数直線で見る整数
数直線の上で、整数は0から右や左へ1つずつ数えたときに止まる、等間隔の点です。1/2、3.5、√2のような数はその間にあるので、整数ではありません。この記事では、整数かどうかの見分け方、0が整数に入る理由、そして整数の符号のルールが本当はどう成り立っているのかを説明します。
整数かどうかはどうやって見分けるの？
分数や小数の部分を使わずに書ける数が整数です。正の数でも、負の数でも、0でもかまいません。英語の教科書OpenStax Prealgebra 2eでは、整数を「ものを数えるときの数と、それにマイナスをつけた数と、0」とシンプルに説明しています。つまり、7、−7、0は整数で、7.5は整数ではありません。
例
次の数で確かめてみましょう。
- −12は整数です。自然数12にマイナスをつけた数だからです。
- 0は整数です。
- 3.5は整数ではありません。小数部分があるからです。
- 1/2は整数ではありません。
- 8/2は整数です。8/2 = 4だからです。
- √9は整数です。√9 = 3だからです。
- √2は整数ではありません。約1.41だからです。
最後のいくつかの例から、役に立つ習慣がわかります。まず値を計算してから判断することです。分数やルートに見えても、計算すると整数になる数があります。
0は整数？
はい、0は整数です。数直線のまん中、負の整数と正の整数の間にあります。0は正の数でも負の数でもないと、OpenStaxもはっきり書いています。ただし0は偶数です。0 = 2 × 0なので、2でわり切れるからです。
負の数は整数？
負の数が整数になるのは、分数や小数の部分がないときだけです。−5や−100は整数です。−2.5や−3/4は負の数ですが、整数ではありません。符号がどちらでも、同じ確かめ方が使えます。
整数と自然数のちがいは？
日本の算数・数学では、自然数は1、2、3、…のように、ものを数えるときに使う数です。0や負の数は自然数に入りません。整数は、自然数に0と、−1、−2、−3、…のような負の整数を加えたものです。そのため、−4は整数ですが自然数ではありません。0も整数ですが、日本の教科書では自然数ではありません。外国の本では0を自然数に入れることもあるので、お子さんの学校で使っている定義を確認しましょう。
例
おもな数のなかまが、どのように入れ子になっているかを見てみましょう。
- 自然数（正の整数）：1、2、3、4、…
- 0以上の整数：0、1、2、3、4、…
- 整数：…、−3、−2、−1、0、1、2、3、…
- 有理数：整数どうしの分数で表せるすべての数。たとえば1/2、−3/4、7（7/1と同じ）
数学では、整数全体の集合をℤで表します。この文字は「数」を意味するドイツ語Zahlenから来ています。自然数全体の集合をℕで表すこともあります。じつは自然数にも小さな意見のちがいがあり、1から始める本と0から始める本があります。
整数は身の回りのどこで使われている？
0を基準にして上にも下にも数えるとき、整数が登場します。氷点下の気温、地下の階、海面より下の深さ、サッカーチームの得失点差は、どれも負になることがある整数です。どの場合も、0は「何もない」ではなく基準になる点です。
例
朝の気温が−4 °Cで、お昼までに7度上がりました。数直線の−4から上へ7つ数えると、−3、−2、−1、0、1、2、3です。お昼の気温は3 °Cなので、−4 + 7 = 3です。
日本の建物では地上の階を1階から数えるので、ここでは地面の高さを0とし、1フロア分の高さを1として考えます。地面より2フロア下の地下2階の駐車場は−2、地面より5フロア上の展望フロアは5です。−2から5まで上がるとき、エレベーターは7フロア分移動します。5 − (−2) = 7だからです。
整数のたし算とひき算はどうするの？
整数のたし算は、数直線を思いうかべるとわかりやすくなります。正の数をたすと右へ、負の数をたすと左へ進みます。ひき算はたし算の逆なので、負の数をひくと右へ進みます。だから、負の数をひくと答えが大きくなるのです。
例
−3 + 5を計算しましょう。−3から右へ5つ進みます。−2、−1、0、1を通って、2で止まります。つまり−3 + 5 = 2です。
ほかの問題もやってみましょう。
- −6 + 2 = −4。−6から右へ2つ進むと−4になるからです。
- −2 − 5 = −7。−2から左へ5つ進むと−7になるからです。
- 4 − (−3) = 7。−3をひくことは3をたすことと同じだからです。
負の数をひくと、なぜ答えが大きくなるの？
ひき算は「差はいくつ？」を求める計算です。数直線の上で4と−3の差は7目もりなので、4 − (−3) = 7です。OpenStaxでは、一般的なルールをa − (−b) = a + bと書いています。多くの子どもが−5 + 4でつまずきます。プラスの記号を見て、答えが大きくなると思ってしまうからです。−5から右へ4つ進むと、答えは−1だとわかります。
マイナス×マイナスはなぜプラスになるの？
2つの整数をかけるとき、符号が同じなら答えは正、ちがえば負になります。負の数どうしをかけると正になるのは、あるきまりがあるからです。かけられる数が1ずつ小さくなると、答えも同じだけ変わります。このきまりを続けるには、答えが正にならなければなりません。
例
3 × (−2)の最初の数を1ずつ小さくしていくと、どうなるか見てみましょう。
- 3 × (−2) = −6
- 2 × (−2) = −4
- 1 × (−2) = −2
- 0 × (−2) = 0
- (−1) × (−2) = 2
- (−2) × (−2) = 4
答えは1つ前より2ずつ大きくなっています。0をこえてもこのきまりを続けるには、(−1) × (−2)は2でなければなりません。別の見方もあります。−1をかけることは、数直線の上で向きを反対にすることです。2回向きを変えると、もとの向きにもどります。
整数のわり算も同じ符号のルール？
はい。(−12) ÷ 3 = −4、(−12) ÷ (−3) = 4のように、符号のルールは同じです。ただし1つちがいがあります。2つの整数のたし算、ひき算、かけ算の答えはいつも整数ですが、わり算はそうとはかぎりません。8 ÷ 2 = 4は整数ですが、7 ÷ 2 = 3.5は整数ではありません。
整数の計算を速くするには？
整数の計算が速くなるのは、小さな計算をたくさんこなして、数直線が頭の中に入ったときです。負の数のゲームでは、攻撃のたびに負の数の計算をすばやく解くので、子どもたちはバトルに勝とうと夢中になりながら符号のルールを練習できます。
上のラウンドでは、−17をひくことは17をたすことと同じなので、−1 − (−17) = −1 + 17 = 16です。
ある数の0からの距離を絶対値といいます。たとえば−5の絶対値は5です。多くの学習者が整数の次に出会う考え方で、絶対値のゲームではそれをテンポのよいラウンドで練習できます。
整数は前にもうしろにも数えて届く数
整数はどれも、0から数えてたどり着ける1歩です。正の数なら右へ、負の数なら左へ進みます。0はまん中にあり、整数のなかまです。子どもがこの数直線を思いうかべられれば、たし算、ひき算、かけ算のルールは丸暗記するものではなく、納得できるものに変わります。