Punkt-Steigungs-Form erklärt und wann sie besser ist als y = mx + b

Wie stellt man die Punkt-Steigungs-Form auf?

Setze die Steigung für m ein und die Koordinaten eines Punktes, den du kennst, für x₁ und y₁. x und y bleiben als Buchstaben stehen. Sie stehen für alle anderen Punkte der Geraden. Die Punkt-Steigungs-Form brauchst du, wenn du einen Punkt der Geraden und ihre Steigung kennst.

Beispiel

Stelle die Gerade durch (2|3) mit der Steigung 2 auf.

1. Der Punkt liefert x₁ = 2 und y₁ = 3.
2. Die Steigung liefert m = 2.
3. Einsetzen: y − 3 = 2(x − 2).

Fertig, da gibt es nichts mehr zu vereinfachen. Wenn du sichergehen willst, teste einen zweiten Punkt. Von (2|3) aus einen Schritt nach rechts und zwei nach oben, und du landest bei (3|5). Setz diese Zahlen ein: links 5 − 3 = 2, rechts 2(3 − 2) = 2. Passt.

Wie du siehst, steckt (2|3) direkt in der Gleichung. Beim Zeichnen setzt du den Stift zuerst auf diesen Punkt und arbeitest dich von dort aus weiter.

Wie findet man die Punkt-Steigungs-Form aus zwei Punkten?

Berechne zuerst die Steigung mit m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Nimm dann einen der beiden Punkte und setze ihn zusammen mit dieser Steigung in y − y₁ = m(x − x₁) ein. Welchen Punkt du nimmst, ist egal. Die Gleichungen sehen verschieden aus, beschreiben nach dem Vereinfachen aber dieselbe Gerade.

Beispiel

Bestimme die Gerade durch (1|−2) und (4|7).

1. Steigung: m = (7 − (−2)) : (4 − 1) = 9 : 3 = 3
2. Mit (1|−2): y − (−2) = 3(x − 1), also y + 2 = 3(x − 1)
3. Mit (4|7): y − 7 = 3(x − 4)

Multiplizierst du eine der beiden aus, erhältst du y = 3x − 5. Das ist gut zu wissen, bevor du Hausaufgaben mit den Lösungen vergleichst. Hat ein Schüler (4|7) benutzt und das Lösungsheft (1|−2), stehen da zwei verschiedene Gleichungen, und keine davon ist falsch.

Warum ändert ein negativer Punkt die Vorzeichen?

Die Formel zieht die Koordinaten des Punktes ab. Ist eine Koordinate negativ, ziehst du eine negative Zahl ab, und daraus wird ein Plus. Der Punkt (−4|−1) ergibt also y + 1 und x + 4. Am einfachsten vermeidest du Vorzeichenfehler, wenn du die Klammern erst vollständig hinschreibst und dann vereinfachst.

Beispiel

Stelle die Gerade durch (−4|−1) mit der Steigung 1/2 auf.

1. Mit Klammern: y − (−1) = 1/2(x − (−4))
2. Vereinfacht: y + 1 = 1/2(x + 4)

Das klappt auch rückwärts. Bei y + 5 = −2(x − 6) liegt der Punkt (6|−5) auf der Geraden, nicht (6|5). Welches Vorzeichen du auch in der Gleichung siehst, die Koordinate hat das umgekehrte.

Wie wandelt man die Punkt-Steigungs-Form in y = mx + b um?

Multipliziere die Klammer aus und bring dann die Zahl auf der linken Seite nach rechts, sodass y allein steht. Das Ergebnis ist die Normalform y = mx + b. Die Steigung ändert sich beim Umwandeln nicht, und die Zahl, die am Ende allein übrig bleibt, ist der y-Achsenabschnitt, also die Stelle, an der die Gerade die y-Achse schneidet.

Beispiel

Wandle y − 3 = 2(x − 2) um.

1. Klammer ausmultiplizieren: y − 3 = 2x − 4
2. Auf beiden Seiten 3 addieren: y = 2x − 1

Die Steigung ist immer noch 2, und die Gerade schneidet die y-Achse bei (0|−1). Diesen Punkt siehst du im Graphen oben. Der umgekehrte Weg geht genauso schnell. Nimm y = −3x + 5, wähle x = 1, dann ist y = 2. Der Punkt (1|2) und die Steigung −3 ergeben y − 2 = −3(x − 1).

Welche Form solltest du nehmen?

Nimm die Form, die zu dem passt, was du schon weißt.

• Die Punkt-Steigungs-Form, wenn du einen Punkt und die Steigung hast oder zwei Punkte.
• Die Normalform, wenn du Steigung und y-Achsenabschnitt ablesen oder den Graphen zeichnen willst.
• Die allgemeine Form Ax + By = C, wenn du die Schnittpunkte der Geraden mit beiden Achsen brauchst.

