Enhedscirklen er en cirkel med radius 1, tegnet omkring punktet (0, 0). Den ligner endnu et skema, der skal læres udenad, men i virkeligheden er den én enkelt idé. Når du først ser den idé, kan du genskabe alle værdier på cirklen på få sekunder, uden at lære en lang liste med tal udenad.
Hvad er enhedscirklen?
Enhedscirklen er en cirkel med en radius på præcis 1 og centrum i origo (0, 0). Hver vinkel, målt mod uret fra den positive x-akse, lander i ét punkt på cirklen. Det punkt har altid koordinaterne (cos θ, sin θ). Førstekoordinaten er altså vinklens cosinus, og andenkoordinaten er dens sinus.
Eksempel
Tag en vinkel på 30°. Tegn en linje fra centrum, 30° over x-aksen, indtil den rammer cirklen. Punktet, hvor den lander, er (√3/2, 1/2), som er cirka (0,866; 0,5). Det fortæller dig to ting på én gang. Cosinus til 30° er √3/2, og sinus til 30° er 1/2.
Alle punkter på cirklen passer også i ligningen x² + y² = 1. Prøv det med punktet for 30°. (√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1. Denne ligning er Pythagoras' sætning i forklædning, fordi radius er den lange side i en retvinklet trekant med siderne x og y.
Hvorfor er cosinus førstekoordinaten og sinus andenkoordinaten?
Mange elever kender forholdene for sinus, cosinus og tangens, men kan ikke se, hvor cirklen kommer ind. Tegn en retvinklet trekant inde i cirklen, med radius som den længste side (hypotenusen). Den nederste side ligger langs x-aksen, og den lodrette side går op til punktet på cirklen.
Cosinus er den hosliggende katete divideret med hypotenusen. På enhedscirklen er hypotenusen 1, så cosinus er simpelthen længden af den nederste side, altså førstekoordinaten. På samme måde er sinus den modstående katete divideret med 1, altså højden eller andenkoordinaten. Cirklen fjerner bare divisionen.
Hvorfor bruger enhedscirklen radianer?
Enhedscirklen bruger radianer, fordi vinklen i radianer, når radius er 1, præcis er længden af den bue, du bevæger dig rundt på cirklen. En hel omgang er 360°, og hele cirklens omkreds er 2π. Så 360° svarer til 2π radianer, og 180° svarer til π radianer.
Eksempel
For at omregne grader til radianer ganger du med π og dividerer med 180. For 60° giver det 60 · π / 180 = π/3. For at gå tilbage ganger du med 180 og dividerer med π. Så π/4 radianer er 180 / 4 = 45°.
Vinkler som π/8 forvirrer ofte elever, fordi de ikke står i den almindelige oversigt. Tricket er at tænke i brøkdele af en halv omgang. π er en halv omgang, π/4 er en fjerdedel af den halve omgang (45°), og π/8 er halvdelen af π/4, altså 22,5°. Du placerer den midt mellem 0 og punktet for 45°.
Radianer får også betydning senere. I differentialregning virker reglerne for sinus og cosinus kun så pænt, når vinklerne er i radianer. Derfor skifter lærere til radianer, så snart enhedscirklen dukker op.
Hvordan husker man enhedscirklen uden at lære den udenad?
Du har kun brug for værdierne for 0°, 30°, 45°, 60° og 90°. Alt andet på cirklen er et spejlbillede af disse fem. Nedenfor er tre måder at genskabe dem på, og ingen af dem afhænger af en remse på et bestemt sprog. Vælg den, der føles mest naturlig.
Genskab den ud fra to trekanter
Skær et kvadrat over langs diagonalen, og du får en retvinklet trekant med to vinkler på 45°, så de to korte sider er lige lange. Gør den lange side til 1, ligesom radius. De to korte sider skal så passe i x² + y² = 1, og med x = y betyder det, at hver af dem er √2/2. Punktet for 45° er altså (√2/2, √2/2).
Tegn nu en ligesidet trekant med sider på 2, og skær den over på midten. Du får en trekant med vinkler på 30°, 60° og 90° og siderne 1, √3 og 2. Divider alle sider med 2, så den lange side bliver 1. Siderne er nu 1/2, √3/2 og 1, og det giver dig punkterne for 30° og 60°.
Brug kvadratrodsmønsteret
Skriv tallene 0, 1, 2, 3, 4 under vinklerne 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Tag kvadratroden af hvert tal, og divider med 2. Den række giver dig sinus til hver vinkel. Læs den samme række baglæns for cosinus.
- Sinus for 0°, 30°, 45°, 60°, 90°: √0/2 = 0, √1/2 = 1/2, √2/2, √3/2, √4/2 = 1
- Cosinus for de samme vinkler: √4/2 = 1, √3/2, √2/2, √1/2 = 1/2, √0/2 = 0
Tæl den på hånden
Hold venstre hånd op med håndfladen ind mod dig. Tommelfingeren står for 90°, pegefingeren for 60°, langfingeren for 45°, ringfingeren for 30° og lillefingeren for 0°. For at finde værdierne for en vinkel bøjer du dens finger ned.
