Fi, ospe handiko zenbakia
Matematikariek φ (fi) letra grekoarekin idazten dute, eta ekilore, eraikin ospetsu eta aurpegi ederretan ezkutatzen omen da. Ospe horren zati bat merezia da, baina asko ez. Lehenik matematika ikusiko dugu, eta gero benetan non agertzen den, zintzo-zintzo.
Nola kalkulatzen da urrezko zenbakia?
Urrezko zenbakia φ = (1 + √5) : 2 formularekin kalkulatzen da. 5en erro karratua 2,236 ingurukoa da; 1 gehitu, 2z zatitu, eta 1,618 inguru lortzen da. Hamartarrak ez dira inoiz amaitzen eta ez dira errepikatzen, φ zenbaki irrazionala baita. Eguneroko erabilera gehienetarako, 1,618 nahikoa da.
Adibidea
Kalkulatu kalkulagailuarekin hiru urratsetan.
- √5 ≈ 2,236
- 1 + 2,236 = 3,236
- 3,236 : 2 = 1,618
Beraz, φ ≈ 1,618. Zehaztasun handiagoa behar baduzu, φ = 1,6180339887 da, hamar hamartarrekin.
Nondik dator formula hori?
Hartu zuzenki bat eta zatitu zati luze batean (a) eta zati labur batean (b). Zatiketa urrezkoa da zuzenki osoa zati luzearekiko zati luzea zati laburrarekiko den bezalakoa denean. Ikurrekin, (a + b) : a = a : b. Balio komun hori φ da.
Orain egin zati laburra 1 izan dadin; hala, zati luzea φ da. Araua honela geratzen da: (φ + 1) : φ = φ. Biderkatu bi atalak φz, eta φ² = φ + 1 lortzen da, hau da, φ² − φ − 1 = 0. Bigarren mailako ekuazio bat da, eta haren soluzio positiboa (1 + √5) : 2 da. Britannicak eraldaketa bera deskribatzen du, x² − x − 1 = 0 lortu arte.
Zergatik dira hain antzekoak 1,618, 0,618 eta 2,618?
φ² = φ + 1 denez, φ ber bi egiteak 1 gehitzen dio, besterik ez. Horregatik φ² ≈ 2,618. Ekuazio bera φz zatitzen baduzu, φ = 1 + 1 : φ lortzen duzu, eta horrek esan nahi du 1 : φ = φ − 1 ≈ 0,618 dela. Horregatik dituzte hiru zenbaki desberdinek hamartar berak.
Zergatik da hain berezia urrezko zenbakia?
Urrezko zenbakia berezia da, zenbaki positibo bakarra delako zeinaren karratua zenbakia bera gehi bat den, eta zeinaren alderantzizkoa zenbakia bera ken bat den. Gainera, geometria eta zenbaketa lotzen ditu. Balio bera agertzen da zuzenki bat modu orekatuan zatitzean, pentagono erregular bat marraztean eta Fibonacciren segidako zenbaki jarraituak zatitzean.
Adibidea
1 aldeko pentagono erregular batean, diagonal bakoitzak (erpin bat ondoan ez duen beste erpin batekin lotzen duen zuzenkiak) zehazki φ neurtzen du, 1,618 inguru. Horregatik dago urrezko proportzioz beteta pentagono baten barruan marraztutako bost puntako izarra. Izarraren punta bakoitza urrezko proportzioan mozten dute beste lerroek.
Ideia oso zaharra da. Britannicak Euklidesengana eramaten du; hark, bere Elementuak lanean, «muturreko eta erdiko arrazoia» deitu zion.
Urrezko zenbakia eta pi gauza bera al dira?
Ez. Pi (π ≈ 3,14) zirkunferentzia baten luzeraren eta haren diametroaren arteko arrazoia da; urrezko zenbakia (φ ≈ 1,618), berriz, zuzenki bat zatitzetik dator. Biak dira zenbaki irrazionalak, hamartar amaigabeekin, eta ziurrenik horregatik nahasten dira. Balio desberdinak dituzte eta irudi desberdinetatik datoz.
