Perché la forma esplicita è così utile
Quando un'equazione è scritta in questa forma, puoi leggere subito il coefficiente angolare e il punto di partenza e disegnare la retta in pochi secondi. Qui sotto trovi come leggerla, come ricavarla da due punti o da un'altra forma dell'equazione, e gli errori in cui cadono più spesso gli studenti.
Come si trova l'equazione della retta in forma esplicita?
Per trovare la forma esplicita ti servono due cose, il coefficiente angolare m e l'ordinata all'origine q. Il coefficiente angolare si ricava da due punti con m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Poi sostituisci un punto e il coefficiente angolare in y = mx + q e ricavi q. Scrivi il risultato con i tuoi numeri al posto di m e q.
Esempio
Trova la retta che passa per i punti (1, 5) e (3, 9).
- Coefficiente angolare: m = (9 − 5) : (3 − 1) = 4 : 2 = 2
- Usa il punto (1, 5): 5 = 2 · 1 + q, quindi q = 3
- Equazione: y = 2x + 3
- Verifica con l'altro punto (3, 9): 2 · 3 + 3 = 9. Funziona.
Questa verifica finale richiede dieci secondi e scova la maggior parte degli errori, quindi conviene farla diventare un'abitudine.
E se il coefficiente angolare è una frazione?
Qui le frazioni sono del tutto normali, e una frazione non vuol dire che hai sbagliato. Prendi i punti (4, 0) e (−2, 4). Il coefficiente angolare è (4 − 0) : (−2 − 4) = 4 : (−6) = −2/3. Allora 0 = −2/3 · 4 + q dà q = 8/3, quindi y = −2/3x + 8/3. Verifica con (−2, 4): 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.
Lascia il coefficiente angolare come frazione invece di arrotondarlo a un numero decimale, perché la frazione è esatta e la verifica tornerà alla perfezione. Se sono proprio le frazioni a rallentarti, qualche partita al gioco delle frazioni ti rende molto più veloce con le frazioni equivalenti e le semplificazioni.
Nel round qui sopra, 7/10 = 70/100, perché numeratore e denominatore vengono entrambi moltiplicati per 10.
Che cosa significano m e q in y = mx + q?
In y = mx + q, m è il coefficiente angolare e q è l'ordinata all'origine (detta anche termine noto). Il coefficiente angolare indica di quanto cambia y quando x aumenta di 1, cioè di quanto sale la retta per ogni unità di spostamento verso destra. L'ordinata all'origine è il valore di y quando x = 0, cioè il punto (0, q) in cui la retta taglia l'asse y.
Esempio
In y = 3x − 2, il coefficiente angolare è 3 e l'ordinata all'origine è −2. La retta taglia l'asse y in (0, −2), e ogni passo di 1 verso destra la fa salire di 3. In y = −2x + 4, il coefficiente angolare è −2, quindi la retta scende di 2 per ogni passo verso destra, e taglia l'asse y in (0, 4).
Il libro di testo OpenStax College Algebra 2e (in inglese) descrive la pendenza come «di quanto sale diviso di quanto avanza» e l'ordinata all'origine come il punto in cui il valore in ingresso è zero. Un coefficiente angolare positivo fa salire la retta da sinistra a destra, uno negativo la fa scendere, e più grande è il numero (senza contare il segno), più ripida è la retta.
Un modo concreto per immaginare m e q
Una candela è alta 20 cm e si consuma di 2 cm ogni ora. La sua altezza dopo t ore è h = −2t + 20. Il 20 è il punto di partenza (q), e −2 è di quanto cambia ogni ora (m). Dopo 3 ore è alta 14 cm, e dopo 10 ore è finita. Molti studenti trovano più facile pensare a q come al valore iniziale e a m come alla variazione a ogni passo.
Come si disegna una retta in forma esplicita?
Per disegnare y = mx + q, parti dall'ordinata all'origine, il punto (0, q) sull'asse y. Da lì, usa il coefficiente angolare come «di quanto sale diviso di quanto avanza». Spostati verso destra di quanto avanza e verso l'alto di quanto sale (o verso il basso se il coefficiente angolare è negativo) per trovare un secondo punto. Traccia una retta che passa per i due punti e prolungala.
Esempio
Disegna y = 2x + 1.
- Segna l'ordinata all'origine (0, 1).
- Il coefficiente angolare 2 vuol dire 2/1, quindi vai di 1 verso destra e di 2 verso l'alto. Arrivi in (1, 3).
- Traccia la retta che passa per (0, 1) e (1, 3).
Con un coefficiente angolare come −2/3, vai di 3 verso destra e di 2 verso il basso. Usando il denominatore come spostamento orizzontale resti sui punti della quadrettatura, quindi è più facile disegnare la retta con precisione.
