四則演算の順序はどう使う？
四則演算の順序（英語では PEMDAS）にしたがうと、計算は4回に分けて進めます。まずかっこの中、次に累乗、それからかけ算とわり算を左から順に、最後にたし算とひき算を左から順に計算します。1回終わるごとに式全体を書き直しておくと、あとでまちがいを見つけやすくなります。
例題
3 + 4 × (6 − 2)² ÷ 8 を計算しましょう。
- かっこ：6 − 2 = 4 なので、式は 3 + 4 × 4² ÷ 8 になります
- 累乗：4² = 16 なので、式は 3 + 4 × 16 ÷ 8 になります
- かけ算とわり算を左から順に：4 × 16 = 64、次に 64 ÷ 8 = 8 なので、式は 3 + 8 になります
- たし算とひき算：3 + 8 = 11
式を書き直すのは遠回りに感じるかもしれません。それでも、まちがいを防ぐいちばんの方法です。よくあるのは、最初に 3 と 4 をたしてしまうミスです。7 になってしまい、最後の答えがまちがってしまいます。
PEMDAS ではかけ算がわり算より先？
いいえ。かけ算とわり算は同じ順位で、たし算とひき算も同じ順位です。同じ順位どうしは、左から順に計算するだけです。PEMDAS で M が D より前にあるのは、単語にするには文字をどこかの順に並べる必要があったからにすぎません。文字の並びをそのまま厳密な順位だと思いこむのは、四則演算の順序でとくに多いまちがいのひとつです。
例題
24 ÷ 4 × 2 を計算しましょう。
- 左から見て、先にあるのはわり算です：24 ÷ 4 = 6
- 次にかけ算：6 × 2 = 12
先にかけ算をすると 24 ÷ 8 = 3 となり、まちがいです。たし算とひき算も同じです。10 − 4 + 3 では、左から順に計算して 6 + 3 = 9 です。先にたし算をすると 10 − 7 = 3 となり、これもまちがいです。
無料の教科書 OpenStax Prealgebra 2e には、はっきりこう書かれています。かけ算とわり算は優先順位が同じなので、左から順に計算する。学校で習ったこの点を覚えていない大人は多く、ネットで数学の問題がよく論争になる原因にもなっています。
PEMDAS、BODMAS、BIDMAS のちがいは？
決まりにちがいはなく、ちがうのは言葉だけです。PEMDAS はかっこ（parentheses）の P で始まり、BODMAS と BIDMAS はかっこ（brackets）の B で始まります。E（exponents）、O（orders）、I（indices）は、どれも累乗や累乗根のことです。どの言い方でも、かけ算とわり算が同じ順位で、その次にたし算とひき算が同じ順位です。
例題
2 + 3 × 4² を、それぞれの言い方で考えて計算しましょう。
- まず累乗：4² = 16
- 次にかけ算：3 × 16 = 48
- 最後にたし算：2 + 48 = 50
BODMAS はたまたま D を M より前に書き、PEMDAS は M を D より前に書いています。ここではどちらも 50 になり、どんな計算でも2つの答えは同じです。文字の順番でどうしても混乱するなら、6つの文字ではなく4つの段階として書くとわかりやすくなります。かっこ、累乗、かけ算かわり算、たし算かひき算の4つです。
なぜ四則演算の順序が必要なの？
順序の約束がなければ、2 + 3 × 4 のような式は2通りに読めてしまいます。先にたすと 20、先にかけると 14 です。約束ではかけ算が先なので、答えは 14 です。この決まりのねらいは、同じ式を読んだ人がみんな同じ答えにたどり着くことです。
例題
友だちが1冊4コインのノートを3冊と、2コインのペンを1本買いました。合計は 2 + 3 × 4 = 2 + 12 = 14 コインです。先にたすと 5 × 4 = 20 となり、ペンを4回も買ったことになってしまいます。