Urrezko zenbakia eta Fibonacciren segida gauza bera al dira?
Urrezko zenbakia eta Fibonacciren segida ez dira gauza bera, baina oso lotuta daude. Fibonacciren segida zenbaki arrunten zerrenda bat da, non zenbaki bakoitza aurreko bien batura den. Fibonacciren zenbaki bakoitza aurrekoaz zatitzen baduzu, emaitzak gero eta gehiago hurbiltzen dira urrezko zenbakira.
Adibidea
Hartu Fibonacciren segidako zenbaki jarraituak eta zatitu.
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 89 : 55 ≈ 1,618
Emaitzak 1,618ren gainetik eta azpitik ibiltzen dira, eta laster egonkortzen dira. 144 : 89 egiterako, emaitza φrekin bat dator jada hiru hamartarretan. Kalkulagailuarekin haurrekin egiteko jarduera polita da, zatiketa soilen bidez eredu bat nola agertzen den ikusten baitute.
Zenbaki-zerrenda baten atzean dagoen araua aurkitzea Fibonaccitik haratago doan trebetasuna da. Zenbaki-segiden jokoan, eraso bakoitza zenbaki bat falta zaion segida bat da, eta araua aurkitu behar duzu aurkariak baino lehen.
Irudiko txandan, zenbaki bakoitza aurrekoa baino 5 handiagoa da; beraz, falta den zenbakia 24 da.
Nola marrazten da urrezko laukizuzen bat?
Urrezko laukizuzen batean, alde luzeak alde laburrak baino 1,618 aldiz gehiago neurtzen du gutxi gorabehera. Marrazteko, biderkatu alde laburra 1,618z, edo zatitu alde luzea 1,618z alde laburra aurkitzeko. Konpas batekin ere eraiki dezakezu modu zehatzean, karratu batetik abiatuta, hamartarrik neurtu gabe.
Adibidea
Alde laburrak 10 cm neurtzen baditu, alde luzeak 10 × 1,618 ≈ 16,2 cm neurtzen du. Orri batek 1000 pixeleko zabalera badu eta urrezko zatiketa bat nahi baduzu, zatitu φz. 618 pixel inguruko zutabe nagusi bat eta 382 pixel inguruko alboko zutabe bat lortzen dituzu.
Konpasarekin marrazteko, jarraitu urrats hauek.
- Marraztu 1 aldeko karratu bat (adibidez, dezimetro 1).
- Markatu beheko aldearen erdiko puntua.
- Jarri konpasaren puntta erdiko puntu horretan eta ireki kontrako aldeko goiko erpineraino. Distantzia hori √5 : 2 da, 1,118 inguru.
- Biratu konpasa beheko aldearen luzapeneraino. Luzera berria 0,5 + 1,118 = 1,618 da.
- Osatu laukizuzena. Haren aldeek 1 eta φ neurtzen dute.
Urrezko laukizuzen bati karratua kentzen badiozu, geratzen den zatia beste urrezko laukizuzen bat da. Errepikatu prozesua, marraztu zirkunferentzia-laurden bat karratu bakoitzean, eta urrezko zenbakiaren irudietan maiz agertzen den espirala lortuko duzu. Horrelako geometria geometria-jokoan ere badago; bertan, irudiak, angeluak eta azalerak erronka bizkor bihurtzen dira.
Non agertzen da urrezko zenbakia naturan?
Naturako adibiderik argiena landare askok hostoak eta haziak kokatzeko duten modua da. Ekilore bateko hazi berri bakoitza aurrekoarekiko gutxi gorabehera angelu berean biratuta hazten da, 137,5° inguru. Urrezko angelu honek haziak tarterik utzi gabe pilatzen ditu, eta espiralak sortzen ditu; espiral horien kopurua Fibonacciren zenbaki bat izan ohi da.
Adibidea
Urrezko angelua zuzenean φtik dator. Zatitu bira oso bat φ²z, eta 360° : 2,618 ≈ 137,5° lortzen duzu. Beste modu batera esanda, birak zirkunferentzia bi arkutan zatitzen du, 222,5° eta 137,5° ingurukoetan, urrezko proportzioan.
