Puntu-malda ekuazioa, zer den eta noiz erabili y = mx + n beharrean

Nola idazten da zuzen baten puntu-malda ekuazioa?

Jarri malda m-ren lekuan, eta ezagutzen duzun puntu baten koordenatuak x₁ eta y₁-en lekuan. Utzi x eta y letra gisa. Zuzeneko beste puntu guztiak adierazten dituzte. Erabili puntu-malda ekuazioa zuzeneko puntu bat eta haren malda ezagutzen dituzunean.

Adibidea

Idatzi (2, 3) puntutik igarotzen den eta 2 malda duen zuzena.

1. Puntutik, x₁ = 2 eta y₁ = 3.
2. Maldatik, m = 2.
3. Ordezkatu: y − 3 = 2(x − 2).

Kitto, ez dago ezer sinplifikatzeko. Ziur egon nahi baduzu, egiaztatu bigarren puntu bat. (2, 3) puntutik pauso bat eskuinera eta bi gora eginda, (3, 5) puntura iristen zara. Ordezkatu zenbaki horiek: ezkerrean, 5 − 3 = 2, eta eskuinean, 2(3 − 2) = 2. Bat datoz.

Ohartu (2, 3) puntua ekuazioaren barruan bertan ageri dela. Zuzena marrazten duzunean, arkatza lehenik puntu horretan jar dezakezu eta handik aurrera jarraitu.

Nola aurkitzen da puntu-malda ekuazioa bi puntutatik abiatuta?

Kalkulatu lehenik malda m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁) formularekin. Ondoren, hartu bi puntuetako edozein eta ordezkatu y − y₁ = m(x − x₁) ekuazioan, malda horrekin batera. Berdin dio zein puntu aukeratzen duzun. Ekuazioak desberdinak dirudite, baina sinplifikatu ondoren biek zuzen bera deskribatzen dute.

Adibidea

Aurkitu (1, −2) eta (4, 7) puntuetatik igarotzen den zuzena.

1. Malda: m = (7 − (−2)) : (4 − 1) = 9 : 3 = 3
2. (1, −2) erabiliz: y − (−2) = 3(x − 1), hau da, y + 2 = 3(x − 1)
3. (4, 7) erabiliz: y − 7 = 3(x − 4)

Bietako edozein garatzen baduzu, y = 3x − 5 lortzen duzu. Hori jakitea komeni da etxeko lanak soluzioekin zuzendu aurretik. Ikasle batek (4, 7) erabili badu eta soluzioetan (1, −2) erabili bada, bi ekuazio desberdin ikusiko dituzu, eta bat bera ere ez dago gaizki.

Zergatik aldatzen ditu zeinuak puntu negatibo batek?

Formulak puntuaren koordenatuak kentzen ditu. Koordenatu bat negatiboa bada, zenbaki negatibo bat kentzen ari zara, eta hori batuketa bihurtzen da. Horrela, (−4, −1) puntuak y + 1 eta x + 4 ematen ditu. Parentesiak osorik idaztea sinplifikatu aurretik da zeinua oker ez aldatzeko modurik errazena.

Adibidea

Idatzi (−4, −1) puntutik igarotzen den eta 1/2 malda duen zuzena.

1. Parentesiekin: y − (−1) = 1/2(x − (−4))
2. Sinplifikatuta: y + 1 = 1/2(x + 4)

Alderantziz ere balio du. y + 5 = −2(x − 6) ematen badizute, zuzeneko puntua (6, −5) da, ez (6, 5). Ekuazioaren barruan zein zeinu ikusten duzun, koordenatuak kontrakoa du.

Nola pasatzen da puntu-malda ekuaziotik ekuazio esplizitura?

Garatu parentesia, eta pasatu ezkerreko zenbakia beste aldera, y bakarrik gera dadin. Lortzen duzuna ekuazio esplizitua da, y = mx + n. Malda ez da aldatzen pausoa egitean, eta amaieran bakarrik geratzen den zenbakia jatorrizko ordenatua da, hau da, zuzenak y ardatza ebakitzen duen puntua.

Adibidea

Pasatu y − 3 = 2(x − 2) forma esplizitura.

1. Garatu parentesia: y − 3 = 2x − 4
2. Batu 3 bi aldeetan: y = 2x − 1

Malda 2 da oraindik, eta zuzenak y ardatza (0, −1) puntuan ebakitzen du. Puntu hori goiko grafikoan ikus dezakezu. Alderantzizko bidea ere bezain azkarra da. Hartu y = −3x + 5, aukeratu x = 1, eta y = 2 lortzen duzu. (1, 2) puntuak eta −3 maldak y − 2 = −3(x − 1) ematen dute.

Zein forma erabili behar da?

Erabili dagoeneko dituzun datuetara hobekien egokitzen den forma.

• Puntu-malda ekuazioa, puntu bat eta malda dituzunean, edo bi puntu.
• Ekuazio esplizitua, malda eta jatorrizko ordenatua irakurri nahi dituzunean edo grafikoa marraztu nahi duzunean.
• Ekuazio orokorra, Ax + By + C = 0, zuzenak bi ardatzak non ebakitzen dituen jakin behar duzunean.

