Wat is een meetkundige reeks?

Een meetkundige reeks telt termen op die steeds ontstaan door de vorige met hetzelfde getal te vermenigvuldigen, de reden r. In 3 + 6 + 12 + 24 is de reden 2 en de som 45. Met eerste term a, reden r en n termen is de som a(rⁿ − 1)/(r − 1), hier dus 3 × 15/1 = 45. Het meetkundige niveau van dit spel gebruikt het eenvoudigste geval: 1 + 2 + 4 + ⋯, met reden 2.

Hoe bereken je de som van een rekenkundige reeks?

De som van een rekenkundige reeks volgt uit drie gegevens: de eerste term, de laatste en het aantal termen. Ontbreekt de laatste, bouw die dan op uit het verschil v, de vaste sprong tussen de termen: aₙ = a₁ + (n − 1)v. Bij 4 + 7 + 10 + ⋯ met 10 termen is de laatste 4 + 9 × 3 = 31, dus de som is de helft van 10 × 35: 175.

Hoe onthoud je de reeks van eˣ?

Onthoud hem als bij elkaar horende paren: elke macht van x staat boven de faculteit van hetzelfde getal. Dus eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯, waarbij n!, uitgesproken als ‘n faculteit’, gelijk is aan 1 × 2 × ⋯ × n. De term met x⁵ staat dus boven 5! = 120. Vul x = 1 in en de termen tellen op tot het getal e zelf, ongeveer 2,72.

Waarom tellen leerlingen het aantal termen verkeerd?

Veel leerlingen delen de afstand door de stapgrootte en vergeten de eerste term mee te tellen. Van 5 tot 50 in stappen van 3 zijn er 15 sprongen, want in 50 − 5 = 45 past 15 keer 3, maar er zijn 16 termen. Denk aan de palen van een hek: 15 openingen vragen 16 palen. Zo heeft 5 + 8 + 11 + ⋯ + 50 16 termen en is de som 440, niet 412,5.

Hoe begin je een les over reeksen met dit spel, en is het gratis?

Je kunt beginnen met een wedstrijd op het bord, en het spel kost niets: elk niveau opent in de browser, zonder account of download. Schrijf als oefening met rekenkundige reeksen 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ op en laat de klas elke tussensom roepen: 1; 4; 9; 16; 25. Zien ze de kwadraten, vraag dan naar de som van de eerste 30 oneven getallen: 900. Met het schoolabonnement, geprijsd per leerling, toont een dashboard wie beter wordt in sommen.

Rekenen oefenen · opnieuw uitgevonden

Spel met reeksen en sommen

In deze uitdaging met reeksen en sommen tel je tot 40 termen van een rekenkundige rij in één keer op, en bovenaan wacht de reeks van e^x, waarin x⁷ door 5040 wordt gedeeld. Term voor term optellen is hier te traag: de eerste juiste som stuurt je vechter erop af.

Voor 4–99+ jaar · geen download · speelt in je browser · 23 talen

Kies je niveau ▸

Wat is een reeks in de wiskunde?

Een reeks is de som van een rij: de getallen van een geordende lijst, termen genoemd, opgeteld tot één totaal. De rij 3; 5; 7; 9 heeft vier termen, maar de reeks 3 + 5 + 7 + 9 is één getal, 24. Reeksen kunnen kort, lang of zelfs oneindig zijn, en vaak geeft een formule het totaal zonder elke term op te tellen.

Alle niveaus van Series

Voorbeeld: 1 + 2 + 4 + ⋯ met 5 termen

Elke term is het dubbele van de vorige, dus de vijf termen zijn 1, 2, 4, 8 en 16.
Tel ze een voor een op: 1 + 2 = 3, dan 3 + 4 = 7, 7 + 8 = 15 en 15 + 16 = 31.
Controleer met de kortere weg voor dit patroon: 2⁵ = 32, en de som is één minder, 31.
De som is 31, dus je typt 31 op het toetsenbord.

Stap voor stap leren

A series is what you get when you add a sequence up. Adding evenly-spaced numbers one at a time is slow, and there is a much better way.

The story goes that a schoolboy named Gauss was told to add 1 to 100 and answered almost at once. He had noticed that the numbers pair up from the outside in: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101. Fifty pairs, each worth 101, giving 5050.

