

Czy 2 jest liczbą pierwszą?

Tak. Liczba 2 jest najmniejszą liczbą pierwszą i jedyną parzystą. Każdą inną liczbę parzystą można podzielić przez 2, więc ma co najmniej trzy dzielniki (1, 2 i samą siebie). Zatem po 2 każda liczba pierwsza jest nieparzysta, choć wiele liczb nieparzystych jest złożonych.

Czy 0 jest liczbą pierwszą?

Nie. Zero nie jest ani liczbą pierwszą, ani złożoną. Każda liczba całkowita oprócz 0 dzieli 0 bez reszty, więc 0 ma znacznie więcej niż dwa dzielniki. Pojęć „pierwsza” i „złożona” używa się tylko dla liczb naturalnych większych od 1, więc zarówno 0, jak i 1 zostają poza tymi dwiema grupami.

Jak szybko sprawdzić, czy liczba jest pierwsza?

Dziel liczbę tylko przez małe liczby pierwsze, zaczynając od 2, 3, 5 i 7. Możesz przestać, gdy sprawdzana liczba pierwsza pomnożona przez samą siebie jest większa od twojej liczby. Jeśli żadna z tych liczb pierwszych nie dzieli jej bez reszty, liczba jest pierwsza. Dla każdej liczby mniejszej niż 100 wystarczy sprawdzić 2, 3, 5 i 7.

Przykład

Czy 91 jest liczbą pierwszą?

1. Jest nieparzysta, więc 2 jej nie dzieli.
2. Suma jej cyfr to 9 + 1 = 10. To nie jest wielokrotność 3, więc 3 jej nie dzieli.
3. Nie kończy się na 0 ani na 5, więc 5 jej nie dzieli.
4. Sprawdź 7. Ponieważ 7 × 13 = 91, liczba 91 nie jest pierwsza.

Czy 97 jest liczbą pierwszą? Jest nieparzysta, suma jej cyfr to 16 i nie kończy się na 0 ani na 5. Dzielenie daje 97 ÷ 7 = 13 reszty 6. Następna liczba pierwsza to 11, a 11 × 11 = 121 to już więcej niż 97. Możesz tu przestać, więc 97 jest liczbą pierwszą.

Dlaczego możesz przestać wcześniej

Dzielniki występują w parach. Dla 36 te pary to 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9 i 6 × 6. W każdej parze jeden dzielnik jest równy 6 lub mniejszy, bo 6 × 6 = 36. Jeśli więc nie znajdziesz dzielnika do tego miejsca, dalej też go nie ma.

Szybkie filtry

• Jeśli liczba kończy się na 0, 2, 4, 6 lub 8, dzieli się przez 2. Spośród nich pierwsza jest tylko sama 2.
• Jeśli suma cyfr jest wielokrotnością 3, liczba dzieli się przez 3. Spośród nich pierwsza jest tylko sama 3.
• Jeśli liczba kończy się na 0 lub 5, dzieli się przez 5. Spośród nich pierwsza jest tylko sama 5.
• W przypadku 7 po prostu podziel.

Szybkość bierze się z oglądania wielu liczb. Gdy filtry staną się znajome, kilka rund wyszukiwania liczb pierwszych na czas w Math Max zamieni je w nawyk, bo każda poprawna odpowiedź to atak na przeciwnika. Gra działa za darmo w przeglądarce, więc nie musisz niczego instalować.

Które liczby wyglądają na pierwsze, ale nimi nie są?

Klasyczne liczby pułapki to 51, 57 i 91. Są nieparzyste, nie kończą się na 5 i wydają się pierwsze. Ale 51 = 3 × 17, 57 = 3 × 19, a 91 = 7 × 13. Większość liczb pułapek wyłapie cecha podzielności przez 3 (suma cyfr) albo szybkie dzielenie przez 7.

Przykład

• 39 = 3 × 13. Suma jej cyfr to 12, czyli wielokrotność 3.
• 51 = 3 × 17. Suma jej cyfr to 6, czyli wielokrotność 3.
• 57 = 3 × 19. Suma jej cyfr to 12, czyli wielokrotność 3.
• 87 = 3 × 29. Suma jej cyfr to 15, czyli wielokrotność 3.
• 91 = 7 × 13. Wyłapuje ją dzielenie przez 7.
• 119 = 7 × 17. Wyłapuje ją dzielenie przez 7.
• 133 = 7 × 19. Wyłapuje ją dzielenie przez 7.

Nawet eksperci dają się złapać

Liczbę 57 żartobliwie nazywa się liczbą pierwszą Grothendiecka. Nazwa pochodzi od anegdoty, według której słynny matematyk Alexander Grothendieck podał ją kiedyś jako przykład liczby pierwszej.

Gdy blog matematyczny The Aperiodical przeanalizował wyniki internetowej gry „Is this prime?”, okazało się, że 51 brano za liczbę pierwszą jeszcze częściej niż 57. Wielu graczy uznało też 39 za liczbę pierwszą. Liczbą pierwszą najczęściej błędnie uznawaną za złożoną była 59, więc błędy zdarzają się w obie strony.

Większość tych pomyłek wynika z dwóch fałszywych skrótów myślowych. Pierwszy to „liczby nieparzyste są pierwsze”, co obalają 9, 15 i 21. Drugi to „liczby kończące się na 1, 3, 7 lub 9 są pierwsze”, ale te końcówki wykluczają jako dzielniki tylko 2 i 5.

Liczby pierwsze do 100

W razie wątpliwości sprawdź na liście. Poniżej 100 jest 25 liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 i 97.

Ta lista nigdy się nie kończy, bo starożytny grecki matematyk Euklides udowodnił, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

Dwa różne dzielniki to cała zasada

Liczba pierwsza musi mieć dokładnie dwa różne dzielniki, a 1 ma tylko jeden, więc 1 nie jest liczbą pierwszą. Ta sama zasada wyjaśnia, dlaczego 2 jest liczbą pierwszą, a 0 nie. Aby szybko sprawdzić liczbę, testuj małe liczby pierwsze, zatrzymaj się na pierwiastku kwadratowym i uważaj na pułapki takie jak 51 i 91.