単位円は、点(0, 0)を中心にかいた、半径1の円です。覚えなければならない表がまた一つ増えたように見えますが、じつは一つの考え方にすぎません。その考え方がわかれば、長い数の一覧を丸暗記しなくても、円の上のどの値も数秒で導き出せます。
単位円とは?
単位円とは、半径がちょうど1で、中心が原点(0, 0)にある円です。x軸の正の向きから反時計回りにはかった角は、どれも円の上の一つの点に対応します。その点の座標は、いつも(cos θ, sin θ)です。つまり、x座標はその角の余弦(コサイン)、y座標は正弦(サイン)です。
例
30°の角を考えます。中心から、x軸より30°上の向きに、円にぶつかるまで線を引きます。線が円と交わる点は(√3/2, 1/2)で、およそ(0.866, 0.5)です。ここから二つのことが同時にわかります。30°の余弦は√3/2、30°の正弦は1/2です。
円の上のどの点も、x² + y² = 1という式を満たします。30°の点で確かめてみましょう。(√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1です。この式は、形を変えた三平方の定理です。半径が、xとyを辺とする直角三角形のいちばん長い辺になっているからです。
なぜ余弦がx座標で、正弦がy座標なのですか?
正弦、余弦、正接の比は知っていても、円がどう関係するのかがわからない人は多くいます。円の中に、半径をいちばん長い辺(斜辺)とする直角三角形をかきます。底辺はx軸にそって伸び、縦の辺は円の上の点まで上がります。
余弦は、角にとなり合う辺を斜辺でわった値です。単位円では斜辺が1なので、余弦は底辺の長さ、つまりx座標そのものです。同じように、正弦は角の向かいにある辺を1でわった値で、これは高さ、つまりy座標です。円のおかげで、わり算がいらなくなるのです。
単位円ではなぜラジアンを使うのですか?
単位円でラジアンを使うのは、半径が1のとき、ラジアンで表した角が、円にそって進んだ弧の長さとちょうど同じになるからです。一回転は360°で、円周全体の長さは2πです。だから、360°は2πラジアン、180°はπラジアンです。
例
度をラジアンに直すには、πをかけて180でわります。60°なら、60 × π / 180 = π/3です。もとにもどすには、180をかけてπでわります。だから、π/4ラジアンは180 / 4 = 45°です。
π/8のような角は、ふつうの表にのっていないので、まよいやすい角です。コツは、半回転を何等分したかで考えることです。πは半回転、π/4はその半回転の4分の1(45°)、π/8はπ/4の半分なので22.5°です。0と45°の点のちょうど真ん中におきます。
ラジアンは、あとの学習でも大切です。微分積分では、正弦と余弦の公式がこれほどきれいに成り立つのは、角をラジアンで表したときだけです。だから先生たちは、単位円が出てきたらすぐにラジアンに切りかえるのです。
単位円を丸暗記しないで覚えるには?
必要なのは、0°、30°、45°、60°、90°の値だけです。円の上のほかの値は、すべてこの五つを鏡に映したものです。ここでは、それを導き出す方法を三つ紹介します。どれも、特定の言語の言葉による覚え方にはたよりません。いちばん自然に感じるものを選びましょう。
二つの三角形から導く
正方形を対角線で切ると、45°の角を二つもつ直角三角形ができます。だから、短い二つの辺は同じ長さです。半径と同じように、長い辺を1にします。すると、短い二つの辺はx² + y² = 1を満たす必要があり、x = yなので、どちらも√2/2になります。だから、45°の点は(√2/2, √2/2)です。
次に、一辺が2の正三角形をかいて、半分に切ります。角が30°、60°、90°で、辺が1、√3、2の三角形ができます。長い辺が1になるように、すべての辺を2でわります。辺は1/2、√3/2、1になり、30°と60°の点が求まります。
平方根のパターンを使う
0°、30°、45°、60°、90°の角の下に、0、1、2、3、4の数を書きます。それぞれの数の平方根をとって、2でわります。この列が、それぞれの角の正弦になります。同じ列を逆から読むと、余弦になります。
- 0°、30°、45°、60°、90°の正弦:√0/2 = 0、√1/2 = 1/2、√2/2、√3/2、√4/2 = 1
- 同じ角の余弦:√4/2 = 1、√3/2、√2/2、√1/2 = 1/2、√0/2 = 0
手で数える
左手を、手のひらを自分に向けて上げます。親指が90°、人さし指が60°、中指が45°、薬指が30°、小指が0°を表します。ある角の値を求めるには、その角の指を折ります。
折った指より小指側にある指の数を数え、その数の平方根をとって2でわります。これが正弦です。親指側にある指の数から、同じようにして余弦が求まります。
30°なら、薬指を折ります。小指側には一本(小指)あるので、正弦は√1/2 = 1/2です。親指側には三本あるので、余弦は√3/2です。
どの方法でも、同じ五つの点が求まります。三角関数ゲームを何回かプレイすると、少し時間に追われる中で正弦と余弦の値を思い出せるかどうかが、すぐにわかります。このように短く、くり返し練習するほうが、一回長く練習するよりも、ずっとしっかり値が身につきます。
単位円をぜんぶ覚える必要はありますか?
