Todo decimal que remata, e todo decimal que se repite infinitamente, pódese escribir como fracción. Pasar un decimal a fracción leva tres pasos curtos para a maioría dos números, máis un truco extra para os decimais periódicos como 0,333…. Aquí tes os dous métodos, unha lista dos decimais que paga a pena saber de memoria e os erros que máis confunden.
Como se pasa un decimal a fracción?
Para pasar un decimal a fracción, escribe as cifras que van despois da coma sobre 10, 100 ou 1000, segundo cantas cifras decimais haxa. Unha cifra decimal vai sobre 10, dúas van sobre 100, tres van sobre 1000. Despois simplifica a fracción dividindo o numerador e o denominador entre o mesmo número.
Exemplo
Pasa 0,75 a fracción.
- Conta as cifras decimais. 0,75 ten dúas, así que o denominador é 100.
- Escribe as cifras enriba. 0,75 = 75/100.
- Simplifica. Tanto 75 como 100 se poden dividir entre 25, o que dá 3/4.
Así que 0,75 = 3/4. Unha forma rápida de comprobalo é dividir 3 entre 4 en papel ou coa calculadora. Volves obter 0,75.
Canto é 2,5 en fracción?
2,5 ten unha cifra decimal, así que pasa a ser 25/10. Os dous números divídense entre 5, o que dá 5/2. Tamén podes deixar a parte enteira á parte. O 2 queda como está e o 0,5 pasa a ser 5/10, que se simplifica a 1/2. Así que 2,5 = 5/2 = 2 1/2.
Canto é 0,125 en fracción?
0,125 ten tres cifras decimais, así que pasa a ser 125/1000. Os dous números divídense entre 125, o que dá 1/8. Este convén lembralo, porque os oitavos aparecen moito en receitas, medidas e exercicios do colexio.
O resultado debe ser un número mixto ou unha fracción impropia?
As dúas formas son correctas. 1,25 pódese escribir como 5/4 (unha fracción impropia, co numerador maior ca o denominador) ou como 1 1/4 (un número mixto, cunha parte enteira e unha fracción). Nalgúns sitios o profesorado prefire unha das formas, así que mira o que pide o exercicio. Para pasar dunha á outra, 5/4 significa catro cuartos (unha unidade) máis outro cuarto.
Como se simplifica a fracción?
Para simplificar unha fracción, divide o numerador e o denominador entre o número máis grande que divide os dous, chamado máximo común divisor. Se non o ves de inmediato, divide unha e outra vez entre números pequenos como 2, 5 ou 10 ata que xa non haxa ningún que divida os dous. Unha fracción está totalmente simplificada cando o único número que divide os dous é o 1.
Exemplo
Pasa 0,36. Ten dúas cifras decimais, así que empeza como 36/100. Os dous números divídense entre 4, o que dá 9/25. Agora 9 e 25 non teñen ningún divisor común agás o 1, así que 9/25 é a forma máis simple.
Tamén poderías ir en pasos máis pequenos. 36/100 dividido entre 2 é 18/50, e dividido outra vez entre 2 é 9/25. Chegas ao mesmo sitio. Atopar axiña o máximo común divisor é unha habilidade en si mesma, e o xogo do máximo común divisor convérteo nun desafío rápido. É un bo quecemento antes de exercicios de fraccións máis longos.
Que decimais paga a pena saber de memoria?
Hai uns poucos decimais que aparecen unha e outra vez, e saber as súas fraccións aforra tempo. Inclúen medios, cuartos, quintos e oitavos, ademais dos decimais periódicos dos terzos. Con estes memorizados, moitas veces podes pasar un decimal a fracción mentalmente, sen escribir nada.
- 0,1 = 1/10
- 0,2 = 1/5
- 0,25 = 1/4
- 0,4 = 2/5
- 0,5 = 1/2
- 0,6 = 3/5
- 0,75 = 3/4
- 0,8 = 4/5
- 0,125 = 1/8
- 0,375 = 3/8
- 0,625 = 5/8
- 0,875 = 7/8
- 0,333… = 1/3
- 0,666… = 2/3
- 0,1666… = 1/6
- 0,111… = 1/9
Exemplo
Canto é 0,625? Se sabes que 0,125 = 1/8, entón 0,625 é cinco veces iso, así que é 5/8. Os datos que xa coñeces permiten construír outros novos. Pasar dunha forma á outra faise moito máis rápido co uso regular, e unhas partidas curtas no xogo de decimais ou no xogo de fraccións son unha forma divertida de gañar esa velocidade. Mesmo uns poucos minutos ao día fan que a lista de arriba resulte familiar.
