دائرة الوحدة دائرة نصف قطرها 1، مرسومة حول النقطة (0, 0). قد تبدو جدولًا آخر عليك حفظه عن ظهر قلب، لكنها في الحقيقة فكرة واحدة. وبمجرد أن ترى هذه الفكرة، تستطيع أن تعيد بناء كل قيمة على الدائرة في ثوانٍ، من غير أن تحفظ قائمة طويلة من الأعداد.
ما هي دائرة الوحدة؟
دائرة الوحدة دائرة نصف قطرها 1 تمامًا ومركزها نقطة الأصل (0, 0). كل زاوية، تُقاس عكس اتجاه حركة عقارب الساعة بدءًا من الجزء الموجب لمحور السينات، تقع على نقطة واحدة من الدائرة. وإحداثيا هذه النقطة دائمًا (cos θ, sin θ). إذن الإحداثي x هو جيب تمام الزاوية، والإحداثي y هو جيبها.
مثال
خذ زاوية قياسها 30°. ارسم خطًا من المركز بزاوية 30° فوق محور السينات حتى يلتقي بالدائرة. النقطة التي يصل إليها هي (√3/2, 1/2)، أي تقريبًا (0.866, 0.5). وهذا يخبرك بأمرين في آن واحد. جيب تمام 30° يساوي √3/2، وجيب 30° يساوي 1/2.
وكل نقطة على الدائرة تحقق أيضًا المعادلة x² + y² = 1. تحقّق من ذلك بنقطة 30°. (√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1. هذه المعادلة هي نظرية فيثاغورس في ثوب آخر، لأن نصف القطر هو الضلع الأطول في مثلث قائم الزاوية ضلعاه x وy.
لماذا يكون جيب التمام هو الإحداثي x والجيب هو الإحداثي y؟
كثير من المتعلمين يعرفون نسب الجيب وجيب التمام والظل، لكنهم لا يرون أين تدخل الدائرة في الأمر. ارسم مثلثًا قائم الزاوية داخل الدائرة، يكون نصف القطر ضلعه الأطول (الوتر). يمتد الضلع السفلي على محور السينات، ويصعد الضلع الرأسي حتى النقطة الواقعة على الدائرة.
جيب التمام هو الضلع المجاور مقسومًا على الوتر. وفي دائرة الوحدة يساوي الوتر 1، لذلك يكون جيب التمام ببساطة طول الضلع السفلي، أي الإحداثي x. وبالطريقة نفسها، الجيب هو الضلع المقابل مقسومًا على 1، أي الارتفاع، وهو الإحداثي y. الدائرة تلغي القسمة فقط.
لماذا تستخدم دائرة الوحدة الراديان؟
تستخدم دائرة الوحدة الراديان لأنه عندما يكون نصف القطر 1، يكون قياس الزاوية بالراديان هو بالضبط طول القوس الذي تقطعه حول الدائرة. الدورة الكاملة 360°، ومحيط الدائرة كاملًا 2π. إذن 360° تساوي 2π راديان، و180° تساوي π راديان.
مثال
لتحويل الدرجات إلى راديان، اضرب في π واقسم على 180. في حالة 60° يعطي ذلك 60 × π / 180 = π/3. وللعودة، اضرب في 180 واقسم على π. إذن π/4 راديان تساوي 180 / 4 = 45°.
زوايا مثل π/8 تربك المتعلمين كثيرًا لأنها لا تظهر في الجدول المعتاد. والحيلة أن تفكر بأجزاء من نصف دورة. π نصف دورة، وπ/4 ربع نصف الدورة هذا (45°)، وπ/8 نصف π/4، أي 22.5°. ضعها في منتصف المسافة بين 0 ونقطة 45°.
والراديان مهم لاحقًا أيضًا. ففي التفاضل والتكامل، لا تعمل قواعد الجيب وجيب التمام بهذه البساطة إلا عندما تكون الزوايا بالراديان. ولهذا ينتقل المعلمون إلى الراديان بمجرد ظهور دائرة الوحدة.