Come si passa dalla forma implicita alla forma esplicita?
Per trasformare un'equazione come Ax + By = C in forma esplicita, ricava y. Porta il termine con la x dall'altra parte, poi dividi ogni termine per il numero davanti a y. Il numero davanti a x ora è il coefficiente angolare, e il numero da solo è l'ordinata all'origine.
Esempio
Trasforma 2x + 3y = 6.
- Sottrai 2x da entrambi i membri: 3y = −2x + 6
- Dividi ogni termine per 3: y = −2/3x + 2
Il coefficiente angolare è −2/3 e l'ordinata all'origine è 2. Una svista frequente è leggere il coefficiente angolare come 2 direttamente da 2x + 3y = 6. I numeri indicano coefficiente angolare e ordinata all'origine solo quando y è da sola in un membro.
Retta per un punto o forma esplicita?
L'equazione della retta passante per un punto, y − y₁ = m(x − x₁), è comoda quando conosci un punto e il coefficiente angolare, perché puoi scriverla subito. Per il punto (1, 5) e coefficiente angolare 2 ottieni y − 5 = 2(x − 1). Svolgi i calcoli e semplifica, y = 2x − 2 + 5, e torni a y = 2x + 3. Le due forme descrivono la stessa retta.
Quali rette non si possono scrivere in forma esplicita?
Le rette verticali non si possono scrivere in forma esplicita. Tutti i punti di una retta verticale hanno la stessa x, quindi lo spostamento orizzontale è 0 e calcolare il coefficiente angolare vorrebbe dire dividere per zero. Per questo il coefficiente angolare di una retta verticale non è definito. La retta verticale che passa per x = 3 si scrive semplicemente x = 3.
Esempio
I punti (3, 1) e (3, 6) stanno su una retta verticale. Il coefficiente angolare sarebbe (6 − 1) : (3 − 3) = 5 : 0, che non ha risultato. Quindi la retta è x = 3. Inoltre una retta verticale non taglia mai l'asse y, a meno che non sia l'asse y stesso, quindi non ha un'ordinata all'origine da mettere al posto di q.
Le rette orizzontali invece vanno benissimo. I punti (−1, 4) e (5, 4) danno un coefficiente angolare di 0 : 6 = 0, quindi la retta è y = 0x + 4, cioè semplicemente y = 4.
Quali sono gli errori più comuni con la forma esplicita?
La maggior parte degli errori con la forma esplicita sono piccole sviste più che incomprensioni. Si scambiano le coordinate di un punto, si sottrae in ordine diverso sopra e sotto nella formula del coefficiente angolare, oppure si leggono m e q prima di aver isolato y. Verificare l'equazione finale con uno dei punti di partenza li scova quasi tutti.
Rimedi rapidi per ogni svista
Ecco le sviste che tornano più spesso, ciascuna con un rimedio rapido.
- Confondere x e y in un punto. (5, 7) vuol dire x = 5 e y = 7. Mentre lo leggi, pensa «prima in orizzontale, poi in verticale».
- Cambiare l'ordine della sottrazione. Se sopra fai 9 − 5, sotto fai 3 − 1, con lo stesso punto per primo entrambe le volte.
- Scambiare m e q. In y = 4 + 3x il coefficiente angolare è sempre 3, perché m è il numero attaccato alla x, ovunque si trovi.
- Perdere un segno meno. In y = −x + 2 il coefficiente angolare è −1, non 1.
- Pensare che una frazione debba essere sbagliata. Coefficienti angolari come 3/4 o −2/3 sono validi quanto 2.
Esercitarsi con la forma esplicita finché diventa automatica
Si impara a leggere le rette velocemente vedendone tante. Nel gioco delle funzioni lineari, ogni attacco è una domanda su una retta, così ti alleni parecchio a riconoscere coefficienti angolari e ordinate all'origine senza avere l'impressione di fare i compiti.
Anche ricavare q è solo una piccola equazione da risolvere in un passaggio. Se è lì che ti blocchi, il gioco delle equazioni è un ottimo riscaldamento.
Le lettere cambiano da paese a paese. In Italia si scrive y = mx + q, mentre nei paesi di lingua inglese si scrive y = mx + b, in Spagna y = mx + n, in Francia e in Polonia y = ax + b e in Russia y = kx + b. Qualunque siano le lettere, il numero davanti a x è sempre il coefficiente angolare e il numero da solo indica dove la retta taglia l'asse y.
Due numeri descrivono ogni retta non verticale
Ogni retta non verticale si può scrivere come y = mx + q, quindi bastano due numeri per descriverla completamente. Il coefficiente angolare dice quanto è ripida e in che direzione va, e l'ordinata all'origine dice da dove parte. Trova questi due numeri, verifica l'equazione con un punto e il resto viene da sé.
Allena questi adesso