Como se pasa un decimal periódico a fracción?
Nun decimal no que as mesmas cifras se repiten xusto despois da coma, escribe a parte que se repite sobre o mesmo número de noves. Unha cifra que se repite vai sobre 9, dúas van sobre 99, tres van sobre 999. Despois simplifica. Así, 0,777… = 7/9, e 0,272727… = 27/99, que se simplifica a 3/11.
Exemplo
Pasa 0,454545… a fracción. A parte que se repite é 45, que ten dúas cifras, así que vai sobre 99. Iso dá 45/99. Os dous números divídense entre 9, así que o resultado é 5/11. Podes comprobalo dividindo 5 entre 11, que volve dar 0,454545….
Cando a repetición empeza máis tarde, como en 0,1666…, a regra dos noves necesita un paso máis. Un método que sempre funciona usa un pouco de álxebra:
- Chama x ao número. Así, x = 0,1666…
- Multiplica por 10 para pasar a cifra que non se repite diante da coma. 10x = 1,666…
- Multiplica por 100 para pasar tamén unha repetición completa. 100x = 16,666…
- Resta a segunda liña da terceira. As partes que se repiten anúlanse. 90x = 15.
- Divide. x = 15/90, que se simplifica a 1/6.
0,333 é o mesmo que 1/3?
Non. 0,333 con exactamente tres cifras é 333/1000, que é un pouquiño menos ca 1/3. Só 0,333…, onde os 3 continúan infinitamente, é exactamente 1/3. Cando escribas un decimal periódico, indica que se repite con tres puntos ou cun arco sobre as cifras que se repiten. Se non, é un número distinto.
Por que 0,999… é igual a 1?
Isto sorprende a moita xente. Parte de 1/3 = 0,333…. Multiplica os dous lados por 3. Á esquerda obtés 3/3, que é 1. Á dereita obtés 0,999…. Así que 0,999… = 1. A regra dos noves está de acordo, porque 0,999… = 9/9 = 1. Non é un número xusto por debaixo de 1, é outra forma de escribir 1.
Que erros se cometen ao pasar decimais a fraccións?
Os erros máis habituais son poñer un número equivocado de ceros no denominador, esquecer simplificar, perder a parte enteira e tratar un decimal cortado coma se fose periódico. Todos son fáciles de detectar se comprobas o resultado dividindo o numerador entre o denominador.
Exemplo
Un estudante pasa 0,05 e escribe 5/10. Iso é 0,5, dez veces máis grande. 0,05 ten dúas cifras decimais, así que vai sobre 100. O resultado correcto é 5/100, que se simplifica a 1/20.
Vixía estes:
- A potencia de 10 equivocada. Conta todas as cifras despois da coma, incluídos os ceros. 0,05 ten dúas cifras decimais, non unha.
- Non simplificar. 75/100 é correcto pero está sen rematar. O resultado esperado é 3/4.
- Perder a parte enteira. 3,2 é 3 2/10, que se simplifica a 3 1/5, ou 16/5. Non é 2/10.
- Cortar un decimal periódico. 0,66 é 66/100 = 33/50, mentres que 0,666… é 2/3.
Que fraccións dan decimais periódicos?
Unha fracción na súa forma máis simple dá un decimal que remata se o denominador non ten factores primos distintos de 2 e 5. Se o denominador ten calquera outro factor primo, como 3, 7 ou 11, o decimal repítese infinitamente. É unha forma rápida de saber que esperar antes de dividir.
Exemplo
Mira 3/8. O denominador 8 é 2 × 2 × 2, así que o decimal remata. 3/8 = 0,375. Agora mira 1/6. O denominador 6 é 2 × 3, e o 3 fai que o decimal sexa periódico. 1/6 = 0,1666…. Do mesmo xeito, 1/7 = 0,142857142857…, coas seis cifras repetíndose infinitamente, porque 7 é un número primo distinto de 2 e de 5.
Esta regra tamén explica por que os dous métodos de arriba cobren todos os casos. Os decimais que rematan veñen de fraccións que só teñen 2 e 5 no denominador, e os decimais periódicos veñen de todas as demais. En calquera caso, un decimal que remata ou que se repite é unha fracción disfrazada.