Pitagorasen teorema: triangelu angeluzuzen baten edozein alde aurkitu

Pitagorasen teoremari esker, triangelu angeluzuzen baten falta den alde bat aurki dezakezu beste biak ezagutzen dituzunean. Formula labur bakar bat da, a² + b² = c², baina ikasleak askotan trabatzen dira zein alde den bakoitza eta noiz batu edo kendu behar den asmatzean. Gida honek bi kasuak lantzen ditu adibideekin, kontuz ibili beharreko akatsekin eta teorema eguneroko bizitzan non agertzen den erakutsiz.

Zer da Pitagorasen teorema?

Pitagorasen teoremak dio triangelu angeluzuzen batean alde luzeenaren karratua bi alde laburragoen karratuen baturaren berdina dela. Formula gisa idatzita, a² + b² = c². Hemen a eta b dira bi alde laburrenak, katetoak deituak, eta c alde luzeena, hipotenusa deitua.

Adibidea

Har ezazu 3 cm eta 4 cm-ko katetoak dituen triangelu angeluzuzen bat. Egin bi katetoen karratua. 3² = 9 eta 4² = 16. Batu, eta 25 lortzen duzu. Orain galdetu zein zenbakiren karratuak ematen duen 25. Erantzuna 5 da, beraz hipotenusak 5 cm ditu. Alderantziz egiazta dezakezu, 5² = 25 = 9 + 16 baita.

Zergatik betetzen da?

Irudikatu triangeluaren alde bakoitzean karratu bat marraztuta. Teoremak dio hipotenusako karratu handiaren azalera bi karratu txikien azaleren batura dela. 3, 4, 5 triangeluan, hori 25 = 9 + 16 da.

Zergatik den ikusteko modu bat irudi bidezko froga klasiko bat da. Hartu triangelu angeluzuzen beraren lau kopia eta antolatu karratu handi baten barruan, erdian karratu okertu bat geratzeko moduan.

Erdiko karratu horren aldea c da, beraz bere azalera c² da. Orain antolatu lau triangelu berberak karratu handi beraren barruan beste modu batera. Hutsune hori bi karratu bihurtzen da, bat a aldekoa eta bestea b aldekoa. Karratu handia eta lau triangeluak ez dira aldatu, beraz hutsunea ere ez. Horrek esan nahi du c² = a² + b².

Nola aurkitzen da hipotenusa?

Hipotenusa aurkitzeko, egin bi alde laburrenen karratua, batu emaitzak eta atera guztizkoaren erro karratua. Formula gisa, c = √(a² + b²). Emaitza beti da bi alde laburretako edozein baino luzeagoa, eta hori akatsik egin ez duzula egiaztatzeko modu azkarra da.

Adibidea

Triangelu angeluzuzen batek 6 m eta 8 m-ko katetoak ditu.

1. Egin kateto bakoitzaren karratua. 6² = 36 eta 8² = 64.
2. Batu. 36 + 64 = 100.
3. Atera erro karratua. √100 = 10.

Hipotenusak 10 m ditu. Emaitza guztiak ez dira zenbaki osoak. 5 eta 7ko katetoekin, 25 + 49 = 74 lortzen duzu, eta √74 8,60 inguru da. Erro karratuak motel egiten bazaizkizu, erro karratuen jokoan txanda batzuk eginez karratu perfektuak azkar ezagutzen ikasiko duzu. 36, 64 eta 100 begi-kolpe batean ezagutzeak goiko urrats guztiak azkartzen ditu.

Nola jakin zein alde den hipotenusa?

Hipotenusa beti da angelu zuzenaren aurrean dagoen aldea, eta beti da alde luzeena. Ikasle asko nahastu egiten dira triangelua biratuta edo hankaz gora marraztuta dagoenean. Bilatu lehenik angelu zuzena markatzen duen karratu txikia. Izkina hori ukitzen ez duen aldea da hipotenusa, orrialdean edonon dagoela ere.

Nola aurkitzen da falta den alde labur bat?

