ما العدد الأولي؟
هل العدد 1 عدد أولي؟ لا. العدد الأولي هو عدد طبيعي له قاسمان مختلفان بالضبط، هما 1 والعدد نفسه. فمثلًا، 7 عدد أولي لأن 1 و7 فقط يقسمانه دون باقٍ. أما العدد 1 فله قاسم واحد فقط، لذلك لا يحقق هذه القاعدة. وهو ليس عددًا مركبًا أيضًا، وهذا يضع 1 في مجموعة خاصة به.
هل العدد 1 عدد أولي؟
لا، العدد 1 ليس عددًا أوليًا. فالعدد الأولي يحتاج إلى قاسمين مختلفين بالضبط، و1 له قاسم واحد فقط. وهو ليس عددًا مركبًا أيضًا، لأن الأعداد المركبة لها أكثر من قاسمين. لذلك يصنّف الرياضيون العدد 1 على أنه ليس أوليًا ولا مركبًا. وأصغر عدد أولي هو 2، وقاسماه 1 و2.
مثال
إليك قواسم الأعداد من 1 إلى 6.
- العدد 1 له قاسم واحد (1)، لذلك ليس أوليًا ولا مركبًا.
- العدد 2 له قاسمان (1 و2)، لذلك هو أولي.
- العدد 3 له قاسمان (1 و3)، لذلك هو أولي.
- العدد 4 له ثلاثة قواسم (1 و2 و4)، لذلك هو مركب.
- العدد 5 له قاسمان (1 و5)، لذلك هو أولي.
- العدد 6 له أربعة قواسم (1 و2 و3 و6)، لذلك هو مركب.
العدد 1 وحده له قاسم واحد. كل عدد أولي له قاسمان بالضبط، وكل عدد مركب له ثلاثة قواسم أو أكثر.
لنرَ ذلك بالنقاط
جرّب هذا بنقاط على الورق أو بأشياء صغيرة مثل الأزرار. يمكن ترتيب ست نقاط في مستطيل عدد صفوفه 2 وفي كل صف 3 نقاط، لذلك 6 عدد مركب. أما سبع نقاط فلا تكوّن إلا صفًا واحدًا من 7 نقاط مهما حاولت، لذلك 7 عدد أولي. ومع نقطة واحدة لا يوجد شيء نرتبه أصلًا، وهذا يبيّن بطريقة أخرى أن 1 يتصرف بشكل مختلف.
لماذا يظن كثيرون أن 1 عدد أولي
تعلّم كثير منا أن العدد الأولي هو «العدد الذي لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه». وبحسب هذه الصياغة يبدو أن 1 ينطبق عليه التعريف. لكن المشكلة أن 1 و«نفسه» هنا عدد واحد، فنحصل على قاسم واحد لا قاسمين. ولهذا تقول التعريفات الدقيقة إن له قاسمين مختلفين بالضبط، أو إنه «عدد طبيعي أكبر من 1» لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه.
وقد تقرأ على الإنترنت أن 1 «كان عددًا أوليًا في الماضي». لكن التاريخ الحقيقي أكثر تشابكًا. فالرياضيون الإغريق القدماء لم يعدّوا 1 عددًا أصلًا، واختلف الرياضيون اللاحقون حوله. وكما توضح Scientific American في مقالها عن تاريخ هذا السؤال، ظل عالم الرياضيات البريطاني ج. هـ. هاردي يدرج 1 ضمن الأعداد الأولية في الطبعات الأولى من كتابه الدراسي، ثم غيّر ذلك في عام 1938. واليوم يتفق الرياضيون على أن 1 ليس عددًا أوليًا.
وحتى الكبار الذين درسوا الرياضيات لسنوات يترددون هنا أحيانًا. فإذا قال طفلك إن 1 عدد أولي وعُدّت إجابته خاطئة، فتفكيره لم يكن سخيفًا. كل ما في الأمر أن القاعدة التي تذكّرها كانت تنقصها تفصيلة صغيرة.
هل العدد 2 عدد أولي؟
نعم. العدد 2 هو أصغر عدد أولي، وهو العدد الأولي الزوجي الوحيد. فكل عدد زوجي آخر يقبل القسمة على 2، وهذا يعطيه ثلاثة قواسم على الأقل (1 و2 والعدد نفسه). لذلك بعد 2 يكون كل عدد أولي فرديًا، مع أن كثيرًا من الأعداد الفردية مركبة.
هل العدد 0 عدد أولي؟
لا. الصفر ليس أوليًا ولا مركبًا. فكل عدد صحيح ما عدا 0 يقسم 0 دون باقٍ، لذلك للعدد 0 قواسم أكثر بكثير من اثنين. ولا يُستخدم وصفا الأولي والمركب إلا مع الأعداد الطبيعية الأكبر من 1، وهذا يترك 0 و1 كليهما خارج هاتين المجموعتين.
كيف تعرف بسرعة إن كان العدد أوليًا؟
اقسم العدد على الأعداد الأولية الصغيرة فقط، بدءًا من 2 و3 و5 و7. ويمكنك التوقف عندما يصبح العدد الأولي الذي تختبره، مضروبًا في نفسه، أكبر من عددك. وإذا لم يقسمه أي من هذه الأعداد الأولية دون باقٍ، فالعدد أولي. ولأي عدد أقل من 100، يكفي اختبار 2 و3 و5 و7.