كيف تتذكر دائرة الوحدة من غير أن تحفظها؟
تحتاج فقط إلى قيم 0° و30° و45° و60° و90°. وكل ما سواها على الدائرة صورة معكوسة لهذه القيم الخمس. إليك ثلاث طرق لإعادة بنائها، ولا تعتمد أي منها على عبارة في لغة بعينها. اختر الطريقة التي تبدو لك أكثر طبيعية.
أعد بناءها من مثلثين
اقطع مربعًا على طول قطره، فتحصل على مثلث قائم الزاوية فيه زاويتان قياس كل منهما 45°، لذلك ضلعاه القصيران متساويان. اجعل الضلع الأطول 1، مثل نصف القطر. عندها يجب أن يحقق الضلعان القصيران x² + y² = 1، ومع x = y يعني ذلك أن كلًّا منهما يساوي √2/2. إذن نقطة 45° هي (√2/2, √2/2).
ارسم الآن مثلثًا متساوي الأضلاع طول ضلعه 2 واقطعه نصفين. تحصل على مثلث زواياه 30° و60° و90°، وأضلاعه 1 و√3 و2. اقسم كل ضلع على 2 ليصبح الضلع الأطول 1. تصبح الأضلاع 1/2 و√3/2 و1، وهذا يعطيك نقطتي 30° و60°.
استخدم نمط الجذور التربيعية
اكتب الأعداد 0 و1 و2 و3 و4 تحت الزوايا 0° و30° و45° و60° و90°. خذ الجذر التربيعي لكل عدد واقسمه على 2. هذا الصف يعطيك جيب كل زاوية. واقرأ الصف نفسه بالعكس لتحصل على جيب التمام.
- الجيب للزوايا 0° و30° و45° و60° و90°: √0/2 = 0، √1/2 = 1/2، √2/2، √3/2، √4/2 = 1
- جيب التمام للزوايا نفسها: √4/2 = 1، √3/2، √2/2، √1/2 = 1/2، √0/2 = 0
عُدّها على يدك
ارفع يدك اليسرى وباطن كفك نحوك. يمثل الإبهام 90°، ثم السبابة 60°، والوسطى 45°، والبنصر 30°، والخنصر 0°. لتجد قيم زاوية ما، اثنِ إصبعها.
عُدّ الأصابع الواقعة في جهة الخنصر من الإصبع المثني، وخذ الجذر التربيعي لهذا العدد واقسمه على 2. هذا يعطيك الجيب. والأصابع الواقعة في جهة الإبهام تعطيك جيب التمام بالطريقة نفسها.
في حالة 30°، اثنِ البنصر. يوجد إصبع واحد (الخنصر) في جهة الخنصر، فالجيب يساوي √1/2 = 1/2. وتوجد ثلاثة أصابع في جهة الإبهام، فجيب التمام يساوي √3/2.
كل طريقة تعطي النقاط الخمس نفسها. وبضع جولات في لعبة حساب المثلثات تكشف لك بسرعة هل تستطيع استرجاع قيم الجيب وجيب التمام تحت ضغط زمني بسيط. التدريب القصير المتكرر بهذا الشكل يثبّت القيم في الذاكرة أفضل بكثير من جلسة واحدة طويلة.
هل تحتاج إلى حفظ دائرة الوحدة كلها؟
لا. تحتاج إلى الربع الأول (من 0° إلى 90°) وإلى طريقة موثوقة لعكسه. المتعلمون الذين يحفظون الجدول كاملًا من أجل اختبار ينسونه غالبًا بعد بضعة أسابيع. أما الذين يفهمون المثلثات والانعكاسات فيستطيعون إعادة بنائه في أي وقت، وهذا ما تطلبه فعلًا الموضوعات اللاحقة مثل التفاضل والتكامل.
كيف تتغير الإشارات في كل ربع؟
للدائرة أربعة أرباع. في كل ربع، تطابق القيم المطلقة للإحداثيين قيم زاوية من الربع الأول، ولا تتغير إلا الإشارات. في الربع الأول يكون x وy كلاهما موجبين. وفي الثاني يكون x سالبًا. وفي الثالث يكون كلاهما سالبين. وفي الرابع يكون y سالبًا.