Falta den alde labur bat aurkitzeko, egin hipotenusaren karratua, egin ezagutzen duzun aldearen karratua eta kendu karratu txikiena handienari. Gero atera erro karratua. Formula gisa, a = √(c² − b²). Hemen kendu egiten duzu, hipotenusa alde handiena delako eta, beraz, bere karratua abiapuntuko guztizkoa delako.

Adibidea

Triangelu angeluzuzen batek 13 cm-ko hipotenusa eta 5 cm-ko kateto bat ditu.

1. Egin hipotenusaren karratua. 13² = 169.
2. Egin kateto ezagunaren karratua. 5² = 25.
3. Kendu. 169 − 25 = 144.
4. Atera erro karratua. √144 = 12.

Falta den aldeak 12 cm ditu. Egiaztatu zentzuzkoa dela. 12 13 baino laburragoa da, kateto batek izan behar duen bezala. Eta 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13², beraz triangeluak teorema betetzen du.

Bi kasuek arau sinple bakar bat jarraitzen dute. Alde luzeena bilatzen ari bazara, batu. Alde labur bat bilatzen ari bazara, kendu. Arau hori naturala egiten zaizunean, geometria-jokoa leku dibertigarria da triangeluen problemak praktikan jartzeko. Erantzun azkarrak eskatzen ditu, eta horri esker urratsak automatiko bihurtzen dira.

Zer akats egiten dira Pitagorasen teorema erabiltzean?

Akatsik ohikoenak dira teorema angelu zuzenik gabeko triangelu batean erabiltzea, kendu behar denean batzea, amaierako erro karratua ahaztea eta hipotenusatzat alde okerra hartzea. Bakoitza erraz saihesten da zer begiratu behar duzun jakinez gero.

Adibidea

Ikasle batek 10eko hipotenusa eta 6ko kateto bat ditu, eta 10² + 6² = 136 idazten du, gero √136 ≈ 11,66. Emaitza hori hipotenusa baino luzeagoa da, eta hori ezinezkoa da kateto batentzat. Urrats zuzena 100 − 36 = 64 da, eta √64 = 8.

Hona hemen kontuz ibili beharreko akatsak:

1. Edozein triangelutan erabiltzea. Teorema angelu batek zehazki 90° dituenean bakarrik betetzen da.
2. Alde ezezagunari beti c deitzea. Hipotenusa bakarrik da c. Alde ezezaguna kateto bat bada, kendu egiten duzu.
3. Erro karratuaren aurretik gelditzea. 6² + 8² = 100 c² da, ez c. Aldea √100 = 10 da.
4. √(a² + b²) eta a + b gauza bera direla pentsatzea. 3 eta 4rekin, √(9 + 16) = 5, eta 3 + 4 = 7.
5. Goizegi biribiltzea. Urrats bat baino gehiagoko problemetan, gorde balio zehatza amaierara arte eta biribildu azken emaitza bakarrik.

Triangelu guztietan betetzen al da Pitagorasen teorema?

Ez. Pitagorasen teorema triangelu angeluzuzenetan bakarrik betetzen da, hau da, zehazki 90°-ko angelu bat dutenetan. Alderantziz ere balio du. Triangelu baten hiru aldeek a² + b² = c² betetzen badute, triangeluak angelu zuzen bat izan behar du. Alderantzizko bertsio hori izkina bat zuzena den egiaztatzeko modu fidagarria da.

Adibidea

5, 12 eta 13 aldeak dituen triangelua angeluzuzena al da? Egin bi alde laburrenen karratua eta batu. 25 + 144 = 169. Egin alde luzeenaren karratua. 13² = 169. Bat datoz, beraz bai.

Eta 6, 7 eta 9 aldeekin? 36 + 49 = 85, baina 9² = 81. Ez datoz bat, beraz triangeluak ez du angelu zuzenik. 85 81 baino handiagoa denez, bere angelu guztiak 90° baino txikiagoak dira.

