Er 1 et primtal? Hvad primtal er, og hvordan du hurtigt genkender dem

Hvad er et primtal?

Er 1 et primtal? Nej. Et primtal er et helt tal med præcis to forskellige divisorer: 1 og tallet selv. For eksempel er 7 et primtal, fordi kun 1 og 7 går op i det. Tallet 1 har kun én divisor, så det opfylder ikke reglen. Det er heller ikke et sammensat tal. Derfor står 1 i en gruppe helt for sig selv.

Er 1 et primtal?

Nej, 1 er ikke et primtal. Et primtal skal have præcis to forskellige divisorer, og 1 har kun én. Det er heller ikke sammensat, for sammensatte tal har mere end to divisorer. Derfor regner matematikere 1 for hverken primtal eller sammensat tal. Det mindste primtal er 2, med divisorerne 1 og 2.

Eksempel

Her er divisorerne for tallene 1 til 6.

• 1 har én divisor (1), så det er hverken primtal eller sammensat.
• 2 har to divisorer (1 og 2), så det er et primtal.
• 3 har to divisorer (1 og 3), så det er et primtal.
• 4 har tre divisorer (1, 2 og 4), så det er sammensat.
• 5 har to divisorer (1 og 5), så det er et primtal.
• 6 har fire divisorer (1, 2, 3 og 6), så det er sammensat.

Kun 1 har en enkelt divisor. Ethvert primtal har præcis to, og ethvert sammensat tal har tre eller flere.

Se det med prikker

Prøv det med prikker på papir eller med små ting som knapper. Seks prikker kan du lægge som et rektangel med 2 rækker á 3, så 6 er sammensat. Syv prikker kan kun blive til én række med 7, uanset hvordan du prøver, så 7 er et primtal. Med én prik er der slet ikke noget at arrangere. Det viser på en anden måde, at 1 opfører sig anderledes.

Hvorfor så mange tror, at 1 er et primtal

Mange af os har lært, at et primtal er et tal, der "kun er deleligt med 1 og sig selv". Efter den formulering ser 1 ud til at passe. Fælden er, at 1 og "sig selv" her er det samme tal. Det giver én divisor, ikke to. Derfor siger omhyggelige definitioner præcis to forskellige divisorer. Eller de siger "et helt tal større end 1", der kun er deleligt med 1 og sig selv.

Du kan også læse på nettet, at 1 "plejede at være et primtal". Den virkelige historie er mere blandet. Matematikerne i det antikke Grækenland regnede slet ikke 1 for et tal, og senere matematikere var uenige om det. Som Scientific American forklarer i sin gennemgang af spørgsmålets historie, regnede den britiske matematiker G. H. Hardy stadig 1 med som primtal i de tidlige udgaver af sin lærebog og ændrede det i 1938. I dag er matematikere enige om, at 1 ikke er et primtal.

Voksne, der har haft matematik i mange år, tøver også nogle gange her. Hvis dit barn kaldte 1 et primtal og fik svaret markeret som forkert, var tankegangen ikke dum. Den regel, barnet huskede, manglede bare en lille detalje.

Er 2 et primtal?

Ja. Tallet 2 er det mindste primtal og det eneste lige primtal. Alle andre lige tal kan deles med 2, og så har de mindst tre divisorer (1, 2 og tallet selv). Efter 2 er alle primtal altså ulige, selv om mange ulige tal er sammensatte.

Er 0 et primtal?

Nej. Nul er hverken et primtal eller et sammensat tal. Alle hele tal undtagen 0 går op i 0, så 0 har langt flere end to divisorer. Primtal og sammensat tal bruges kun om hele tal større end 1. Derfor ligger både 0 og 1 uden for de to grupper.

Hvordan ser du hurtigt, om et tal er et primtal?

Del kun tallet med små primtal, og begynd med 2, 3, 5 og 7. Du kan stoppe, så snart det primtal, du tester, ganget med sig selv er større end dit tal. Hvis ingen af de primtal går op i tallet, er det et primtal. For ethvert tal under 100 er det nok at teste 2, 3, 5 og 7.

