Eragiketen hierarkia: PEMDAS, BODMAS eta horien atzeko araua

Nola aplikatzen da eragiketen hierarkia urratsez urrats?

Eragiketen hierarkiarekin (ingelesez PEMDAS), kalkulu bat lau txandatan ebazten da. Lehenik, parentesi barruan dagoena; gero, berreturak; ondoren, biderketak eta zatiketak ezkerretik eskuinera; eta azkenik, batuketak eta kenketak, hauek ere ezkerretik eskuinera. Idatzi berriro lerro osoa txanda bakoitzaren ondoren, horrela edozein akats berehala ikusten da.

Adibidea

Kalkulatu 3 + 4 × (6 − 2)² ÷ 8.

1. Parentesiak: 6 − 2 = 4, eta 3 + 4 × 4² ÷ 8 geratzen da
2. Berreturak: 4² = 16, eta 3 + 4 × 16 ÷ 8 geratzen da
3. Biderketa eta zatiketa, ezkerretik eskuinera: 4 × 16 = 64, gero 64 ÷ 8 = 8, eta 3 + 8 geratzen da
4. Batuketa eta kenketa: 3 + 8 = 11

Lerroa berriro kopiatzea motela dirudi. Hala ere, akatsen aurkako babesik onena da. Ohiko hutsegite bat hasieran 3 eta 4 batzea da. Horrek 7 ematen du, eta azken emaitza gaizki ateratzen da.

PEMDASen biderketa zatiketaren aurretik doa?

Ez. Biderketa eta zatiketa maila berean daude, eta batuketa eta kenketa ere bai. Bikote bakoitzaren barruan, ezkerretik eskuinera joan besterik ez dago. PEMDASek M letra D baino lehen jartzen du hitz batek bere letrak nolabait ordenatu behar dituelako, besterik ez. Letrak sailkapen zorrotz gisa hartzea da eragiketen hierarkiarekin egiten den akats ohikoenetako bat.

Adibidea

Kalkulatu 24 ÷ 4 × 2.

1. Ezkerretik hasita, zatiketa dator lehenik: 24 ÷ 4 = 6
2. Gero, biderketa: 6 × 2 = 12

Lehenik biderkatzen baduzu, 24 ÷ 8 = 3 ateratzen zaizu, eta hori gaizki dago. Batuketarekin eta kenketarekin gauza bera gertatzen da. 10 − 4 + 3 kalkuluan, ezkerretik eskuinera 6 + 3 = 9 ematen du. Lehenik batzen baduzu, 10 − 7 = 3 ematen du, eta hori ere gaizki dago.

OpenStax Prealgebra 2e testuliburu dohainikoak argi esaten du. Biderketak eta zatiketak ezkerretik eskuinera egiten dira, lehentasun bera dutelako. Heldu askok ez dute xehetasun hori eskolatik gogoratzen, eta interneteko buruhausgarri matematikoei buruzko eztabaida askoren atzean dago.

Zer alde dago PEMDAS, BODMAS eta BIDMAS artean?

Arauetan ez dago inolako alderik, hitzetan bakarrik. PEMDAS P letrarekin hasten da, parentheses (parentesiak) hitzagatik; BODMAS eta BIDMAS, berriz, B letrarekin, brackets hitzagatik, eta horrek ere parentesiak esan nahi du. E (exponents), O (orders) eta I (indices) letrek gauza bera esan nahi dute: berreturak eta erroak. Bertsio guztiek biderketa eta zatiketa maila batean jartzen dituzte, eta batuketa eta kenketa hurrengoan.

Adibidea

Kalkulatu 2 + 3 × 4², bertsio bakoitza kontuan hartuta.

1. Lehenik berreturak: 4² = 16
2. Gero biderketa: 3 × 16 = 48
3. Eta ondoren batuketa: 2 + 48 = 50

BODMASek D letra M baino lehen idazten du, eta PEMDASek M letra D baino lehen. Biek 50 ematen dute hemen, eta edozein kalkulutan emaitza bera ematen dute. Letren ordenak nahasten jarraitzen badu, lagungarria izan daiteke araua sei letra beharrean lau mailatan idaztea: parentesiak, berreturak, biderkatu edo zatitu, batu edo kendu.

Zergatik behar dugu eragiketen hierarkia?

Adostutako ordenarik gabe, 2 + 3 × 4 bezalako lerro batek bi gauza desberdin esan nahi lezake. Lehenik batzen baduzu, 20 ateratzen da. Lehenik biderkatzen baduzu, 14 ateratzen da. Hitzarmenak dio biderketa lehenago doala, beraz emaitza 14 da. Arauaren helburua, besterik gabe, kalkulu bera irakurtzen duen orok emaitza bera lortzea da.

Adibidea

Lagun batek 3 koaderno erosten ditu, 4 txanpon bakoitza, eta boligrafo bat 2 txanponean. Guztira 2 + 3 × 4 = 2 + 12 = 14 txanpon dira. Lehenik batuz gero, 5 × 4 = 20 aterako litzateke, boligrafoa lau aldiz erosi izan balu bezala.

