Equació punt-pendent, què és i quan fer-la servir en lloc de y = mx + n

Com s'escriu l'equació punt-pendent d'una recta?

Posa el pendent en lloc de m i les coordenades d'un punt que coneguis en lloc de x₁ i y₁. Deixa x i y com a lletres. Representen tots els altres punts de la recta. Fes servir l'equació punt-pendent quan coneixes un punt de la recta i el seu pendent.

Exemple

Escriu la recta que passa per (2, 3) i té pendent 2.

1. El punt dona x₁ = 2 i y₁ = 3.
2. El pendent dona m = 2.
3. Substitueix: y − 3 = 2(x − 2).

Ja està, no hi ha res a simplificar. Si vols assegurar-te'n, comprova un segon punt. Des de (2, 3), un pas a la dreta i dos cap amunt et porten a (3, 5). Substitueix aquests nombres: a l'esquerra, 5 − 3 = 2, i a la dreta, 2(3 − 2) = 2. Coincideixen.

Fixa't que (2, 3) apareix dins de la mateixa equació. Quan dibuixis la recta, pots posar el llapis primer en aquest punt i continuar a partir d'aquí.

Com es troba l'equació punt-pendent a partir de dos punts?

Calcula primer el pendent amb m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Després agafa qualsevol dels dos punts i substitueix-lo a y − y₁ = m(x − x₁) juntament amb aquest pendent. Tant és quin punt triïs. Les equacions semblen diferents, però un cop simplificades totes dues descriuen la mateixa recta.

Exemple

Troba la recta que passa per (1, −2) i (4, 7).

1. Pendent: m = (7 − (−2)) : (4 − 1) = 9 : 3 = 3
2. Amb (1, −2): y − (−2) = 3(x − 1), és a dir, y + 2 = 3(x − 1)
3. Amb (4, 7): y − 7 = 3(x − 4)

Si desenvolupes qualsevol de les dues, obtens y = 3x − 5. Val la pena saber-ho abans de corregir els deures amb el solucionari. Si un alumne ha fet servir (4, 7) i el solucionari ha fet servir (1, −2), veuràs dues equacions diferents, i cap no està malament.

Per què un punt negatiu canvia els signes?

La fórmula resta les coordenades del punt. Si una coordenada és negativa, acabes restant un nombre negatiu, i això es converteix en una suma. Així, el punt (−4, −1) dona y + 1 i x + 4. Escriure els parèntesis sencers abans de simplificar és la manera més senzilla d'evitar que se t'escapi un signe canviat.

Exemple

Escriu la recta que passa per (−4, −1) i té pendent 1/2.

1. Amb parèntesis: y − (−1) = 1/2(x − (−4))
2. Simplificada: y + 1 = 1/2(x + 4)

També funciona al revés. Si et donen y + 5 = −2(x − 6), el punt de la recta és (6, −5), no (6, 5). Sigui quin sigui el signe que veus dins l'equació, la coordenada té el contrari.

Com es passa de l'equació punt-pendent a l'explícita?

Desenvolupa el parèntesi i passa el nombre del costat esquerre a l'altre costat perquè la y quedi sola. El que obtens és l'equació explícita, y = mx + n. El pendent no canvia en fer el pas, i el nombre que queda sol al final és l'ordenada a l'origen, el punt on la recta talla l'eix y.

Exemple

Passa y − 3 = 2(x − 2) a forma explícita.

1. Desenvolupa el parèntesi: y − 3 = 2x − 4
2. Suma 3 als dos costats: y = 2x − 1

El pendent continua sent 2, i la recta talla l'eix y a (0, −1). Pots veure aquest punt a la gràfica de més amunt. Fer-ho al revés és igual de ràpid. Agafa y = −3x + 5, tria x = 1 i obtens y = 2. El punt (1, 2) i el pendent −3 donen y − 2 = −3(x − 1).

Quina forma convé fer servir?

Fes servir la forma que encaixi amb les dades que ja tens.

• L'equació punt-pendent, quan tens un punt i el pendent, o dos punts.
• L'equació explícita, quan vols llegir el pendent i l'ordenada a l'origen o dibuixar la gràfica.
• L'equació general, Ax + By + C = 0, quan necessites els punts on la recta talla els dos eixos.