Tæl fingrene på lillefingersiden af den bøjede finger, tag kvadratroden af det tal, og divider med 2. Det giver sinus. Fingrene på tommelfingersiden giver cosinus på samme måde.
For 30° bøjer du ringfingeren. Der er én finger (lillefingeren) på dens lillefingerside, så sinus er √1/2 = 1/2. Der er tre fingre på dens tommelfingerside, så cosinus er √3/2.
Alle metoderne giver de samme fem punkter. Et par runder i trigonometrispillet viser hurtigt, om du kan huske værdierne for sinus og cosinus under lidt tidspres. Kort og hyppig øvelse som denne får værdierne til at sidde langt bedre fast end én lang omgang.
Skal man lære hele enhedscirklen udenad?
Nej. Du har brug for første kvadrant (0° til 90°) og en sikker måde at spejle den på. Elever, der lærer hele oversigten udenad til en prøve, glemmer den ofte nogle uger senere. Elever, der forstår trekanterne og spejlingerne, kan genskabe den når som helst, og det er netop det, senere emner som differentialregning kræver.
Hvordan skifter fortegnene i hver kvadrant?
Cirklen har fire kvadranter. I hver af dem svarer koordinaternes størrelse til en vinkel i første kvadrant, og kun fortegnene skifter. I første kvadrant er x og y begge positive. I anden er x negativ. I tredje er begge negative. I fjerde er y negativ.
Eksempel
Find punktet for 150°. Det ligger i anden kvadrant, 30° fra 180°. Det er altså spejlbilledet af punktet for 30° i y-aksen. Punktet for 30° er (√3/2, 1/2). Spejlingen gør førstekoordinaten negativ, så punktet for 150° er (−√3/2, 1/2).
- Første kvadrant (0° til 90°): x er positiv, y er positiv
- Anden kvadrant (90° til 180°): x er negativ, y er positiv
- Tredje kvadrant (180° til 270°): x er negativ, y er negativ
- Fjerde kvadrant (270° til 360°): x er positiv, y er negativ
En hurtig kontrol er at forestille sig punktet i et almindeligt koordinatsystem. Til venstre for y-aksen betyder, at x er negativ, og under x-aksen betyder, at y er negativ. Du behøver ikke lære listen udenad, hvis du kan se for dig, hvor punktet ligger.
Hvad er tangens på enhedscirklen?
Tangens til en vinkel er andenkoordinaten divideret med førstekoordinaten, så tan θ = sin θ / cos θ. For 60° er det (√3/2) : (1/2) = √3, cirka 1,732. Ved 90° og 270° er førstekoordinaten 0, og man kan ikke dividere med 0, så tangens er ikke defineret ved de vinkler.
Hvad bruges enhedscirklen til?
Enhedscirklen er grunden til, at sinus og cosinus virker for alle vinkler og ikke kun for vinklerne i en retvinklet trekant. Det gør den til grundlaget for alt, der gentager sig eller drejer rundt. Lydbølger, lysbølger, vekselstrøm, et penduls bevægelse og viserne på et ur beskrives alle med sinus og cosinus.
Eksempel
Forestil dig et punkt, der bevæger sig rundt på cirklen med konstant fart. Dets højde går op til 1, ned til −1 og tilbage igen i en jævn bølge. Tegn højden som funktion af tiden, og du får grafen for sinusfunktionen. Ingeniører bruger netop denne idé til at beskrive svingninger, og udviklere af spil og animationer bruger den til at dreje objekter på skærmen.
Én kvadrant og to trekanter giver dig hele cirklen
Her er de vigtigste vinkler med deres koordinater. Brug listen som opslag, men prøv at genskabe hver linje med trekanterne eller håndtricket, før du kigger.
- 0° (0): (1, 0), tan θ = 0
- 30° (π/6): (√3/2, 1/2), tan θ = √3/3
- 45° (π/4): (√2/2, √2/2), tan θ = 1
- 60° (π/3): (1/2, √3/2), tan θ = √3
- 90° (π/2): (0, 1), tan θ = ikke defineret
- 120° (2π/3): (−1/2, √3/2), tan θ = −√3
- 135° (3π/4): (−√2/2, √2/2), tan θ = −1
- 150° (5π/6): (−√3/2, 1/2), tan θ = −√3/3
- 180° (π): (−1, 0), tan θ = 0
- 210° (7π/6): (−√3/2, −1/2), tan θ = √3/3
- 225° (5π/4): (−√2/2, −√2/2), tan θ = 1
- 240° (4π/3): (−1/2, −√3/2), tan θ = √3
- 270° (3π/2): (0, −1), tan θ = ikke defineret
- 300° (5π/3): (1/2, −√3/2), tan θ = −√3
- 315° (7π/4): (√2/2, −√2/2), tan θ = −1
- 330° (11π/6): (√3/2, −1/2), tan θ = −√3/3
Hvis en linje føles svær, så gå tilbage til første kvadrant, find den tilsvarende vinkel, og bestem fortegnene ud fra kvadranten. Den ene vane erstatter hele listen.
Træn disse herefter