Każdy ułamek dziesiętny, który się kończy, i każdy, który powtarza się w nieskończoność, można zapisać jako ułamek zwykły. Zamiana ułamka dziesiętnego na zwykły to dla większości liczb trzy krótkie kroki plus jeden dodatkowy sposób dla ułamków okresowych, takich jak 0,333…. Poniżej znajdziesz obie metody, listę ułamków dziesiętnych, które warto znać na pamięć, i błędy, które najczęściej sprawiają kłopot.
Jak zamienić ułamek dziesiętny na zwykły?
Aby zamienić ułamek dziesiętny na zwykły, zapisz cyfry po przecinku w liczniku, a w mianowniku wpisz 10, 100 albo 1000, w zależności od liczby miejsc po przecinku. Jedno miejsce po przecinku daje mianownik 10, dwa dają 100, trzy dają 1000. Potem skróć ułamek, dzieląc licznik i mianownik przez tę samą liczbę.
Przykład
Zamień 0,75 na ułamek zwykły.
- Policz miejsca po przecinku. 0,75 ma dwa, więc mianownik to 100.
- Zapisz cyfry w liczniku. 0,75 = 75/100.
- Skróć. Zarówno 75, jak i 100 dzielą się przez 25, co daje 3/4.
Zatem 0,75 = 3/4. Szybki sposób na sprawdzenie to podzielić 3 przez 4 na kartce albo na kalkulatorze. Znowu dostajesz 0,75.
Ile to jest 2,5 jako ułamek zwykły?
2,5 ma jedno miejsce po przecinku, więc zamienia się w 25/10. Obie liczby dzielą się przez 5, co daje 5/2. Możesz też zostawić część całkowitą osobno. 2 zostaje bez zmian, a 0,5 zamienia się w 5/10, co po skróceniu daje 1/2. Zatem 2,5 = 5/2 = 2 1/2.
Ile to jest 0,125 jako ułamek zwykły?
0,125 ma trzy miejsca po przecinku, więc zamienia się w 125/1000. Obie liczby dzielą się przez 125, co daje 1/8. Ten ułamek warto zapamiętać, bo ósme części często pojawiają się w przepisach, pomiarach i szkolnych zadaniach.
Czy wynik powinien być liczbą mieszaną, czy ułamkiem niewłaściwym?
Obie formy są poprawne. 1,25 można zapisać jako 5/4 (ułamek niewłaściwy, w którym licznik jest większy od mianownika) albo jako 1 1/4 (liczba mieszana, z częścią całkowitą i ułamkiem). Nauczyciele w niektórych miejscach wolą jedną z form, więc sprawdź, czego wymaga zadanie. Żeby przejść z jednej formy na drugą, pamiętaj, że 5/4 to cztery czwarte (jedna całość) plus jeszcze jedna czwarta.
Jak skrócić ułamek?
Aby skrócić ułamek, podziel licznik i mianownik przez największą liczbę, która dzieli je obie, czyli przez największy wspólny dzielnik. Jeśli nie widzisz go od razu, dziel raz po raz przez małe liczby, takie jak 2, 5 albo 10, aż nic więcej nie będzie dzielić obu. Ułamek jest skrócony do końca, gdy jedyną liczbą, która dzieli obie, jest 1.
Przykład
Zamień 0,36. Ma dwa miejsca po przecinku, więc zaczynasz od 36/100. Obie liczby dzielą się przez 4, co daje 9/25. Teraz 9 i 25 nie mają wspólnego dzielnika poza 1, więc 9/25 to najprostsza postać.
Możesz też iść mniejszymi krokami. 36/100 podzielone przez 2 to 18/50, a podzielone przez 2 jeszcze raz to 9/25. Dochodzisz do tego samego miejsca. Szybkie znajdowanie największego wspólnego dzielnika to osobna umiejętność, a gra w NWD zamienia ją w szybkie wyzwanie. To dobra rozgrzewka przed dłuższymi zadaniami z ułamkami.
Które ułamki dziesiętne warto znać na pamięć?
Niewielki zestaw ułamków dziesiętnych pojawia się raz za razem, a znajomość odpowiadających im ułamków zwykłych oszczędza czas. Należą do nich połówki, ćwiartki, piąte i ósme części, a także okresowe ułamki dziesiętne dla trzecich części. Gdy znasz je na pamięć, często zamienisz ułamek dziesiętny w głowie, niczego nie zapisując.
- 0,1 = 1/10
- 0,2 = 1/5
- 0,25 = 1/4
- 0,4 = 2/5
- 0,5 = 1/2
- 0,6 = 3/5
- 0,75 = 3/4
- 0,8 = 4/5
- 0,125 = 1/8
- 0,375 = 3/8
- 0,625 = 5/8
- 0,875 = 7/8
- 0,333… = 1/3
- 0,666… = 2/3
- 0,1666… = 1/6
- 0,111… = 1/9
Przykład
Ile to jest 0,625? Jeśli wiesz, że 0,125 = 1/8, to 0,625 jest pięć razy większe, czyli to 5/8. Znane fakty takie jak ten pozwalają budować nowe. Przechodzenie tam i z powrotem między dwiema postaciami staje się dużo szybsze, gdy robisz to regularnie, a krótkie rundy gry w ułamki dziesiętne albo gry w ułamki to zabawny sposób na nabranie tempa. Nawet kilka minut dziennie sprawia, że powyższa lista staje się znajoma.