Nottinghameko Unibertsitateko ikertzaileek 2022an egindako berrikuspen batek, The Golden Ratio in Nature izenekoak, eskala oso desberdinetako adibideak biltzen ditu, eta proportzio honen «arlo zientifiko eta artistiko askotan agertzeko joeraz» hitz egiten du. Joera da hitz egokia. Landare askok beste eredu batzuk jarraitzen dituzte; beraz, ez da naturaren lege bat.
Nautilusaren maskorra urrezko espirala al da?
Normalean ez. Nautilusa espiral logaritmiko batean hazten da, handitu ahala forma berari eusten diona, eta hori ederra da berez. Benetako maskorren neurketek φren desberdina den hazkunde-arrazoia ematen dute normalean. Nautilus baten argazkiaren gainean marraztutako urrezko espirala irudi polita da, ez neurketa bat.
Benetan dago urrezko zenbakia artean, eraikinetan eta aurpegietan?
Gehienetan ez. Partenoia, margolan ospetsuak edo aurpegi erakargarriak urrezko zenbakiaren araberakoak direla dioten baieztapenek ez dute eusten kontu handiz neurtzen denean. 2022an The Conversation gunean argitaratutako artikulu batean, Thomas Britz UNSWko matematikariak azaltzen du φ oso gutxitan aurkitzen dela antzinako Greziako artean eta arkitekturan.
Adibidea
Partenoiari buruz zabaldutako ideia da haren fatxada urrezko laukizuzen batean sartzen dela. Britzek idazten du kalkulu zehatzek erakusten dutela hori faltsua dela. Gauza bera gertatzen da ospetsuei puntuazioa ematen dieten «urrezko zenbakiaren aurpegi-testekin». Oinarri duten aurpegi-maskara gezurtatuta dago, eta ez dago aurpegi bat ederra den ala ez erabakitzen duen zenbaki bakar bat.
Mitoak bizirik irauteko arrazoi ohiko bat da egokitzen diren datuak bakarrik aukeratzen direla. Ia edozein eraikinek edo aurpegik badu luzera-pareren bat zeinaren arrazoia 1,6tik hurbil dagoen, batez ere non neurtu aukeratu badezakezu. 3 : 2 = 1,5 edo 16 : 9 ≈ 1,78 bezalako proportzioak ere atseginak dira, eta askoz ohikoagoak pantailetan eta argazkietan. Proba zuzen batek objektu asko aztertzen ditu, eta asmatutakoak ez ezik hutsegiteak ere zenbatzen ditu.
Artistek eta diseinatzaileek nahita erabiltzen al dute urrezko zenbakia?
Batzuek bai. Diseinatzaileek batzuetan 1,618 erabiltzen dute abiapuntu gisa orrien diseinurako, markoetarako edo letra-tamainetarako, ez oso berdina ez oso desorekatua den zatiketa ematen duelako. Diseinu-erabaki bat da, ez proportzioa eder den guztian ezkutatuta dagoenaren froga. Beste edozein proportzio txukunek bezala funtzionatzen du.
Urrezko zenbakia benetako matematika da, ez edertasun-arau bat
Urrezko zenbakia zenbaki zehatz bat da, (1 + √5) : 2 ≈ 1,618, matematikariei irribarrea ateratzen dieten propietateekin. Ber bi egiteak 1 gehitzen dio, 1 hartaz zatitzeak 1 kentzen dio, eta Fibonacciren zenbakiak harengana hurbiltzen dira. Landare askoren hazi-espiralei forma ematen die; aurpegiei eta eraikin ospetsuei buruzko istorio gehienak, berriz, nahi den emaitza lortzeko egindako neurketak dira.
Haur batekin aztertzeko modu ona eskuz egitea da. Zatitu Fibonacciren zenbakiak kalkulagailuarekin, marraztu urrezko laukizuzen bat konpasarekin edo zenbatu pinaburu bateko espiralak. Jarduera bakoitzak benetako eredu bat erakusten du, eta batek ere ez du mitorik behar interesgarria izateko.