Eraikitzaileek ideia bera erabiltzen dute. Izkina bat zuzena dela egiaztatzeko, 3 unitate neurtzen dituzte horma batean zehar eta 4 unitate bestean. Bi marka horien arteko distantzia zehazki 5 unitate bada, izkina angelu zuzena da. Edozein unitatek balio du, metroek edo 30 cm-ko urratsek adibidez, hiru neurketek unitate bera erabiltzen badute.

Zer da hirukote pitagoriko bat?

Hirukote pitagoriko bat a² + b² = c² zehazki betetzen duten hiru zenbaki osoko multzo bat da. Ezagunena 3, 4, 5 da. Beste batzuk 5, 12, 13 dira, eta gero 8, 15, 17 eta 7, 24, 25. Hirukote bateko zenbaki guztiak kopuru berarekin biderkatzen badituzu, beste hirukote bat lortzen duzu, 6, 8, 10 adibidez.

Adibidea

Egiaztatu 8, 15, 17. 8² = 64 eta 15² = 225. Guztira, 289. Eta 17² = 289. Betetzen du. 3, 4, 5 bikoizteak 6, 8, 10 ematen du, eta hirukoizteak 9, 12, 15. Biek betetzen dute. Hirukote batzuk buruz jakiteak ariketa askotan emaitzak berehala ikusteko aukera ematen dizu.

Emaitza zehatza da, ala hurbilketa bat besterik ez?

Pitagorasen teoremaren emaitza zehatza da, baina ez da beti zenbaki osoa. 1eko bi kateto dituen triangelu angeluzuzen baten hipotenusa zehazki √2 da. Zenbaki hamartar gisa, √2 ez da inoiz amaitzen, beraz 1,414 hurbilketa bat besterik ez da. Horregatik eskatzen dute irakasle askok emaitza √2 gisa uzteko.

Adibidea

Egiaztatu bertsio hamartarra. 1,414² = 1,999396, 2tik hurbil dagoena baina ez berdina. √2 balioa da luzera zehatza. Idatzi √2 galderak emaitza zehatza eskatzen duenean, eta biribildu zenbaki hamartar bat eskatzen duenean bakarrik, adibidez bi hamartarrekin (1,41).

Non erabiltzen da Pitagorasen teorema eguneroko bizitzan?

Pitagorasen teorema norbaitek zuzenean neurtu ezin duen distantzia bat behar duen bakoitzean erabiltzen da. Eraikitzaileek izkina zuzenak egiaztatzeko erabiltzen dute, jendeak eskailera bat segurtasunez jartzeko, pantailen tamainak harekin neurtzen dira, eta mapa batean bi punturen arteko distantzia zuzena ematen du.

Adibidea

Eskailera batek 4 m ditu, eta bere oina hormatik 1 m-ra dago. Hormaren zer altueraraino iristen da? Eskailera hipotenusa da, beraz kendu. 4² − 1² = 16 − 1 = 15, eta √15 3,87 m inguru da.

Eguneroko beste erabilera batzuk:

1. Pantailen tamainak. 40 cm zabal eta 30 cm altu den pantaila batek √(1600 + 900) = √2500 = 50 cm-ko diagonala du.
2. Distantziak mapan. Ibili 3 km ekialdera eta gero 4 km iparraldera, eta abiapuntutik 5 km-ra amaitzen duzu, lerro zuzenean.
3. Izkina zuzenak. Goiko 3, 4, 5 egiaztapena hormetarako, lorategiko lur-zatietarako eta lauzadun zoruetarako erabiltzen da.

Nork aurkitu zuen lehenik Pitagorasen teorema?

Teoremak Pitagoras pentsalari greziarraren izena darama, baina ideia askoz zaharragoa da. Plimpton 322 izenez ezagutzen den buztinezko taula babiloniar batek, K.a. 1800 ingurukoak, hirukote pitagorikoetako zenbakiak zerrendatzen ditu Pitagoras bizi baino 1000 urte baino gehiago lehenago, UNSW Sydneyko ikerketari buruzko artikulu batek azaltzen duen bezala. Antzeko ideiak agertzen dira Indiako eta Txinako matematika zaharrean.