每個有限小數,以及每個無限循環的小數,都可以寫成分數。大部分的數,把小數化成分數只要三個簡短的步驟,遇到像0.333…這樣的循環小數,再多加一個技巧就好。下面會介紹這兩種方法、值得記住的小數清單,以及最常讓人出錯的地方。
怎麼把小數化成分數?
要把小數化成分數,就看小數有幾位,把小數點後面的數字寫在10、100或1,000上面當分子。一位小數的分母是10,兩位是100,三位是1,000。接著把分子和分母同時除以同一個數,把分數約分。
範例
把0.75化成分數。
- 數一數有幾位小數。0.75有兩位,所以分母是100。
- 把數字寫在分母上面。0.75 = 75/100。
- 約分。75和100都可以被25整除,得到3/4。
所以0.75 = 3/4。快速檢查的方法,是用紙筆或計算機算3除以4。你會再次得到0.75。
2.5化成分數是多少?
2.5有一位小數,所以變成25/10。兩個數都可以被5整除,得到5/2。你也可以把整數部分分開。2保持不變,0.5變成5/10,約分後是1/2。所以2.5 = 5/2 = 2 1/2。
0.125化成分數是多少?
0.125有三位小數,所以變成125/1,000。兩個數都可以被125整除,得到1/8。這個值得記住,因為八分之幾在食譜、測量和學校的練習題裡很常出現。
答案要寫成帶分數還是假分數?
兩種都對。1.25可以寫成5/4(假分數,分子比分母大),也可以寫成1 1/4(帶分數,有整數部分和分數部分)。有些地方的老師偏好其中一種寫法,所以要看題目的要求。要互相轉換時,5/4就是四個四分之一(一個整體)再加一個四分之一。
分數要怎麼約分?
要約分,就把分子和分母同時除以能整除兩者的最大的數,也就是最大公因數。如果沒辦法一眼看出來,就一直用2、5或10這類小的數去除,直到沒有其他數能同時整除兩者為止。當唯一能同時整除兩者的數是1,分數就約成最簡分數了。
範例
把0.36化成分數。它有兩位小數,所以一開始是36/100。兩個數都可以被4整除,得到9/25。這時9和25除了1以外沒有其他公因數,所以9/25就是最簡分數。
你也可以分小步驟來做。36/100除以2是18/50,再除以2是9/25。結果一樣。快速找出最大公因數本身就是一項技能,而最大公因數遊戲把它變成一個快速的挑戰。在做比較長的分數練習題之前,很適合拿來暖身。
哪些小數值得記起來?
有一小組小數會一再出現,知道它們對應的分數可以節省時間。其中包括二分之幾、四分之幾、五分之幾和八分之幾,再加上三分之幾的循環小數。記住這些,你常常不用寫下任何東西,就能在腦中把小數換成分數。
- 0.1 = 1/10
- 0.2 = 1/5
- 0.25 = 1/4
- 0.4 = 2/5
- 0.5 = 1/2
- 0.6 = 3/5
- 0.75 = 3/4
- 0.8 = 4/5
- 0.125 = 1/8
- 0.375 = 3/8
- 0.625 = 5/8
- 0.875 = 7/8
- 0.333… = 1/3
- 0.666… = 2/3
- 0.1666… = 1/6
- 0.111… = 1/9
範例
0.625是多少?如果你知道0.125 = 1/8,那0.625就是它的五倍,也就是5/8。像這樣用已經知道的事實,就能推出新的。經常使用,在兩種寫法之間來回轉換就會快得多,而在小數遊戲或分數遊戲裡玩幾回合,是培養這種速度的好玩方法。就算每天只花幾分鐘,也會讓上面的清單變得很熟悉。
循環小數怎麼化成分數?
如果小數點後面馬上就開始重複同樣的數字,就把重複的部分寫在同樣個數的9上面。一個數字重複,分母是9;兩個數字重複,分母是99;三個數字重複,分母是999。然後約分。所以0.777… = 7/9,而0.272727… = 27/99,約分後是3/11。
範例
把0.454545…化成分數。重複的部分是45,有兩個數字,所以分母是99。這樣得到45/99。兩個數都可以被9整除,所以答案是5/11。你可以用5除以11來檢查,會再次得到0.454545…。
如果循環從比較後面才開始,例如0.1666…,用9的規則就要多一個步驟。有一個永遠有效的方法,會用到一點代數:
- 把這個數叫做x。所以x = 0.1666…
- 乘以10,把不循環的數字移到小數點前面。10x = 1.666…
- 乘以100,把一整段循環也移過去。100x = 16.666…
- 用第三行減去第二行。循環的部分會互相抵消。90x = 15。
- 相除。x = 15/90,約分後是1/6。
0.333和1/3一樣嗎?
不一樣。剛好三位的0.333是333/1,000,比1/3小一點點。只有3無限重複下去的0.333…,才剛好等於1/3。寫循環小數時,要用三個點或在循環的數字上畫一條線,表示它會重複。否則它就是另一個數。
為什麼0.999…等於1?
很多人對這點感到意外。從1/3 = 0.333…開始。等號兩邊都乘以3。左邊得到3/3,也就是1。右邊得到0.999…。所以0.999… = 1。9的規則也得到同樣的結果,因為0.999… = 9/9 = 1。它不是一個比1小一點點的數,而是1的另一種寫法。
小數化分數時常犯哪些錯誤?
最常見的錯誤,是分母的0寫錯個數、忘了約分、漏掉整數部分,以及把截斷的小數當成循環小數。只要用分子除以分母來檢查答案,每一種錯誤都很容易發現。
範例
有個學生把0.05寫成5/10。那是0.5,大了十倍。0.05有兩位小數,所以分母是100。正確答案是5/100,約分後是1/20。
要注意這些:
- 10的次方寫錯。小數點後面的每一位都要數,包括0。0.05有兩位,不是一位。
- 沒有約分。75/100沒有錯,但還沒做完。應該寫成3/4。
- 漏掉整數部分。3.2是3 2/10,約分後是3 1/5,也就是16/5。它不是2/10。
- 把循環小數截斷。0.66是66/100 = 33/50,而0.666…是2/3。
哪些分數會變成循環小數?
一個最簡分數,如果分母除了2和5以外沒有其他質因數,化成小數就會是有限小數。如果分母有其他質因數,例如3、7或11,小數就會無限循環下去。這是在相除之前,先知道會得到什麼結果的快速方法。
範例
看看3/8。分母8是2 × 2 × 2,所以小數會結束。3/8 = 0.375。再看看1/6。分母6是2 × 3,而這個3代表小數會循環。1/6 = 0.1666…。同樣地,1/7 = 0.142857142857…,這六個數字會無限重複,因為7是2和5以外的質數。
這個規則也說明了為什麼上面兩種方法能涵蓋所有情況。有限小數來自分母只有2和5的分數,循環小數則來自其他所有分數。不管是哪一種,有限小數或循環小數,其實都是換了個樣子的分數。