El teorema de Pitàgores permet trobar el costat que falta d'un triangle rectangle quan coneixes els altres dos. És una fórmula curta, a² + b² = c², però els alumnes sovint s'encallen a l'hora de saber quin costat és quin i quan han de sumar o restar. Aquesta guia repassa els dos casos amb exemples, els errors que cal vigilar i on apareix el teorema a la vida quotidiana.
Què és el teorema de Pitàgores?
El teorema de Pitàgores diu que, en un triangle rectangle, el quadrat del costat més llarg és igual a la suma dels quadrats dels dos costats més curts. Escrit com a fórmula, a² + b² = c². Aquí a i b són els dos costats més curts, anomenats catets, i c és el costat més llarg, anomenat hipotenusa.
Exemple
Pren un triangle rectangle amb catets de 3 cm i 4 cm. Eleva tots dos catets al quadrat. 3² = 9 i 4² = 16. Suma'ls i obtens 25. Ara pregunta't quin nombre al quadrat dona 25. La resposta és 5, així que la hipotenusa fa 5 cm. Ho pots comprovar al revés, perquè 5² = 25 = 9 + 16.
Per què funciona?
Imagina un quadrat dibuixat sobre cada costat del triangle. El teorema diu que l'àrea del quadrat gran sobre la hipotenusa és igual a la dels dos quadrats petits junts. Per al triangle 3, 4, 5, això és 25 = 9 + 16.
Una manera de veure per què és una demostració gràfica clàssica. Agafa quatre còpies del mateix triangle rectangle i col·loca-les dins d'un quadrat gran, de manera que al mig quedi un quadrat inclinat.
Aquest quadrat del mig té costat c, així que la seva àrea és c². Ara reorganitza els mateixos quatre triangles dins del mateix quadrat gran d'una altra manera. L'espai buit es converteix en dos quadrats, un de costat a i un de costat b. El quadrat gran i els quatre triangles no han canviat, així que l'espai buit tampoc. Això vol dir que c² = a² + b².
Com es troba la hipotenusa?
Per trobar la hipotenusa, eleva al quadrat els dos costats més curts, suma els resultats i fes l'arrel quadrada del total. En forma de fórmula, c = √(a² + b²). El resultat sempre és més llarg que qualsevol dels dos costats curts, cosa que és una manera ràpida de comprovar que no t'has equivocat.
Exemple
Un triangle rectangle té catets de 6 m i 8 m.
- Eleva cada catet al quadrat. 6² = 36 i 8² = 64.
- Suma'ls. 36 + 64 = 100.
- Fes l'arrel quadrada. √100 = 10.
La hipotenusa fa 10 m. No tots els resultats surten nombres enters. Amb catets de 5 i 7, obtens 25 + 49 = 74, i √74 és aproximadament 8,60. Si les arrels quadrades se't fan lentes, unes quantes rondes del joc d'arrels quadrades t'ajuden a reconèixer ràpidament els quadrats perfectes. Reconèixer el 36, el 64 i el 100 d'un cop d'ull fa més ràpid cada pas d'aquí dalt.
Com saps quin costat és la hipotenusa?
La hipotenusa sempre és el costat oposat a l'angle recte, i sempre és el costat més llarg. Molts alumnes es confonen quan el triangle està girat o dibuixat cap per avall. Busca primer el quadradet que marca l'angle recte. El costat que no toca aquella cantonada és la hipotenusa, sigui on sigui de la pàgina.
Com es troba un catet que falta?
Per trobar un catet que falta, eleva al quadrat la hipotenusa, eleva al quadrat el costat que coneixes i resta el quadrat petit del gran. Després fes l'arrel quadrada. En forma de fórmula, a = √(c² − b²). Aquí restes perquè la hipotenusa és el costat més gran, així que el seu quadrat és el total del qual parteixes.
Exemple
Un triangle rectangle té una hipotenusa de 13 cm i un catet de 5 cm.
- Eleva la hipotenusa al quadrat. 13² = 169.
- Eleva el catet conegut al quadrat. 5² = 25.
- Resta. 169 − 25 = 144.
- Fes l'arrel quadrada. √144 = 12.
El costat que falta fa 12 cm. Comprova que tingui sentit. 12 és més curt que 13, com ha de ser un catet. I 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13², així que el triangle compleix el teorema.
Els dos casos segueixen una regla senzilla. Si busques el costat més llarg, suma. Si busques un costat més curt, resta. Quan aquesta regla et surti de manera natural, el joc de geometria és un lloc divertit per posar en pràctica problemes de triangles. Demana respostes ràpides, cosa que ajuda que els passos es tornin automàtics.
Quins errors es fan amb el teorema de Pitàgores?
Els errors més habituals són fer servir el teorema en un triangle sense angle recte, sumar quan s'hauria de restar, oblidar l'arrel quadrada del final i triar un costat equivocat com a hipotenusa. Cadascun és fàcil d'evitar quan saps que l'has de vigilar.
Exemple
Un alumne té una hipotenusa de 10 i un catet de 6, i escriu 10² + 6² = 136, i després √136 ≈ 11,66. Aquest resultat és més llarg que la hipotenusa, cosa impossible per a un catet. El pas correcte és 100 − 36 = 64, i √64 = 8.