The general rule is the same idea: S = n × (a₁ + aₙ) : 2. Read it as "how many terms, times the average of the first and the last", because in an evenly-spaced list the average really is just the midpoint of the two ends. This is an ARITHMETIC series — every term is the last one plus the same step — and here that step is often a fraction, which does not matter: the rule only needs the first term, the last term and how many there are.

Add the first and last term, multiply by the number of terms, halve it, and type the sum.

Tips en veelgemaakte fouten

Om 1 + 2 + ⋯ + n op te tellen, vermenigvuldig je n met het volgende getal en neem je de helft: bij 1 + 2 + ⋯ + 12 is 12 × 13 = 156, en de helft is 78.
Een veelgemaakte fout is zoeken naar het verschil tussen de termen. Bij a₁ = 15, aₙ = 44 en n = 6 is dat 5,8, maar de som is gewoon de helft van 6 × 59: 177.
Daag zonder scherm iemand uit voor een wedstrijdje: de een telt 2 + 4 + 6 + ⋯ + 20 term voor term op, de ander halveert 10 × 22. Allebei moeten ze op 110 uitkomen.

Zo speel je

Op het eerste niveau toont elke ronde een som om af te maken, zoals ‘Som: a₁=13, aₙ=37, n=12’, met de eerste term, de laatste en het aantal, dus je typt 300. Een ander niveau werkt als een spel met meetkundige reeksen in het klein: ‘1+2+4+⋯, 7 termen, som=?’ vraagt om 127. Ben je je rivaal voor met de som, dan slaat Tomaat toe, en een snelle som wordt een harde klap.

— Snelle antwoorden —

Series: de korte FAQ

Wat is een meetkundige reeks?: Een meetkundige reeks telt termen op die steeds ontstaan door de vorige met hetzelfde getal te vermenigvuldigen, de reden r. In 3 + 6 + 12 + 24 is de reden 2 en de som 45. Met eerste term a, reden r en n termen is de som a(rⁿ − 1)/(r − 1), hier dus 3 × 15/1 = 45. Het meetkundige niveau van dit spel gebruikt het eenvoudigste geval: 1 + 2 + 4 + ⋯, met reden 2.
Hoe bereken je de som van een rekenkundige reeks?: De som van een rekenkundige reeks volgt uit drie gegevens: de eerste term, de laatste en het aantal termen. Ontbreekt de laatste, bouw die dan op uit het verschil v, de vaste sprong tussen de termen: aₙ = a₁ + (n − 1)v. Bij 4 + 7 + 10 + ⋯ met 10 termen is de laatste 4 + 9 × 3 = 31, dus de som is de helft van 10 × 35: 175.
Hoe onthoud je de reeks van eˣ?: Onthoud hem als bij elkaar horende paren: elke macht van x staat boven de faculteit van hetzelfde getal. Dus e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯, waarbij n!, uitgesproken als ‘n faculteit’, gelijk is aan 1 × 2 × ⋯ × n. De term met x⁵ staat dus boven 5! = 120. Vul x = 1 in en de termen tellen op tot het getal e zelf, ongeveer 2,72.
Waarom tellen leerlingen het aantal termen verkeerd?: Veel leerlingen delen de afstand door de stapgrootte en vergeten de eerste term mee te tellen. Van 5 tot 50 in stappen van 3 zijn er 15 sprongen, want in 50 − 5 = 45 past 15 keer 3, maar er zijn 16 termen. Denk aan de palen van een hek: 15 openingen vragen 16 palen. Zo heeft 5 + 8 + 11 + ⋯ + 50 16 termen en is de som 440, niet 412,5.
Hoe begin je een les over reeksen met dit spel, en is het gratis?: Je kunt beginnen met een wedstrijd op het bord, en het spel kost niets: elk niveau opent in de browser, zonder account of download. Schrijf als oefening met rekenkundige reeksen 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ op en laat de klas elke tussensom roepen: 1; 4; 9; 16; 25. Zien ze de kwadraten, vraag dan naar de som van de eerste 30 oneven getallen: 900. Met het schoolabonnement, geprijsd per leerling, toont een dashboard wie beter wordt in sommen.

Nog meer rekenen om te leren

Klaar om los te gaan?

Speel gratis ▸