1は素数？ 素数とは何か、すばやく見分けるコツ

素数とは？

1は素数でしょうか？ 答えはいいえです。素数とは、1とその数自身という、ちょうど二つの異なる約数をもつ整数のことです。たとえば7は素数です。割り切れるのが1と7だけだからです。1の約数は一つしかないので、このルールに当てはまりません。合成数でもないので、1は独自のグループに入ります。

1は素数ですか？

いいえ、1は素数ではありません。素数にはちょうど二つの異なる約数が必要ですが、1の約数は一つだけです。合成数でもありません。合成数は約数を三つ以上もつ数だからです。そのため数学者は、1を素数でも合成数でもない数に分類しています。いちばん小さい素数は2で、その約数は1と2です。

例

1から6までの数の約数を見てみましょう。

• 1の約数は一つ（1）なので、素数でも合成数でもありません。
• 2の約数は二つ（1と2）なので、素数です。
• 3の約数は二つ（1と3）なので、素数です。
• 4の約数は三つ（1、2、4）なので、合成数です。
• 5の約数は二つ（1と5）なので、素数です。
• 6の約数は四つ（1、2、3、6）なので、合成数です。

約数が一つしかないのは1だけです。素数の約数はどれもちょうど二つで、合成数の約数は三つ以上です。

点で確かめてみよう

紙に点を描いたり、ボタンのような小さな物を並べたりして試してみてください。点が六つなら、3個ずつ2列の長方形に並べられるので、6は合成数です。点が七つだと、どう並べても7個が一列に並ぶだけなので、7は素数です。点が一つでは、並べるものが何もありません。これも、1がほかの数とは違うことを別の角度から示しています。

なぜ多くの人が1を素数だと思うのか

多くの人は、素数とは「1とその数自身でしか割り切れない数」だと習いました。この言い方だと、1も当てはまるように見えます。落とし穴は、ここでは1と「その数自身」が同じ数だということです。そのため約数は二つではなく一つになります。だから正確な定義では、ちょうど二つの異なる約数をもつ数、または「1より大きい整数」で1とその数自身でしか割り切れない数、と言います。

ネットでは、1は「昔は素数だった」という話を見かけることもあります。実際の歴史はもう少し複雑です。古代ギリシャの数学者は、1をそもそも数として扱っていませんでした。その後の数学者たちの間でも、意見は分かれていました。Scientific Americanがこの問題の歴史を解説しているとおり、イギリスの数学者G・H・ハーディは、自分の教科書の初期の版ではまだ1を素数に含めていて、1938年にそれを改めました。現在では、1は素数ではないということで数学者の意見は一致しています。

何年も数学を学んできた大人でも、ここで迷うことがあります。お子さんが1を素数だと答えてバツをつけられたとしても、その考え方はおかしなものではありません。覚えていたルールに、小さな条件が一つ抜けていただけなのです。

2は素数ですか？

はい。2はいちばん小さい素数で、ただ一つの偶数の素数です。ほかの偶数はすべて2で割り切れるので、少なくとも三つの約数（1、2、その数自身）をもちます。つまり2より大きい素数はすべて奇数です。ただし、奇数でも合成数のものはたくさんあります。

0は素数ですか？

いいえ。ゼロは素数でも合成数でもありません。0以外のすべての整数が0を割り切るので、0の約数は二つよりはるかに多くなります。素数と合成数という分け方は1より大きい整数にしか使わないので、0と1はどちらのグループにも入りません。

素数かどうかをすばやく見分けるには？

小さな素数だけで割ってみましょう。まず2、3、5、7から始めます。試している素数をその数自身とかけた値が元の数より大きくなったら、そこでやめてかまいません。どの素数でも割り切れなければ、その数は素数です。100未満の数なら、2、3、5、7で試せば十分です。

例

91は素数でしょうか？

1. 奇数なので、2では割り切れません。
2. 各位の数を足すと9 + 1 = 10です。これは3の倍数ではないので、3では割り切れません。
3. 一の位が0でも5でもないので、5では割り切れません。
4. 7で試します。7 × 13 = 91なので、91は素数ではありません。

97は素数でしょうか？ 奇数で、各位の数の和は16、一の位は0でも5でもありません。割ってみると97 ÷ 7 = 13あまり6です。次の素数は11で、11 × 11 = 121はもう97より大きくなります。ここでやめてよいので、97は素数です。

早めにやめてよい理由

約数はペアになっています。36の場合、ペアは1 × 36、2 × 18、3 × 12、4 × 9、6 × 6です。6 × 6 = 36なので、どのペアでも片方の約数は6以下になります。だから、そこまでで約数が見つからなければ、その先にも約数はありません。

すばやく見分けるフィルター

• 一の位が0、2、4、6、8なら、2で割り切れます。素数なのは2そのものだけです。
• 各位の数の和が3の倍数なら、その数は3で割り切れます。素数なのは3そのものだけです。
• 一の位が0か5なら、5で割り切れます。素数なのは5そのものだけです。
• 7については、実際に割ってみましょう。

スピードは、たくさんの数を見ることで身につきます。フィルターに慣れてきたら、Math Maxで時間内に素数を見つけるラウンドを何回か遊んでみてください。正解するたびに相手のファイターへの攻撃になるので、自然と習慣になります。ブラウザで無料で遊べるので、インストールは必要ありません。

素数に見えて実は素数ではない数は？

よくひっかかる数の代表は51、57、91です。奇数で、一の位は5ではなく、いかにも素数のように感じます。でも、51 = 3 × 17、57 = 3 × 19、91 = 7 × 13です。ひっかけの数のほとんどは、3の倍数の判定法（各位の数の和）か、7でさっと割ってみることで見抜けます。

例

• 39 = 3 × 13。各位の数の和は12で、3の倍数です。
• 51 = 3 × 17。各位の数の和は6で、3の倍数です。
• 57 = 3 × 19。各位の数の和は12で、3の倍数です。
• 87 = 3 × 29。各位の数の和は15で、3の倍数です。
• 91 = 7 × 13。7で割ると見抜けます。
• 119 = 7 × 17。7で割ると見抜けます。
• 133 = 7 × 19。7で割ると見抜けます。

専門家でもひっかかる

57は冗談で「グロタンディーク素数」と呼ばれています。有名な数学者アレクサンドル・グロタンディークが、素数の例としてこの数を挙げたという話があるからです。

数学ブログのThe Aperiodicalがオンラインゲーム「Is this prime?」の結果を分析したところ、51は57よりもさらに多く素数と間違えられていました。39を素数だと答えたプレイヤーも多くいました。合成数だと間違えられることがいちばん多かった素数は59でした。間違いはどちらの方向にも起こるのです。

こうしたミスの多くは、二つの間違った近道が原因です。一つは「奇数は素数」という思い込みで、9、15、21が反例です。もう一つは「一の位が1、3、7、9の数は素数」という思い込みです。でも、その一の位でわかるのは、2と5が約数ではないことだけです。

100までの素数

迷ったら、この一覧と照らし合わせましょう。100未満の素数は25個あります。2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97です。

この一覧に終わりはありません。古代ギリシャの数学者ユークリッドが、素数は無限にあることを証明したからです。

異なる二つの約数、それがルールのすべて

素数にはちょうど二つの異なる約数が必要で、1の約数は一つだけです。だから1は素数ではありません。同じルールで、2が素数である理由も、0が素数でない理由も説明できます。数をすばやく調べるには、小さな素数で試し、平方根のところでやめ、51や91のようなひっかけに気をつけましょう。