Jak zamienić ułamek okresowy na zwykły?
W ułamku dziesiętnym, w którym te same cyfry powtarzają się zaraz po przecinku, zapisz powtarzającą się część w liczniku, a w mianowniku tyle dziewiątek, ile cyfr ma ta część. Jedna powtarzająca się cyfra daje mianownik 9, dwie dają 99, trzy dają 999. Potem skróć. Zatem 0,777… = 7/9, a 0,272727… = 27/99, co po skróceniu daje 3/11.
Przykład
Zamień 0,454545… na ułamek zwykły. Powtarzająca się część to 45, ma dwie cyfry, więc mianownik to 99. To daje 45/99. Obie liczby dzielą się przez 9, więc wynik to 5/11. Możesz to sprawdzić, dzieląc 5 przez 11, co znowu daje 0,454545….
Gdy powtarzanie zaczyna się później, jak w 0,1666…, zasada dziewiątek wymaga jednego dodatkowego kroku. Metoda, która działa zawsze, korzysta z odrobiny algebry:
- Nazwij liczbę x. Zatem x = 0,1666…
- Pomnóż przez 10, żeby przesunąć cyfrę, która się nie powtarza, przed przecinek. 10x = 1,666…
- Pomnóż przez 100, żeby przesunąć też jeden pełny okres. 100x = 16,666…
- Odejmij drugi wiersz od trzeciego. Powtarzające się części się znoszą. 90x = 15.
- Podziel. x = 15/90, co po skróceniu daje 1/6.
Czy 0,333 to to samo co 1/3?
Nie. 0,333 z dokładnie trzema cyframi to 333/1000, czyli odrobinę mniej niż 1/3. Tylko 0,333…, gdzie trójki ciągną się w nieskończoność, jest równe dokładnie 1/3. Gdy zapisujesz ułamek okresowy, pokaż, że się powtarza, za pomocą trzech kropek albo kreski nad powtarzającymi się cyframi. W przeciwnym razie to inna liczba.
Dlaczego 0,999… jest równe 1?
To zaskakuje wiele osób. Zacznij od 1/3 = 0,333…. Pomnóż obie strony przez 3. Po lewej dostajesz 3/3, czyli 1. Po prawej dostajesz 0,999…. Zatem 0,999… = 1. Zasada dziewiątek się zgadza, bo 0,999… = 9/9 = 1. To nie jest liczba tuż poniżej 1, tylko inny sposób zapisania 1.
Jakie błędy popełnia się przy zamianie ułamków dziesiętnych na zwykłe?
Najczęstsze błędy to zła liczba zer w mianowniku, zapominanie o skracaniu, gubienie części całkowitej i traktowanie uciętego ułamka dziesiętnego tak, jakby był okresowy. Każdy z nich łatwo wyłapać, jeśli sprawdzisz wynik, dzieląc licznik przez mianownik.
Przykład
Uczeń zamienia 0,05 i pisze 5/10. To jest 0,5, czyli dziesięć razy za dużo. 0,05 ma dwa miejsca po przecinku, więc mianownik to 100. Poprawna odpowiedź to 5/100, co po skróceniu daje 1/20.
Uważaj na te błędy:
- Zła potęga 10. Policz każdą cyfrę po przecinku, także zera. 0,05 ma dwa miejsca, a nie jedno.
- Brak skracania. 75/100 to poprawny, ale niedokończony wynik. Oczekiwana odpowiedź to 3/4.
- Gubienie części całkowitej. 3,2 to 3 2/10, co po skróceniu daje 3 1/5, czyli 16/5. To nie jest 2/10.
- Ucinanie ułamka okresowego. 0,66 to 66/100 = 33/50, a 0,666… to 2/3.
Które ułamki zwykłe dają ułamki okresowe?
Ułamek zwykły w najprostszej postaci daje skończony ułamek dziesiętny, jeśli mianownik nie ma innych czynników pierwszych niż 2 i 5. Jeśli mianownik ma jakikolwiek inny czynnik pierwszy, na przykład 3, 7 albo 11, ułamek dziesiętny powtarza się w nieskończoność. To szybki sposób, żeby wiedzieć, czego się spodziewać, zanim zaczniesz dzielić.
Przykład
Spójrz na 3/8. Mianownik 8 to 2 · 2 · 2, więc ułamek dziesiętny się kończy. 3/8 = 0,375. Teraz spójrz na 1/6. Mianownik 6 to 2 · 3, a 3 oznacza, że ułamek dziesiętny się powtarza. 1/6 = 0,1666…. Tak samo 1/7 = 0,142857142857…, a sześć cyfr powtarza się w nieskończoność, bo 7 jest liczbą pierwszą inną niż 2 i 5.
Ta zasada wyjaśnia też, dlaczego dwie powyższe metody obejmują każdy przypadek. Skończone ułamki dziesiętne pochodzą z ułamków, które mają w mianowniku tylko dwójki i piątki, a okresowe ze wszystkich pozostałych. Tak czy inaczej, ułamek dziesiętny, który się kończy albo powtarza, to przebrany ułamek zwykły.
Potrenuj teraz to