Molts professors volen la resposta final en la forma y = mx + n. Res no t'impedeix començar amb l'equació punt-pendent i passar-la a explícita al final.

D'on surt la fórmula punt-pendent?

És la fórmula del pendent, reordenada. Tria un punt fix (x₁, y₁) d'una recta i qualsevol altre punt (x, y) de la mateixa recta. El pendent entre tots dos és m = (y − y₁) : (x − x₁). Multiplica els dos costats per (x − x₁) i tens y − y₁ = m(x − x₁).

Exemple

Continuem amb la recta que passa per (2, 3) amb pendent 2 i comprovem el punt (5, 9). El pendent de (2, 3) a (5, 9) és (9 − 3) : (5 − 2) = 6 : 3 = 2. És el mateix pendent, així que (5, 9) és a la recta. L'equació punt-pendent diu exactament això: 9 − 3 = 2(5 − 2).

El llibre de text gratuït OpenStax Elementary Algebra 2e dedueix la fórmula de la mateixa manera. Després la fa servir per a rectes que passen per dos punts i per a rectes paral·leles i perpendiculars, que és just el que veurem a l'apartat següent.

Com es fa servir l'equació punt-pendent amb rectes paral·leles i perpendiculars?

Una recta paral·lela té el mateix pendent que l'original. Una recta perpendicular té el pendent invers i oposat, així que gires la fracció i li canvies el signe. Un pendent de 2 passa a ser −1/2, i un pendent de −3/4 passa a ser 4/3. Quan tinguis el nou pendent, posa'l a l'equació punt-pendent amb el punt que et donen.

Exemple

Troba la recta que passa per (2, 3) i és perpendicular a y = 2x − 1.

1. El pendent original és 2, o sigui, 2/1.
2. Gira'l i canvia-li el signe: −1/2.
3. Equació punt-pendent: y − 3 = −1/2(x − 2)
4. Equació explícita: y = −1/2x + 4

Comprovació ràpida amb x = 2: −1/2 · 2 + 4 = 3, que és el valor de y del nostre punt. Per a una paral·lela que passi per (6, 0), mantén el pendent 2: y − 0 = 2(x − 6), és a dir, y = 2x − 12.

Es pot escriure qualsevol recta en forma punt-pendent?

Gairebé totes. L'excepció és la recta vertical. Tots els seus punts tenen el mateix valor de x, així que l'avanç horitzontal és 0, i calcular el pendent voldria dir dividir entre zero. Per això una recta vertical que passa per (3, 1) s'escriu x = 3. Les rectes horitzontals no donen cap problema, perquè el seu pendent és simplement 0.

Exemple

Agafa la recta horitzontal que passa per (1, 4). En forma punt-pendent queda y − 4 = 0(x − 1). Zero per qualsevol nombre dona zero, així que l'equació es redueix a y − 4 = 0, és a dir, y = 4.

Com es pot practicar l'equació punt-pendent?

La soltesa amb les rectes s'aconsegueix veient-ne moltes. Al joc de funcions lineals lluites responent preguntes sobre rectes. Una ronda et pot demanar el pendent de (−2, 2) a (0, −6), i si l'encertes, el teu atac fa diana. Aquesta dona (−6 − 2) : (0 − (−2)) = −8 : 2 = −4.

Passar d'una forma a l'altra és cada vegada una petita equació. Si és aquí on t'encalles, unes quantes rondes del joc d'equacions t'ajudaran. Faràs servir els mateixos passos cada cop que aïllis alguna cosa en una fórmula.

La lletra del pendent també canvia d'un país a l'altre. A Catalunya es fa servir m, com en anglès, però en altres països veuràs k o a. Sigui quina sigui la lletra, el nombre davant del parèntesi és el pendent, i els nombres de dins del parèntesi surten d'un punt de la recta.

Un punt i un pendent fixen la recta

Un sol punt i un pendent determinen del tot una recta, i l'equació punt-pendent ho escriu directament. Substitueix amb cura, mantén els parèntesis fins que tinguis clars els signes i comprova el resultat amb un segon punt. Després, per arribar a y = mx + n només et falten dos passos curts.