y = ax + b 꼴이 편리한 이유
식이 이 꼴로 되어 있으면 기울기와 시작점을 바로 읽을 수 있어서 몇 초 만에 직선을 그릴 수 있습니다. 아래에서 이 식을 읽는 방법, 두 점이나 다른 꼴의 식에서 y = ax + b를 구하는 방법, 그리고 많은 학생이 자주 하는 실수를 살펴봅니다.
직선의 방정식 y = ax + b는 어떻게 구하나요?
y = ax + b를 구하려면 기울기 a와 y절편 b, 두 가지가 필요합니다. 먼저 두 점으로 기울기를 a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)로 구합니다. 그다음 한 점과 기울기를 y = ax + b에 대입해 b를 구합니다. 마지막으로 a와 b 자리에 구한 수를 넣어 식을 씁니다.
예제
두 점 (1, 5)와 (3, 9)를 지나는 직선의 방정식을 구해 봅시다.
- 기울기: a = (9 − 5) ÷ (3 − 1) = 4 ÷ 2 = 2
- 점 (1, 5)를 대입: 5 = 2 × 1 + b, 따라서 b = 3
- 식: y = 2x + 3
- 다른 점 (3, 9)로 확인: 2 × 3 + 3 = 9. 맞습니다.
마지막 확인은 10초면 끝나고 대부분의 실수를 잡아내므로 습관으로 만들 만합니다.
기울기가 분수이면 어떻게 하나요?
여기서 분수가 나오는 것은 아주 자연스러운 일이고, 분수가 나왔다고 틀린 것이 아닙니다. 두 점 (4, 0)과 (−2, 4)를 생각해 봅시다. 기울기는 (4 − 0) ÷ (−2 − 4) = 4 ÷ (−6) = −2/3입니다. 그러면 0 = −2/3 × 4 + b에서 b = 8/3이므로 y = −2/3x + 8/3입니다. (−2, 4)로 확인하면 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4입니다.
기울기는 반올림한 소수 대신 분수로 남겨 두세요. 분수는 정확한 값이라 확인 결과가 딱 맞아떨어집니다. 분수 때문에 속도가 느려진다면 분수 게임을 몇 판 해 보세요. 크기가 같은 분수를 찾고 약분하는 일이 훨씬 빨라집니다.
위 라운드에서는 분자와 분모에 모두 10을 곱하므로 7/10 = 70/100입니다.
y = ax + b에서 a와 b는 무엇을 뜻하나요?
y = ax + b에서 a는 기울기, b는 y절편입니다. 기울기는 x가 1만큼 증가할 때 y가 얼마나 변하는지를 나타내며, (y의 값의 증가량) ÷ (x의 값의 증가량)으로 구합니다. y절편은 x = 0일 때의 y의 값으로, 직선이 y축과 만나는 점 (0, b)를 말합니다.
예제
y = 3x − 2에서 기울기는 3, y절편은 −2입니다. 직선은 y축과 (0, −2)에서 만나고, 오른쪽으로 1만큼 갈 때마다 3만큼 올라갑니다. y = −2x + 4에서는 기울기가 −2이므로 오른쪽으로 1만큼 갈 때마다 2만큼 내려가고, y축과는 (0, 4)에서 만납니다.
교과서 OpenStax College Algebra 2e(영어)는 기울기를 "rise over run", 즉 세로 변화를 가로 변화로 나눈 값으로, y절편을 입력값이 0인 점으로 설명합니다. 기울기가 양수이면 직선은 오른쪽 위로 올라가고, 음수이면 오른쪽 아래로 내려가며, 부호를 뺀 수가 클수록 직선이 가파릅니다.
생활 속에서 a와 b 떠올리기
높이가 20 cm인 양초가 1시간에 2 cm씩 줄어든다고 합시다. t시간 후의 높이는 h = −2t + 20입니다. 20은 처음 높이(b)이고, −2는 1시간마다의 변화(a)입니다. 3시간 후에는 14 cm가 되고, 10시간 후에는 다 타 버립니다. 많은 학생이 b를 처음 값, a를 한 단계마다의 변화로 생각하면 더 쉽게 이해합니다.
y = ax + b의 그래프는 어떻게 그리나요?
y = ax + b의 그래프를 그리려면 y축 위의 y절편 (0, b)에서 시작합니다. 거기서 기울기를 세로 변화 ÷ 가로 변화로 생각합니다. 가로 변화만큼 오른쪽으로, 세로 변화만큼 위로(기울기가 음수이면 아래로) 이동해 두 번째 점을 찾습니다. 두 점을 지나는 직선을 긋고 양쪽으로 늘립니다.
예제
y = 2x + 1의 그래프를 그려 봅시다.
- y절편인 점 (0, 1)을 찍습니다.
- 기울기 2는 2/1이라는 뜻이므로 오른쪽으로 1, 위로 2만큼 이동합니다. 점 (1, 3)에 도착합니다.
- (0, 1)과 (1, 3)을 지나는 직선을 긋습니다.
−2/3 같은 기울기라면 오른쪽으로 3, 아래로 2만큼 갑니다. 분모를 가로 변화로 쓰면 모눈의 격자점에 정확히 놓이므로 직선을 더 정확하게 그릴 수 있습니다.
Ax + By = C 꼴을 y = ax + b 꼴로 바꾸려면?