Viele Lehrkräfte wollen das Endergebnis in der Form y = mx + b. Trotzdem kannst du ohne Weiteres mit der Punkt-Steigungs-Form anfangen und am Schluss umwandeln.

Woher kommt die Punkt-Steigungs-Form?

Sie ist einfach die umgestellte Steigungsformel. Nimm einen festen Punkt (x₁|y₁) auf einer Geraden und einen beliebigen anderen Punkt (x|y) auf derselben Geraden. Die Steigung zwischen beiden ist m = (y − y₁) : (x − x₁). Multipliziere beide Seiten mit (x − x₁), und du hast y − y₁ = m(x − x₁).

Beispiel

Bleib bei der Geraden durch (2|3) mit der Steigung 2 und teste den Punkt (5|9). Die Steigung von (2|3) nach (5|9) ist (9 − 3) : (5 − 2) = 6 : 3 = 2. Gleiche Steigung, also liegt (5|9) auf der Geraden. Genau das sagt die Punkt-Steigungs-Form: 9 − 3 = 2(5 − 2).

Das kostenlose Lehrbuch OpenStax Elementary Algebra 2e (auf Englisch) leitet die Formel genauso her. Danach verwendet es sie für Geraden durch zwei Punkte und für parallele und senkrechte Geraden, und genau dort setzt der nächste Abschnitt an.

Wie nutzt man die Punkt-Steigungs-Form für parallele und senkrechte Geraden?

Eine parallele Gerade hat dieselbe Steigung wie die ursprüngliche Gerade. Eine senkrechte Gerade hat den negativen Kehrwert, du drehst also den Bruch um und änderst das Vorzeichen. Aus der Steigung 2 wird −1/2, und aus −3/4 wird 4/3. Mit der neuen Steigung und dem gegebenen Punkt stellst du dann die Punkt-Steigungs-Form auf.

Beispiel

Bestimme die Gerade durch (2|3), die senkrecht zu y = 2x − 1 verläuft.

1. Die ursprüngliche Steigung ist 2, also 2/1.
2. Umdrehen und Vorzeichen ändern: −1/2.
3. Punkt-Steigungs-Form: y − 3 = −1/2(x − 2)
4. Normalform: y = −1/2x + 4

Kurze Probe mit x = 2: −1/2 · 2 + 4 = 3, und das ist der y-Wert unseres Punktes. Für eine Parallele durch (6|0) behältst du die Steigung 2: y − 0 = 2(x − 6), also y = 2x − 12.

Lässt sich jede Gerade in Punkt-Steigungs-Form schreiben?

Fast jede. Die Ausnahme ist eine senkrechte Gerade. Alle ihre Punkte haben denselben x-Wert, der Schritt nach rechts ist also 0, und eine Steigung würde bedeuten, durch null zu teilen. Eine senkrechte Gerade durch (3|1) schreibst du stattdessen als x = 3. Waagerechte Geraden machen überhaupt keine Probleme, denn ihre Steigung ist einfach 0.

Beispiel

Nimm die waagerechte Gerade durch (1|4). In Punkt-Steigungs-Form ist das y − 4 = 0(x − 1). Null mal irgendwas ist null, also schrumpft die Gleichung zu y − 4 = 0, und das ist y = 4.

Wie kannst du die Punkt-Steigungs-Form üben?

Sicher wirst du mit Geraden, wenn du viele davon siehst. Im Spiel zu linearen Funktionen kämpfst du mit Fragen zu Geraden. Eine Runde fragt vielleicht nach der Steigung von (−2|2) nach (0|−6), und mit der richtigen Antwort landet dein Angriff. Hier ist das (−6 − 2) : (0 − (−2)) = −8 : 2 = −4.

Das Umwandeln ist jedes Mal eine kleine Gleichung. Wenn es genau da hakt, helfen ein paar Runden im Gleichungsspiel. Dieselben Handgriffe brauchst du jedes Mal, wenn du eine Formel umstellst.

Der Buchstabe für die Steigung ist übrigens nicht überall gleich. In Deutschland heißt sie m, in Österreich und einigen anderen Ländern k, in Frankreich a. Egal welcher Buchstabe, die Zahl vor der Klammer ist die Steigung, und die Zahlen in den Klammern stammen von einem Punkt der Geraden.

Ein Punkt und eine Steigung legen die Gerade fest

Ein einziger Punkt und eine Steigung legen eine Gerade vollständig fest, und die Punkt-Steigungs-Form schreibt genau das auf. Setze sorgfältig ein, lass die Klammern stehen, bis die Vorzeichen geklärt sind, und prüfe das Ergebnis mit einem zweiten Punkt. Danach sind es nur noch zwei kurze Schritte bis y = mx + b.