Dezimalzahl in Bruch umwandeln (auch periodische Dezimalzahlen)

Jede Dezimalzahl, die endet, und jede Dezimalzahl, die sich unendlich wiederholt, lässt sich als Bruch schreiben. Eine Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln dauert bei den meisten Zahlen drei kurze Schritte, plus einen zusätzlichen Trick für periodische Dezimalzahlen wie 0,333…. Unten findest du beide Methoden, eine Liste der Dezimalzahlen, die man auswendig kennen sollte, und die Fehler, über die man am häufigsten stolpert.

Wie wandelt man eine Dezimalzahl in einen Bruch um?

Um eine Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, schreibst du die Ziffern nach dem Komma über 10, 100 oder 1000, je nachdem, wie viele Nachkommastellen es gibt. Eine Nachkommastelle kommt über 10, zwei über 100, drei über 1000. Dann kürzt du den Bruch, indem du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilst.

Beispiel

Wandle 0,75 in einen Bruch um.

1. Zähle die Nachkommastellen. 0,75 hat zwei, also ist der Nenner 100.
2. Schreib die Ziffern darüber. 0,75 = 75/100.
3. Kürze. 75 und 100 lassen sich beide durch 25 teilen, das ergibt 3/4.

Also ist 0,75 = 3/4. Zur schnellen Kontrolle teilst du 3 durch 4, auf Papier oder mit dem Taschenrechner. Du bekommst wieder 0,75.

Was ist 2,5 als Bruch?

2,5 hat eine Nachkommastelle, also wird daraus 25/10. Beide Zahlen lassen sich durch 5 teilen, das ergibt 5/2. Du kannst die ganze Zahl auch getrennt behalten. Die 2 bleibt, wie sie ist, und aus 0,5 wird 5/10, gekürzt 1/2. Also ist 2,5 = 5/2 = 2 1/2.

Was ist 0,125 als Bruch?

0,125 hat drei Nachkommastellen, also wird daraus 125/1000. Beide Zahlen lassen sich durch 125 teilen, das ergibt 1/8. Diesen Wert solltest du dir merken, denn Achtel kommen oft in Rezepten, bei Maßangaben und in Schulaufgaben vor.

Soll das Ergebnis eine gemischte Zahl oder ein unechter Bruch sein?

Beides ist richtig. 1,25 kann man als 5/4 schreiben (ein unechter Bruch, bei dem der Zähler größer ist als der Nenner) oder als 1 1/4 (eine gemischte Zahl, mit einem ganzen Teil und einem Bruch). Lehrkräfte an manchen Orten bevorzugen eine der beiden Formen, also schau nach, was die Aufgabe verlangt. Zum Umrechnen: 5/4 bedeutet vier Viertel (ein Ganzes) plus ein weiteres Viertel.

Wie kürzt man den Bruch?

Um einen Bruch zu kürzen, teilst du Zähler und Nenner durch die größte Zahl, die in beide passt. Sie heißt größter gemeinsamer Teiler (ggT). Wenn du ihn nicht sofort siehst, teile immer wieder durch kleine Zahlen wie 2, 5 oder 10, bis keine Zahl mehr beide teilt. Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn die einzige Zahl, die beide teilt, die 1 ist.

Beispiel

Wandle 0,36 um. Die Zahl hat zwei Nachkommastellen, also beginnst du mit 36/100. Beide Zahlen lassen sich durch 4 teilen, das ergibt 9/25. Jetzt haben 9 und 25 außer 1 keinen gemeinsamen Teiler mehr, also ist 9/25 vollständig gekürzt.

Du könntest auch in kleineren Schritten vorgehen. 36/100 durch 2 gekürzt ist 18/50, noch einmal durch 2 gekürzt ist 9/25. Du landest am selben Ziel. Den größten gemeinsamen Teiler schnell zu finden ist eine eigene Fähigkeit, und das ggT-Spiel macht daraus eine schnelle Herausforderung. Es ist ein gutes Aufwärmen vor längeren Aufgaben mit Brüchen.

Welche Dezimalzahlen sollte man auswendig kennen?

Eine kleine Gruppe von Dezimalzahlen taucht immer wieder auf, und wer ihre Brüche kennt, spart Zeit. Dazu gehören Halbe, Viertel, Fünftel und Achtel sowie die periodischen Dezimalzahlen für Drittel. Wenn du diese auswendig kennst, kannst du eine Dezimalzahl oft im Kopf umwandeln, ohne etwas aufzuschreiben.

• 0,1 = 1/10
• 0,2 = 1/5
• 0,25 = 1/4
• 0,4 = 2/5
• 0,5 = 1/2
• 0,6 = 3/5
• 0,75 = 3/4
• 0,8 = 4/5
• 0,125 = 1/8
• 0,375 = 3/8
• 0,625 = 5/8
• 0,875 = 7/8
• 0,333… = 1/3
• 0,666… = 2/3
• 0,1666… = 1/6
• 0,111… = 1/9

Beispiel

Was ist 0,625? Wenn du weißt, dass 0,125 = 1/8 ist, dann ist 0,625 fünfmal so viel, also 5/8. Mit bekannten Werten wie diesem kannst du dir neue herleiten. Zwischen den beiden Formen hin und her zu wechseln geht mit regelmäßiger Übung viel schneller, und kurze Runden im Dezimalzahlen-Spiel oder im Bruchrechnen-Spiel sind ein spielerischer Weg, dieses Tempo aufzubauen. Schon ein paar Minuten am Tag machen dir die Liste oben vertraut.