مثال
هل 91 عدد أولي؟
- إنه فردي، لذلك لا يقبل القسمة على 2.
- مجموع أرقامه 9 + 1 = 10. وهذا ليس من مضاعفات 3، لذلك لا يقبل القسمة على 3.
- لا ينتهي بـ 0 أو 5، لذلك لا يقبل القسمة على 5.
- جرّب 7. بما أن 7 × 13 = 91، فالعدد 91 ليس أوليًا.
هل 97 عدد أولي؟ إنه فردي، ومجموع أرقامه 16، ولا ينتهي بـ 0 أو 5. والقسمة تعطي 97 ÷ 7 = 13 والباقي 6. العدد الأولي التالي هو 11، و11 × 11 = 121 أكبر من 97 بالفعل. يمكنك التوقف هنا، إذن 97 عدد أولي.
لماذا يمكنك التوقف مبكرًا
القواسم تأتي في أزواج. للعدد 36 الأزواج هي 1 × 36 و2 × 18 و3 × 12 و4 × 9 و6 × 6. وفي كل زوج يكون أحد القاسمين 6 أو أصغر، لأن 6 × 6 = 36. لذلك إذا لم تجد قاسمًا حتى تلك النقطة، فلا يوجد قاسم بعدها أيضًا.
المرشّحات السريعة
- إذا انتهى العدد بـ 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8، فهو يقبل القسمة على 2. والعدد 2 نفسه هو الوحيد الأولي بينها.
- إذا كان مجموع الأرقام من مضاعفات 3، فالعدد يقبل القسمة على 3. والعدد 3 نفسه هو الوحيد الأولي بينها.
- إذا انتهى العدد بـ 0 أو 5، فهو يقبل القسمة على 5. والعدد 5 نفسه هو الوحيد الأولي بينها.
- بالنسبة إلى 7، اقسم مباشرة.
تأتي السرعة من رؤية أعداد كثيرة. وعندما تصبح هذه المرشّحات مألوفة، تحوّلها بضع جولات من اكتشاف الأعداد الأولية في سباق مع الوقت في Math Max إلى عادة، لأن كل إجابة صحيحة هي هجمة على المقاتل الآخر. واللعبة مجانية وتعمل في المتصفح، فلا تحتاج إلى تثبيت أي شيء.
ما الأعداد التي تبدو أولية وهي ليست كذلك؟
أعداد الفخ الكلاسيكية هي 51 و57 و91. فهي فردية، ولا تنتهي بـ 5، وتبدو أولية. لكن 51 = 3 × 17، و57 = 3 × 19، و91 = 7 × 13. ومعظم أعداد الفخ تكشفها قاعدة قابلية القسمة على 3 (مجموع الأرقام) أو قسمة سريعة على 7.
مثال
- 39 = 3 × 13. مجموع أرقامه 12، وهو من مضاعفات 3.
- 51 = 3 × 17. مجموع أرقامه 6، وهو من مضاعفات 3.
- 57 = 3 × 19. مجموع أرقامه 12، وهو من مضاعفات 3.
- 87 = 3 × 29. مجموع أرقامه 15، وهو من مضاعفات 3.
- 91 = 7 × 13. تكشفه القسمة على 7.
- 119 = 7 × 17. تكشفه القسمة على 7.
- 133 = 7 × 19. تكشفه القسمة على 7.
حتى الخبراء يقعون في الفخ
يُسمّى العدد 57 على سبيل المزاح «عدد غروتنديك الأولي»، نسبةً إلى قصة تقول إن عالم الرياضيات الشهير ألكسندر غروتنديك استخدمه ذات مرة مثالًا على عدد أولي.
وعندما حلّلت مدونة الرياضيات The Aperiodical نتائج لعبة «Is this prime?» على الإنترنت، تبيّن أن 51 ظُنّ عددًا أوليًا أكثر حتى من 57. كما عدّ كثير من اللاعبين 39 عددًا أوليًا. وأكثر عدد أولي وُصف خطأً بأنه مركب كان 59، فالأخطاء تحدث في الاتجاهين.
ووراء معظم هذه الزلات اختصاران خاطئان. الأول هو «الأعداد الفردية أولية»، وتنقضه الأعداد 9 و15 و21. والثاني هو «الأعداد التي تنتهي بـ 1 أو 3 أو 7 أو 9 أولية»، لكن هذه النهايات تستبعد فقط 2 و5 كقواسم.
الأعداد الأولية حتى 100
عند الشك، راجع القائمة. هناك 25 عددًا أوليًا أقل من 100: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71، 73، 79، 83، 89 و97.
ولا تنتهي هذه القائمة أبدًا، لأن عالم الرياضيات الإغريقي القديم إقليدس أثبت أن الأعداد الأولية لا نهاية لها.
قاسمان مختلفان: هذه هي القاعدة كلها
يحتاج العدد الأولي إلى قاسمين مختلفين بالضبط، و1 له قاسم واحد فقط، لذلك 1 ليس عددًا أوليًا. والقاعدة نفسها تفسر لماذا 2 عدد أولي ولماذا 0 ليس كذلك. ولتتحقق من عدد بسرعة، اختبر الأعداد الأولية الصغيرة، وتوقف عند الجذر التربيعي، وانتبه إلى الفخاخ مثل 51 و91.
تمرّن على هذه تاليًا