Hitzarmena siglak baino askoz zaharragoa da. St Andrewseko Unibertsitateko matematikaren historiaren artxiboa den MacTutor atariaren arabera, biderketa batuketaren eta kenketaren aurretik egitea araua zen jada aljebra sinbolikoko lehen liburuetan, XVI. mendean. Orrialde berak 1920ko hamarkadaren amaieran idazten zuen historialari bat aipatzen du, zeinak esaten baitzuen oraindik ez zegoela adostasunik ÷ ala × lehenik joan behar zen jakiteko.

Zenbat da 8 ÷ 2(2 + 2)?

Eragiketen hierarkia irakasten den bezala jarraitzen baduzu, 8 ÷ 2(2 + 2) eragiketak 16 ematen du. Parentesia doa lehenik, eta 4 ematen du. Parentesiaren ondoan idatzitako 2 horrek biderketa adierazten du, eta zatiketa eta biderketa ezkerretik eskuinera egiten dira; beraz, 8 ÷ 2 × 4 = 4 × 4 = 16. Eskolan zatiketa bi punturekin idatzi ohi da (8 : 2), baina araua bera da.

Adibidea

Hona hemen bi irakurketak, bata bestearen ondoan.

1. Ezkerretik eskuinera: 8 ÷ 2 × 4 = 4 × 4 = 16
2. 2(2 + 2) bloke bakar gisa hartuta: 8 ÷ (2 × 4) = 8 ÷ 8 = 1

Benetako arazoa kalkulua nola idatzita dagoen da. Berkeleyko matematika sailaren webguneko ohar batek adierazten du ez dagoela hitzarmen estandarrik horrelako adierazpenetarako, zenbaki bat parentesiari itsatsita idazteak biak elkarrekin doazela iradokitzen duelako. Matematikariek eztabaida osoa saihesten dute parentesi gehiago jarrita: (8 ÷ 2)(2 + 2) edo 8 ÷ (2(2 + 2)).

Zatiki-marrak ere modu berean taldekatzen du. 6 + 4 zatiki-marraren gainean idatzita badago eta 2 azpian, lehenik batu egiten da, beraz emaitza 10 ÷ 2 = 5 da.

Zein dira eragiketen hierarkiarekin egiten diren akats ohikoenak?

Akats gehienak siglak ordena finkoko sei urrats bereizi gisa irakurtzetik datoz. Horrek zatitu aurretik biderkatzera edo kendu aurretik batzera eramaten du. Beste hutsegite batzuk dira ahaztea zatiki-marrak gainean eta azpian dagoena taldekatzen duela, eta zenbaki negatibo bat bere parentesirik gabe karratura jasotzea. Urrats bakoitzaren ondoren lerroa berridazteak ia guztiak harrapatzen ditu.

Behin eta berriz errepikatzen diren hutsegiteak

• Zatitu aurretik biderkatzea. 24 ÷ 4 × 2 kalkuluan, joan ezkerretik eskuinera: 6 × 2 = 12.
• Kendu aurretik batzea. 10 − 4 + 3 kalkuluan, joan ezkerretik eskuinera: 6 + 3 = 9.
• Zenbaki negatibo bat karratura jasotzea. −3² adierazpenak −(3²) = −9 esan nahi du, baina (−3)² = 9. Parentesiak erabakitzen du minus zeinua karratura jasotzen den ala ez.
• Kanpoko kortxetetik hastea. 2 × [5 + (3 − 1)²] kalkuluan, hasi barrutik: 3 − 1 = 2, gero 2² = 4, gero 5 + 4 = 9, eta azkenik 2 × 9 = 18.
• Zatiki-marrari kasurik ez egitea. Kalkulatu lehenik goiko zatia eta beheko zatia bakoitza bere aldetik, eta gero zatitu.

Nola landu daiteke eragiketen hierarkia?

Kalkulu labur eta maiztasunez egindakoak dira arau hau lantzeko modurik onena. Eragiketen hierarkiaren jokoan, eraso bakoitza (5 + 3) × 7 bezalako eragiketa konbinatu bat da. Parentesia ebazten duzu, biderkatzen duzu eta 56 idazten duzu erasoa jaurtitzeko.

Berreturek jende asko moteltzen dute, batez ere zenbaki negatiboekin. Hor trabatzen bazara, probatu lehenik berreturen jokoa. Horren ondoren, berreturak dituzten kalkulu luzeagoak errazago ebazten dira.

Arauaren izena non ikasten duzun araberakoa da. Estatu Batuetan PEMDAS da, eta Erresuma Batuan BODMAS edo BIDMAS. Beste hizkuntza batzuek beren esaldi laburrak dituzte, baina azpiko araua bera da leku guztietan. Gure eskoletan eragiketen hierarkia esaten diogu.

Arau partekatu bat, denok emaitza bera lor dezagun

Eragiketen hierarkia akordio bat da, ez naturaren lege bat, eta denok bera erabiltzen dugulako bakarrik funtzionatzen du. Lehenik parentesiak, gero berreturak, ondoren biderketak eta zatiketak ezkerretik eskuinera, eta azkenik batuketak eta kenketak ezkerretik eskuinera. Kalkulu bat oraindik bi modutara irakur badaiteke, gehitu parentesiak eta amaitu da eztabaida.