Wie wandelt man eine periodische Dezimalzahl in einen Bruch um?

Bei einer Dezimalzahl, bei der sich dieselben Ziffern direkt nach dem Komma wiederholen, schreibst du den sich wiederholenden Teil über genauso viele Neunen. Eine sich wiederholende Ziffer kommt über 9, zwei über 99, drei über 999. Dann kürzt du. Also ist 0,777… = 7/9, und 0,272727… = 27/99, gekürzt 3/11.

Beispiel

Wandle 0,454545… in einen Bruch um. Der sich wiederholende Teil ist 45, er hat zwei Ziffern, also kommt er über 99. Das ergibt 45/99. Beide Zahlen lassen sich durch 9 teilen, also ist das Ergebnis 5/11. Du kannst es prüfen, indem du 5 durch 11 teilst, das ergibt wieder 0,454545….

Wenn die Wiederholung erst später beginnt, wie bei 0,1666…, braucht die Neunerregel einen zusätzlichen Schritt. Eine Methode, die immer funktioniert, verwendet ein bisschen Algebra:

1. Nenne die Zahl x. Also x = 0,1666…
2. Multipliziere mit 10, um die nicht periodische Ziffer vor das Komma zu holen. 10x = 1,666…
3. Multipliziere mit 100, um auch eine ganze Wiederholung davor zu holen. 100x = 16,666…
4. Subtrahiere die zweite Zeile von der dritten. Die sich wiederholenden Teile heben sich auf. 90x = 15.
5. Teile. x = 15/90, gekürzt 1/6.

Ist 0,333 dasselbe wie 1/3?

Nein. 0,333 mit genau drei Ziffern ist 333/1000, und das ist ein winziges bisschen weniger als 1/3. Nur 0,333…, bei dem die 3en unendlich weitergehen, ist genau 1/3. Wenn du eine periodische Dezimalzahl schreibst, zeig mit drei Punkten oder einem Strich über den sich wiederholenden Ziffern, dass sie sich wiederholt. Sonst ist es eine andere Zahl.

Warum ist 0,999… gleich 1?

Das überrascht viele Menschen. Fang mit 1/3 = 0,333… an. Multipliziere beide Seiten mit 3. Links bekommst du 3/3, also 1. Rechts bekommst du 0,999…. Also ist 0,999… = 1. Die Neunerregel bestätigt das, denn 0,999… = 9/9 = 1. Es ist keine Zahl knapp unter 1, sondern eine andere Schreibweise für 1.

Welche Fehler macht man beim Umwandeln von Dezimalzahlen in Brüche?

Die häufigsten Fehler sind eine falsche Anzahl von Nullen im Nenner, das Kürzen zu vergessen, den ganzzahligen Teil zu verlieren und eine abgeschnittene Dezimalzahl so zu behandeln, als wäre sie periodisch. Jeden davon erkennst du leicht, wenn du dein Ergebnis prüfst, indem du den Zähler durch den Nenner teilst.

Beispiel

Ein Lernender wandelt 0,05 um und schreibt 5/10. Das ist 0,5, also zehnmal zu groß. 0,05 hat zwei Nachkommastellen, also kommt die Zahl über 100. Das richtige Ergebnis ist 5/100, gekürzt 1/20.

Achte auf diese Fehler:

1. Die falsche Zehnerpotenz. Zähle jede Ziffer nach dem Komma, auch die Nullen. 0,05 hat zwei Stellen, nicht eine.
2. Nicht kürzen. 75/100 ist richtig, aber nicht fertig. Erwartet wird 3/4.
3. Die ganze Zahl weglassen. 3,2 ist 3 2/10, gekürzt 3 1/5, oder 16/5. Es ist nicht 2/10.
4. Eine periodische Dezimalzahl abschneiden. 0,66 ist 66/100 = 33/50, während 0,666… gleich 2/3 ist.

Welche Brüche werden zu periodischen Dezimalzahlen?

Ein vollständig gekürzter Bruch ergibt eine endliche Dezimalzahl, wenn der Nenner keine anderen Primfaktoren als 2 und 5 hat. Hat der Nenner einen anderen Primfaktor, etwa 3, 7 oder 11, wiederholt sich die Dezimalzahl unendlich. So weißt du schnell, was dich erwartet, bevor du teilst.

Beispiel

Schau dir 3/8 an. Der Nenner 8 ist 2 · 2 · 2, also endet die Dezimalzahl. 3/8 = 0,375. Schau dir jetzt 1/6 an. Der Nenner 6 ist 2 · 3, und die 3 bedeutet, dass sich die Dezimalzahl wiederholt. 1/6 = 0,1666…. Genauso ist 1/7 = 0,142857142857…, wobei sich die sechs Ziffern unendlich wiederholen, weil 7 eine Primzahl ist, die weder 2 noch 5 ist.

Diese Regel erklärt auch, warum die beiden Methoden oben jeden Fall abdecken. Endliche Dezimalzahlen kommen von Brüchen, die nur 2en und 5en im Nenner haben, und periodische Dezimalzahlen kommen von allen anderen. So oder so ist eine Dezimalzahl, die endet oder sich wiederholt, ein Bruch in anderer Form.