Aquests són els errors que cal vigilar:
- Fer-lo servir en qualsevol triangle. El teorema només funciona quan un dels angles fa exactament 90°.
- Anomenar sempre c el costat desconegut. Només la hipotenusa és c. Si el costat desconegut és un catet, has de restar.
- Aturar-se abans de l'arrel quadrada. 6² + 8² = 100 dona c², no c. El costat és √100 = 10.
- Pensar que √(a² + b²) és el mateix que a + b. Amb 3 i 4, √(9 + 16) = 5, mentre que 3 + 4 = 7.
- Arrodonir massa aviat. En problemes de diversos passos, conserva el valor exacte fins al final i arrodoneix només el resultat final.
El teorema de Pitàgores funciona per a tots els triangles?
No. El teorema de Pitàgores només funciona per als triangles rectangles, que tenen un angle d'exactament 90°. També funciona a la inversa. Si els tres costats d'un triangle compleixen a² + b² = c², el triangle ha de tenir un angle recte. Aquesta versió inversa és una manera fiable de comprovar si una cantonada fa escaire.
Exemple
Un triangle de costats 5, 12 i 13 és un triangle rectangle? Eleva al quadrat els dos costats més curts i suma'ls. 25 + 144 = 169. Eleva al quadrat el costat més llarg. 13² = 169. Coincideixen, així que sí.
I uns costats de 6, 7 i 9? 36 + 49 = 85, però 9² = 81. No coincideixen, així que el triangle no té cap angle recte. Com que 85 és més gran que 81, tots els seus angles són més petits de 90°.
Els paletes fan servir la mateixa idea. Per comprovar que una cantonada fa escaire, mesuren 3 unitats al llarg d'una paret i 4 unitats al llarg de l'altra. Si la distància entre aquestes dues marques és exactament de 5 unitats, la cantonada és un angle recte. Serveix qualsevol unitat, com metres o passos de 30 cm, sempre que les tres mesures facin servir la mateixa.
Què és una terna pitagòrica?
Una terna pitagòrica és un conjunt de tres nombres enters que compleixen exactament a² + b² = c². La més coneguda és 3, 4, 5. Altres són 5, 12, 13, i també 8, 15, 17 i 7, 24, 25. Si multipliques tots els nombres d'una terna pel mateix nombre, obtens una altra terna, com 6, 8, 10.
Exemple
Comprova 8, 15, 17. 8² = 64 i 15² = 225. Junts fan 289. I 17² = 289. Compleix. Doblar 3, 4, 5 dona 6, 8, 10, i triplicar-ho dona 9, 12, 15. Totes dues també compleixen. Saber-te unes quantes ternes de memòria et permet veure els resultats a l'instant en molts exercicis.
El resultat és exacte o només aproximat?
El resultat del teorema de Pitàgores és exacte, però no sempre és un nombre enter. Un triangle rectangle amb els dos catets d'1 té una hipotenusa d'exactament √2. Com a decimal, √2 no s'acaba mai, així que 1,414 només és una aproximació. Per això molts professors demanen que deixis el resultat com a √2.
Exemple
Comprova la versió decimal. 1,414² = 1,999396, que s'acosta a 2 però no hi és igual. El valor √2 és la longitud exacta. Escriu √2 quan la pregunta demani un resultat exacte, i arrodoneix només quan demani un decimal, per exemple amb dues xifres decimals (1,41).
On es fa servir el teorema de Pitàgores a la vida real?
El teorema de Pitàgores es fa servir sempre que algú necessita una distància que no pot mesurar directament. Els paletes el fan servir per comprovar que les cantonades fan escaire, la gent el fa servir per col·locar una escala amb seguretat, les mides de les pantalles es calculen amb ell i, en un mapa, dona la distància en línia recta entre dos punts.
Exemple
Una escala fa 4 m de llarg i el seu peu és a 1 m d'una paret. Fins a quina altura de la paret arriba? L'escala és la hipotenusa, així que has de restar. 4² − 1² = 16 − 1 = 15, i √15 és aproximadament 3,87 m.
Uns quants usos quotidians més:
- Mides de pantalla. Una pantalla de 40 cm d'amplada i 30 cm d'altura té una diagonal de √(1600 + 900) = √2500 = 50 cm.
- Distàncies en un mapa. Camina 3 km cap a l'est i després 4 km cap al nord, i acabaràs a 5 km del punt de sortida, en línia recta.
- Cantonades en escaire. La comprovació del 3, 4, 5 d'aquí dalt es fa servir per a parets, parterres de jardí i terres enrajolats.
Qui va descobrir primer el teorema de Pitàgores?
El teorema porta el nom del pensador grec Pitàgores, però la idea és molt més antiga. Una tauleta d'argila babilònica coneguda com a Plimpton 322, datada cap al 1800 aC, recull nombres de ternes pitagòriques més de 1000 anys abans que visqués Pitàgores, tal com explica un article sobre la recerca de la UNSW Sydney. Idees semblants apareixen també en les primeres matemàtiques de l'Índia i de la Xina.
Entrena aquestes a continuació