مثال
أوجد نقطة 150°. تقع في الربع الثاني، وينقصها 30° لتبلغ 180°. إذن هي الصورة المعكوسة لنقطة 30° بالنسبة إلى محور الصادات. نقطة 30° هي (√3/2, 1/2). وعكسها يجعل الإحداثي x سالبًا، فتكون نقطة 150° هي (−√3/2, 1/2).
- الربع الأول (من 0° إلى 90°): x موجب، وy موجب
- الربع الثاني (من 90° إلى 180°): x سالب، وy موجب
- الربع الثالث (من 180° إلى 270°): x سالب، وy سالب
- الربع الرابع (من 270° إلى 360°): x موجب، وy سالب
للتحقق السريع، تخيّل النقطة على رسم بياني عادي. إذا كانت يسار محور الصادات فإن x سالب، وإذا كانت تحت محور السينات فإن y سالب. لا تحتاج إلى حفظ هذه القائمة إذا استطعت أن تتخيل موقع النقطة.
ما هو الظل على دائرة الوحدة؟
ظل الزاوية هو الإحداثي y مقسومًا على الإحداثي x، أي tan θ = sin θ / cos θ. في حالة 60° يساوي ذلك (√3/2) ÷ (1/2) = √3، أي نحو 1.732. وعند 90° و270° يكون الإحداثي x مساويًا لـ 0، ولا يمكن القسمة على 0، لذلك يكون الظل غير معرّف عند هاتين الزاويتين.
فيمَ تُستخدم دائرة الوحدة؟
دائرة الوحدة هي السبب في أن الجيب وجيب التمام يصلحان لأي زاوية، لا للزوايا داخل المثلث القائم فقط. وهذا يجعلها الأساس لكل ما يتكرر أو يدور. فالموجات الصوتية، والموجات الضوئية، والتيار المتردد، وحركة البندول، وعقارب الساعة، كلها توصف بالجيب وجيب التمام.
مثال
تخيّل نقطة تتحرك حول الدائرة بسرعة ثابتة. يرتفع ارتفاعها إلى 1، ثم ينخفض إلى −1، ثم يعود من جديد، في موجة ناعمة. ارسم هذا الارتفاع مقابل الزمن فتحصل على منحنى دالة الجيب. يستخدم المهندسون هذه الفكرة نفسها لوصف الاهتزازات، ويستخدمها مطورو الألعاب والرسوم المتحركة لتدوير الأشكال على الشاشة.
ربع واحد ومثلثان يعطيانك الدائرة كلها
إليك الزوايا الرئيسية مع إحداثياتها. استخدم القائمة مرجعًا، لكن حاول أن تعيد بناء كل سطر بالمثلثين أو بحيلة اليد قبل أن تنظر.
- 0° (0): (1, 0)، tan θ = 0
- 30° (π/6): (√3/2, 1/2)، tan θ = √3/3
- 45° (π/4): (√2/2, √2/2)، tan θ = 1
- 60° (π/3): (1/2, √3/2)، tan θ = √3
- 90° (π/2): (0, 1)، tan θ غير معرّف
- 120° (2π/3): (−1/2, √3/2)، tan θ = −√3
- 135° (3π/4): (−√2/2, √2/2)، tan θ = −1
- 150° (5π/6): (−√3/2, 1/2)، tan θ = −√3/3
- 180° (π): (−1, 0)، tan θ = 0
- 210° (7π/6): (−√3/2, −1/2)، tan θ = √3/3
- 225° (5π/4): (−√2/2, −√2/2)، tan θ = 1
- 240° (4π/3): (−1/2, −√3/2)، tan θ = √3
- 270° (3π/2): (0, −1)، tan θ غير معرّف
- 300° (5π/3): (1/2, −√3/2)، tan θ = −√3
- 315° (7π/4): (√2/2, −√2/2)، tan θ = −1
- 330° (11π/6): (√3/2, −1/2)، tan θ = −√3/3
إذا بدا لك سطر صعبًا، فارجع إلى الربع الأول، وأوجد الزاوية المقابلة، وحدّد الإشارات من الربع. هذه العادة الواحدة تغنيك عن القائمة كلها.
تمرّن على هذه تاليًا