Eksempel

Er 91 et primtal?

1. Det er ulige, så 2 går ikke op i det.
2. Tværsummen er 9 + 1 = 10. Det er ikke et multiplum af 3, så 3 går ikke op i det.
3. Det ender ikke på 0 eller 5, så 5 går ikke op i det.
4. Prøv 7. Da 7 × 13 = 91, er 91 ikke et primtal.

Er 97 et primtal? Det er ulige, tværsummen er 16, og det ender ikke på 0 eller 5. Division giver 97 ÷ 7 = 13 med rest 6. Det næste primtal er 11, og 11 × 11 = 121 er allerede større end 97. Der kan du stoppe, så 97 er et primtal.

Hvorfor du kan stoppe tidligt

Divisorer kommer i par. For 36 er parrene 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9 og 6 × 6. I hvert par er den ene divisor 6 eller mindre, fordi 6 × 6 = 36. Så hvis du ikke finder nogen divisor op til det punkt, er der heller ingen efter det.

De hurtige filtre

• Hvis et tal ender på 0, 2, 4, 6 eller 8, er det deleligt med 2. Kun 2 selv er et primtal.
• Hvis tværsummen er et multiplum af 3, er tallet deleligt med 3. Kun 3 selv er et primtal.
• Hvis et tal ender på 0 eller 5, er det deleligt med 5. Kun 5 selv er et primtal.
• Med 7 dividerer du bare.

Fart kommer af at se mange tal. Når filtrene føles velkendte, gør et par runder med at finde primtal mod uret i Math Max dem til en vane, fordi hvert rigtigt svar er et angreb på den anden kæmper. Det kører gratis i browseren, så der er intet at installere.

Hvilke tal ligner primtal, men er det ikke?

De klassiske fældetal er 51, 57 og 91. De er ulige, de ender ikke på 5, og de føles som primtal. Men 51 = 3 × 17, 57 = 3 × 19 og 91 = 7 × 13. De fleste fældetal bliver fanget af tværsumsreglen for 3 eller af en hurtig division med 7.

Eksempel

• 39 = 3 × 13. Tværsummen er 12, et multiplum af 3.
• 51 = 3 × 17. Tværsummen er 6, et multiplum af 3.
• 57 = 3 × 19. Tværsummen er 12, et multiplum af 3.
• 87 = 3 × 29. Tværsummen er 15, et multiplum af 3.
• 91 = 7 × 13. Division med 7 afslører det.
• 119 = 7 × 17. Division med 7 afslører det.
• 133 = 7 × 19. Division med 7 afslører det.

Selv eksperter går i fælden

Tallet 57 kaldes i spøg for Grothendieck-primtallet. Navnet kommer fra en historie om, at den berømte matematiker Alexander Grothendieck engang brugte det som eksempel på et primtal.

Da matematikbloggen The Aperiodical analyserede resultaterne fra et onlinespil kaldet "Is this prime?" ("Er det et primtal?"), blev 51 forvekslet med et primtal endnu oftere end 57. Mange spillere kaldte også 39 et primtal. Det primtal, der oftest fejlagtigt blev kaldt sammensat, var 59. Fejlene går altså begge veje.

To falske tommelfingerregler står bag de fleste af disse fejl. Den ene er "ulige tal er primtal", og det modbeviser 9, 15 og 21. Den anden er "tal, der ender på 1, 3, 7 eller 9, er primtal". Men de slutcifre udelukker kun 2 og 5 som divisorer.

Primtal op til 100

Er du i tvivl, så tjek listen. Der er 25 primtal under 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 og 97.

Listen slutter aldrig, fordi den oldgræske matematiker Euklid beviste, at der findes uendeligt mange primtal.

To forskellige divisorer er hele reglen

Et primtal skal have præcis to forskellige divisorer, og 1 har kun én, så 1 er ikke et primtal. Den samme regel forklarer, hvorfor 2 er et primtal, og hvorfor 0 ikke er. Vil du hurtigt tjekke et tal, så test små primtal, stop ved kvadratroden og hold øje med fælder som 51 og 91.