いいえ。必要なのは第1象限(0°から90°)と、それを確実に折り返す方法です。テストのために表全体を丸暗記した人は、数週間後には忘れてしまうことがよくあります。三角形と折り返しを理解している人は、いつでも表を作り直せます。そしてそれこそが、微分積分などのあとの単元で本当に求められる力です。
象限ごとに符号はどう変わりますか?
円には四つの象限があります。どの象限でも、座標の大きさは第1象限のどれかの角と同じで、変わるのは符号だけです。第1象限では、xもyも正です。第2象限では、xが負です。第3象限では、どちらも負です。第4象限では、yが負です。
例
150°の点を求めます。150°は第2象限にあり、180°より30°手前です。だから、30°の点をy軸について対称に移した点です。30°の点は(√3/2, 1/2)です。対称に移すとx座標が負になるので、150°の点は(−√3/2, 1/2)です。
- 第1象限(0°から90°):xは正、yは正
- 第2象限(90°から180°):xは負、yは正
- 第3象限(180°から270°):xは負、yは負
- 第4象限(270°から360°):xは正、yは負
かんたんに確かめるには、ふつうのグラフの上に点を思いうかべます。y軸より左ならxは負、x軸より下ならyは負です。点がどこにあるか思いうかべられれば、このリストを覚える必要はありません。
単位円でのtanとは?
ある角の正接(タンジェント)は、y座標をx座標でわったものです。つまり、tan θ = sin θ / cos θです。60°なら、(√3/2) ÷ (1/2) = √3で、およそ1.732です。90°と270°ではx座標が0になり、0ではわれないので、これらの角では正接は定義されません。
単位円は何に使われますか?
単位円があるからこそ、正弦と余弦は、直角三角形の中の角だけでなく、どんな角にも使えます。そのため、くり返すものや回転するものすべての土台になっています。音の波、光の波、交流電流、振り子の動き、時計の針は、どれも正弦と余弦で表されます。
例
一定の速さで円の上を回る点を想像してください。その高さは1まで上がり、−1まで下がり、またもどるという、なめらかな波をえがきます。この高さを時間にそってグラフにすると、正弦関数のグラフになります。技術者はまさにこの考え方で振動を表し、ゲームやアニメーションの開発者は、画面上の物体を回転させるのに使っています。
一つの象限と二つの三角形で円全体がわかる
主な角と、その座標をまとめました。参考として使ってください。ただし、見る前に、三角形や手のコツで各行を導いてみましょう。
- 0°(0):(1, 0)、tan θ = 0
- 30°(π/6):(√3/2, 1/2)、tan θ = √3/3
- 45°(π/4):(√2/2, √2/2)、tan θ = 1
- 60°(π/3):(1/2, √3/2)、tan θ = √3
- 90°(π/2):(0, 1)、tan θ = 定義されない
- 120°(2π/3):(−1/2, √3/2)、tan θ = −√3
- 135°(3π/4):(−√2/2, √2/2)、tan θ = −1
- 150°(5π/6):(−√3/2, 1/2)、tan θ = −√3/3
- 180°(π):(−1, 0)、tan θ = 0
- 210°(7π/6):(−√3/2, −1/2)、tan θ = √3/3
- 225°(5π/4):(−√2/2, −√2/2)、tan θ = 1
- 240°(4π/3):(−1/2, −√3/2)、tan θ = √3
- 270°(3π/2):(0, −1)、tan θ = 定義されない
- 300°(5π/3):(1/2, −√3/2)、tan θ = −√3
- 315°(7π/4):(√2/2, −√2/2)、tan θ = −1
- 330°(11π/6):(√3/2, −1/2)、tan θ = −√3/3
むずかしいと感じる行があれば、第1象限にもどって対応する角を見つけ、象限から符号を決めましょう。この一つの習慣で、リスト全体を覚える必要がなくなります。
次はこれを鍛えよう