Ax + By = C와 같은 식을 y = ax + b 꼴로 바꾸려면 y에 대해 풉니다. x항을 반대쪽으로 이항한 다음, 모든 항을 y의 계수로 나눕니다. 이제 x의 계수가 기울기이고, 상수항이 y절편입니다.
예제
2x + 3y = 6을 바꿔 봅시다.
- 양변에서 2x를 뺍니다: 3y = −2x + 6
- 모든 항을 3으로 나눕니다: y = −2/3x + 2
기울기는 −2/3, y절편은 2입니다. 자주 하는 실수는 2x + 3y = 6에서 바로 기울기를 2로 읽는 것입니다. y가 한쪽 변에 혼자 있을 때에만 그 수들이 기울기와 y절편을 뜻합니다.
한 점과 기울기로 쓴 식과 y = ax + b, 무엇을 쓸까요?
기울기가 a이고 점 (x₁, y₁)을 지나는 직선의 방정식 y − y₁ = a(x − x₁)은 한 점과 기울기를 알 때 바로 쓸 수 있어 편리합니다. 점 (1, 5)와 기울기 2라면 y − 5 = 2(x − 1)입니다. 괄호를 풀고 정리하면 y = 2x − 2 + 5가 되어 다시 y = 2x + 3이 나옵니다. 두 식은 같은 직선을 나타냅니다.
y = ax + b 꼴로 쓸 수 없는 직선은?
y축에 평행한 직선(세로 직선)은 y = ax + b 꼴로 쓸 수 없습니다. 세로 직선 위의 모든 점은 x의 값이 같아서 가로 변화가 0이 되고, 기울기를 구하려면 0으로 나눠야 합니다. 그래서 세로 직선의 기울기는 정의되지 않습니다. x = 3을 지나는 세로 직선은 간단히 x = 3이라고 씁니다.
예제
점 (3, 1)과 (3, 6)은 세로 직선 위에 있습니다. 기울기는 (6 − 1) ÷ (3 − 3) = 5 ÷ 0이 되어 답이 없습니다. 따라서 이 직선은 x = 3입니다. 또 세로 직선은 y축 자신이 아닌 한 y축과 만나지 않으므로 b 자리에 넣을 y절편도 없습니다.
가로 직선은 문제없습니다. 점 (−1, 4)와 (5, 4)에서 기울기는 0 ÷ 6 = 0이므로 직선은 y = 0x + 4, 즉 y = 4입니다.
y = ax + b에서 가장 흔한 실수는?
y = ax + b와 관련된 실수는 대부분 개념을 몰라서가 아니라 사소한 부주의에서 나옵니다. 점의 좌표를 바꿔 쓰거나, 기울기 공식의 위와 아래에서 빼는 순서를 다르게 하거나, y만 남기기 전에 a와 b를 읽는 경우입니다. 완성한 식을 처음 점 중 하나로 확인하면 거의 모두 잡아낼 수 있습니다.
실수별 빠른 해결법
자주 반복되는 실수와 각각의 빠른 해결법입니다.
- 점에서 x와 y를 헷갈리기. (5, 7)은 x = 5, y = 7이라는 뜻입니다. 읽을 때 "가로 먼저, 세로 나중"이라고 말해 보세요.
- 빼는 순서 바꾸기. 위에서 9 − 5를 했다면 아래에서도 3 − 1을 하고, 두 번 모두 같은 점을 먼저 씁니다.
- a와 b 바꿔 읽기. y = 4 + 3x에서도 기울기는 3입니다. a는 어디에 있든 x에 붙은 수이기 때문입니다.
- 음수 부호 빠뜨리기. y = −x + 2의 기울기는 1이 아니라 −1입니다.
- 분수면 틀렸다고 생각하기. 3/4나 −2/3 같은 기울기도 2만큼 올바른 값입니다.
y = ax + b가 자연스러워질 때까지 연습하기
직선을 빠르게 읽는 힘은 많은 직선을 보는 데서 나옵니다. 일차함수 게임에서는 공격할 때마다 직선에 관한 문제가 나오기 때문에, 숙제처럼 느끼지 않으면서 기울기와 y절편을 찾는 연습을 충분히 할 수 있습니다.
b를 구하는 것도 한 단계짜리 간단한 방정식일 뿐입니다. 이 단계에서 막힌다면 방정식 게임으로 몸을 풀어 보세요.
쓰는 문자는 나라마다 다릅니다. 영어권 나라에서는 같은 식을 y = mx + b로, 러시아에서는 y = kx + b로, 이탈리아에서는 y = mx + q로 씁니다. 프랑스와 폴란드에서는 한국처럼 y = ax + b를 씁니다. 문자가 무엇이든 x 앞의 수는 언제나 기울기이고, 상수항은 직선이 y축과 만나는 위치를 나타냅니다.
세로 직선이 아니면 두 수로 표현할 수 있다
세로 직선이 아닌 모든 직선은 y = ax + b로 쓸 수 있으므로, 두 수만 있으면 직선을 완전히 나타낼 수 있습니다. 기울기는 직선이 얼마나 가파르고 어느 방향으로 가는지를, y절편은 어디서 시작하는지를 알려 줍니다. 이 두 수를 찾고 한 점으로 식을 확인하면 나머지는 저절로 풀립니다.