Irakasle askok azken erantzuna y = mx + n forman nahi dute. Ezerk ez dizu eragozten puntu-malda ekuazioarekin hastea eta amaieran forma esplizitura pasatzea.

Nondik dator puntu-malda formula?

Maldaren formula da, berrantolatuta. Aukeratu zuzen bateko puntu finko bat (x₁, y₁) eta zuzen bereko beste edozein puntu (x, y). Bien arteko malda m = (y − y₁) : (x − x₁) da. Biderkatu bi aldeak (x − x₁)-ekin, eta y − y₁ = m(x − x₁) duzu.

Adibidea

Jarrai dezagun (2, 3) puntutik igarotzen den eta 2 malda duen zuzenarekin, eta egiazta dezagun (5, 9) puntua. (2, 3) puntutik (5, 9) punturako malda (9 − 3) : (5 − 2) = 6 : 3 = 2 da. Malda bera da; beraz, (5, 9) zuzenean dago. Puntu-malda ekuazioak hori bera dio: 9 − 3 = 2(5 − 2).

Doako OpenStax Elementary Algebra 2e testuliburuak modu berean ateratzen du formula. Ondoren, bi puntutatik igarotzen diren zuzenetarako eta zuzen paralelo eta perpendikularretarako erabiltzen du, eta horixe da hurrengo atalean ikusiko duguna.

Nola erabiltzen da puntu-malda ekuazioa zuzen paralelo eta perpendikularrekin?

Zuzen paralelo batek jatorrizko zuzenaren malda bera du. Zuzen perpendikular batek malda alderantzizko eta aurkakoa du; beraz, zatikia buelta ematen diozu eta zeinua aldatzen diozu. 2 malda −1/2 bihurtzen da, eta −3/4 malda 4/3 bihurtzen da. Malda berria duzunean, jarri puntu-malda ekuazioan, eman dizuten puntuarekin.

Adibidea

Aurkitu (2, 3) puntutik igarotzen den eta y = 2x − 1 zuzenarekiko perpendikularra den zuzena.

1. Jatorrizko malda 2 da, edo 2/1.
2. Eman buelta eta aldatu zeinua: −1/2.
3. Puntu-malda ekuazioa: y − 3 = −1/2(x − 2)
4. Ekuazio esplizitua: y = −1/2x + 4

Egiaztapen azkarra x = 2 eginda: −1/2 · 2 + 4 = 3, eta hori da gure puntuaren y balioa. (6, 0) puntutik igarotzen den paralelo baterako, mantendu 2 malda: y − 0 = 2(x − 6), hau da, y = 2x − 12.

Zuzen guztiak idatz daitezke puntu-malda forman?

Ia guztiak. Salbuespena zuzen bertikala da. Haren puntu guztiek x balio bera dute; beraz, aurrerapen horizontala 0 da, eta malda kalkulatzeak zeroz zatitzea esan nahiko luke. Horregatik, (3, 1) puntutik igarotzen den zuzen bertikala x = 3 idazten da. Zuzen horizontalek ez dute inolako arazorik ematen, haien malda 0 baita, besterik gabe.

Adibidea

Hartu (1, 4) puntutik igarotzen den zuzen horizontala. Puntu-malda forman y − 4 = 0(x − 1) da. Zero bider edozer zero da; beraz, ekuazioa y − 4 = 0 geratzen da, hau da, y = 4.

Nola landu daiteke puntu-malda ekuazioa?

Zuzenekin trebetasuna asko ikusiz lortzen da. Funtzio linealen jokoan zuzenei buruzko galderekin borrokatzen zara. Txanda batean, adibidez, (−2, 2) puntutik (0, −6) punturako malda eska diezazukete, eta asmatzen baduzu, zure erasoak jo egiten du. Horren emaitza (−6 − 2) : (0 − (−2)) = −8 : 2 = −4 da.

Forma batetik bestera pasatzea ekuazio txiki bat da aldi bakoitzean. Hor moteltzen bazara, ekuazioen jokoko txanda batzuek lagunduko dizute. Pauso berak erabiliko dituzu formula bat berrantolatzen duzun bakoitzean.

Maldaren letra ere aldatu egiten da herrialde batetik bestera. Euskal Herrian m erabiltzen da, ingelesez bezala, baina beste herrialde batzuetan k edo a ikusiko duzu. Letra edozein dela ere, parentesiaren aurreko zenbakia malda da, eta parentesi barruko zenbakiak zuzeneko puntu batetik datoz.

Puntu batek eta malda batek finkatzen dute zuzena

Puntu bakar batek eta malda batek zuzen bat erabat zehazten dute, eta puntu-malda ekuazioak hori zuzenean idazten du. Ordezkatu arretaz, mantendu parentesiak zeinuak argi izan arte, eta egiaztatu emaitza bigarren puntu batekin. Horren ondoren, y = mx + n lortzeko bi pauso labur baino ez dira falta.