为什么斜截式这么好用
方程一旦写成这种形式，就能直接读出斜率和起点，几秒钟就能画出直线。下面介绍怎样读懂斜截式，怎样由两点或其他形式求出它，以及最容易出错的地方。
怎样求直线的斜截式方程？
求斜截式需要两样东西，斜率k和截距b。先用两点求斜率，k = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)。再把其中一个点和斜率代入y = kx + b，解出b。最后把k和b换成你求出的数，写出方程。
例题
求经过点(1, 5)和(3, 9)的直线方程。
- 斜率：k = (9 − 5) ÷ (3 − 1) = 4 ÷ 2 = 2
- 代入点(1, 5)：5 = 2 × 1 + b，所以b = 3
- 方程：y = 2x + 3
- 用另一个点(3, 9)检验：2 × 3 + 3 = 9，正确。
最后这一步检验只需十秒钟，却能发现大多数错误，值得养成习惯。
斜率是分数怎么办？
斜率是分数非常正常，出现分数并不代表你算错了。取点(4, 0)和(−2, 4)。斜率为(4 − 0) ÷ (−2 − 4) = 4 ÷ (−6) = −2/3。再由0 = −2/3 × 4 + b得b = 8/3，所以y = −2/3x + 8/3。用(−2, 4)检验：4/3 + 8/3 = 12/3 = 4。
斜率要保留分数，不要写成四舍五入的小数，因为分数是精确值，检验时结果会刚好吻合。如果分数是让你变慢的地方，玩几局分数游戏，找等值分数和约分都会快很多。
在上面这一局中，7/10 = 70/100，因为分子和分母都乘了10。
y = kx + b中的k和b分别表示什么？
在y = kx + b中，k是斜率，b是截距。斜率表示x每增加1时y变化多少，也就是纵向变化量除以横向变化量。截距是x = 0时y的值，对应直线与y轴的交点(0, b)。
例题
在y = 3x − 2中，斜率是3，截距是−2。直线与y轴交于(0, −2)，每向右走1，就向上升3。在y = −2x + 4中，斜率是−2，所以每向右走1，直线就下降2，它与y轴交于(0, 4)。
教材OpenStax College Algebra 2e（英文）把斜率描述为“rise over run”，即纵向变化除以横向变化，把y轴截距描述为输入值为零时的点。斜率为正，直线从左到右上升；斜率为负，直线下降；不看符号时数越大，直线越陡。
用生活中的例子理解k和b
一支蜡烛高20 cm，每小时烧短2 cm。t小时后它的高度是h = −2t + 20。20是起始高度（b），−2是每小时的变化（k）。3小时后蜡烛高14 cm，10小时后就烧完了。很多同学觉得，把b看作起始值、把k看作每一步的变化，更容易理解。
怎样画斜截式直线的图像？
画y = kx + b的图像，先在y轴上找到点(0, b)。从这里按斜率走，也就是纵向变化除以横向变化。向右走横向变化那么多，向上走纵向变化那么多（斜率为负就向下），得到第二个点。过这两点画直线并向两端延长。
例题
画出y = 2x + 1的图像。
- 描出截距点(0, 1)。
- 斜率2就是2/1，所以向右走1，向上走2，到达点(1, 3)。
- 过(0, 1)和(1, 3)画直线。
斜率是−2/3这样的数时，就向右走3，向下走2。把分母当作横向的步数，可以一直落在方格的格点上，直线更容易画准。
怎样把Ax + By = C化成斜截式？
要把Ax + By = C这样的方程化成斜截式，就要把它解成用x表示y的形式。先把含x的项移到另一边，再把每一项都除以y前面的系数。这时x前面的系数就是斜率，单独的常数就是截距。
例题
把2x + 3y = 6化成斜截式。
- 两边同时减去2x：3y = −2x + 6
- 每一项都除以3：y = −2/3x + 2
斜率是−2/3，截距是2。常见的错误是直接从2x + 3y = 6中把斜率读成2。只有当y单独在等号一边时，这些数才表示斜率和截距。
点斜式还是斜截式？
点斜式y − y₁ = k(x − x₁)在已知一个点和斜率时很方便，因为可以马上写出来。对于点(1, 5)和斜率2，得到y − 5 = 2(x − 1)。展开并化简，y = 2x − 2 + 5，又回到了y = 2x + 3。两种形式表示的是同一条直线。
哪些直线不能写成斜截式？
竖直的直线不能写成斜截式。竖直直线上所有点的x都相同，横向变化为0，求斜率就要除以零。因此竖直直线的斜率不存在。经过x = 3的竖直直线直接写成x = 3。
例题
点(3, 1)和(3, 6)在一条竖直直线上。斜率将是(6 − 1) ÷ (3 − 3) = 5 ÷ 0，没有结果。所以这条直线是x = 3。除非它就是y轴本身，竖直直线永远不会与y轴相交，所以也没有可以代替b的截距。
水平的直线没有问题。点(−1, 4)和(5, 4)得出斜率0 ÷ 6 = 0，所以直线是y = 0x + 4，也就是y = 4。
斜截式最常见的错误有哪些？
斜截式的错误大多是小疏忽，而不是没弄懂。比如把点的坐标写反，斜率公式上下相减的顺序不一致，或者在y还没单独留在一边时就去读k和b。用原来的一个点检验最后的方程，几乎能发现所有这些错误。
每种疏忽的快速改正法
下面是反复出现的疏忽，以及各自的改正方法。
- 把点的x和y弄混。(5, 7)表示x = 5，y = 7。读的时候默念“先横后纵”。
- 改变相减的顺序。上面算9 − 5，下面就算3 − 1，两次都把同一个点放在前面。
- 把k和b弄反。在y = 4 + 3x中斜率仍然是3，因为不管位置在哪里，k都是x前面的数。
- 丢掉负号。在y = −x + 2中斜率是−1，不是1。
- 以为分数一定错了。3/4或−2/3这样的斜率和2一样有效。
练习斜截式，直到熟能生巧
要快速读懂直线，就得多看。在一次函数游戏中，每次攻击都是一道关于直线的题，你可以大量练习找斜率和截距，却完全不觉得在写作业。
求b其实也只是一个一步就能解的小方程。如果你在这一步变慢，方程游戏是很好的热身。
不同国家用的字母不一样。英语国家把同样的式子写成y = mx + b，法国和波兰写成y = ax + b，意大利写成y = mx + q，俄罗斯和中国一样写成y = kx + b。无论用什么字母，x前面的数总是斜率，单独的数总是直线与y轴交点的位置。
两个数就能描述任何一条不竖直的直线
任何不竖直的直线都能写成y = kx + b，所以两个数就足以完整描述它。斜率说明直线有多陡、朝哪个方向，截距说明它从哪里开始。求出这两个数，用一个点检验方程，剩下的就水到渠成了。