この約束は、頭文字の覚え方よりずっと古いものです。セント・アンドルーズ大学の数学史アーカイブ MacTutor によると、かけ算をたし算やひき算より先にするのは、16世紀の最初期の記号代数の本ですでに決まりになっていました。同じページには、1920年代の終わりに、÷ と × のどちらを先にするかはまだ意見が一致していないと書いた歴史家の言葉も引用されています。
8 ÷ 2(2 + 2) の答えは？
学校で習う四則演算の順序どおりに計算すると、8 ÷ 2(2 + 2) は 16 になります。まずかっこを計算して 4 です。かっこのすぐ前に書かれた 2 はかけ算を表し、わり算とかけ算は左から順に計算するので、8 ÷ 2 × 4 = 4 × 4 = 16 です。
例題
2つの読み方を並べてみます。
- 左から順に：8 ÷ 2 × 4 = 4 × 4 = 16
- 2(2 + 2) をひとまとまりと見る：8 ÷ (2 × 4) = 8 ÷ 8 = 1
本当の問題は、式の書き方にあります。カリフォルニア大学バークレー校の数学科サイトにある解説では、こうした式には標準の約束がないと指摘しています。数をかっこにぴったりくっつけて書くと、その2つがひとまとまりに見えるからです。数学者は、かっこを増やして論争そのものを避けます。(8 ÷ 2)(2 + 2) や 8 ÷ (2(2 + 2)) のように書くのです。
分数の線も同じようにまとまりを作ります。分数の線の上に 6 + 4、下に 2 と書いてあれば、先にたし算をするので、答えは 10 ÷ 2 = 5 です。
四則演算の順序でよくあるまちがいは？
まちがいの多くは、頭文字を、決まった順に並んだ6つの別々の手順として読んでしまうことから起こります。その結果、わり算より先にかけ算をしたり、ひき算より先にたし算をしたりします。ほかにも、分数の線が上と下をそれぞれまとめることを忘れたり、負の数をかっこなしで2乗したりするミスがあります。1ステップごとに式を書き直せば、たいていは気づけます。
何度も出てくるミス
- わり算より先にかけ算をする。24 ÷ 4 × 2 では、左から順に 6 × 2 = 12。
- ひき算より先にたし算をする。10 − 4 + 3 では、左から順に 6 + 3 = 9。
- 負の数を2乗する。−3² は −(3²) = −9 ですが、(−3)² = 9 です。マイナスの符号まで2乗するかどうかは、かっこで決まります。
- 外側のかっこから始める。2 × [5 + (3 − 1)²] では内側から計算します。3 − 1 = 2、次に 2² = 4、次に 5 + 4 = 9、最後に 2 × 9 = 18。
- 分数の線を無視する。先に分子と分母をそれぞれ計算してから、わり算をします。
四則演算の順序はどう練習する？
この決まりを身につけるには、短い計算を何度もくり返すのがいちばんです。四則演算の順序ゲームでは、攻撃のたびに (5 + 3) × 7 のような計算が出ます。かっこを計算して、かけ算をして、56 と入力すれば攻撃が決まります。
累乗でつまずく人は多く、とくに負の数が出てくると手が止まりがちです。そこが苦手なら、まず累乗ゲームをやってみましょう。そのあとなら、累乗の入った長い計算にも取り組みやすくなります。
決まりの呼び方は、どこで習うかによってちがいます。アメリカでは PEMDAS、イギリスでは BODMAS や BIDMAS です。ほかの言語にもそれぞれ短い言い方がありますが、中身の決まりはどこでも同じです。日本では「かっこの中を先に、かけ算・わり算はたし算・ひき算より先に」という四則演算の順序として習います。
同じ決まりを使えば、だれでも同じ答えになる
四則演算の順序は自然の法則ではなく約束で、みんなが同じ約束を使うからこそ役に立ちます。かっこが先、次に累乗、それからかけ算とわり算を左から順に、最後にたし算とひき算を左から順に。2通りに読める式があったら、かっこを足せば論争は終わりです。