Doğru denklemi y = mx + n ve eğim adım adım

y = mx + n biçimi neden bu kadar kullanışlı

Denklem bu biçimde yazıldığında eğimi ve başlangıç noktasını doğrudan okuyabilir, doğruyu saniyeler içinde çizebilirsiniz. Aşağıda bu denklemi nasıl okuyacağınızı, iki noktadan ya da başka bir biçimden nasıl elde edeceğinizi ve en sık yapılan hataları bulacaksınız.

y = mx + n biçimindeki doğru denklemi nasıl bulunur?

Doğru denklemini bu biçimde bulmak için iki şeye ihtiyacınız var, eğim m ve y eksenini kesim noktası n. Eğimi iki noktadan m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) ile bulun. Sonra bir noktayı ve eğimi y = mx + n denkleminde yerine koyup n'yi bulun. Sonucu m ve n yerine kendi sayılarınızı yazarak verin.

Örnek

(1, 5) ve (3, 9) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulalım.

1. Eğim: m = (9 − 5) ÷ (3 − 1) = 4 ÷ 2 = 2
2. (1, 5) noktasını kullanın: 5 = 2 × 1 + n, yani n = 3
3. Denklem: y = 2x + 3
4. Diğer nokta (3, 9) ile kontrol edin: 2 × 3 + 3 = 9. Tutuyor.

Bu son kontrol on saniye sürer ve hataların çoğunu yakalar, bu yüzden alışkanlık hâline getirmeye değer.

Eğim kesirli çıkarsa ne olur?

Burada kesirler tamamen normaldir, kesir çıkması yanlış yaptığınız anlamına gelmez. (4, 0) ve (−2, 4) noktalarını alalım. Eğim (4 − 0) ÷ (−2 − 4) = 4 ÷ (−6) = −2/3 olur. Sonra 0 = −2/3 × 4 + n eşitliğinden n = 8/3 bulunur, yani y = −2/3x + 8/3. (−2, 4) ile kontrol: 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.

Eğimi yuvarlanmış bir ondalık sayı yerine kesir olarak bırakın, çünkü kesir kesin değerdir ve kontrol tam olarak tutar. Sizi yavaşlatan kısım kesirlerse, kesirler oyununda birkaç tur oynamak denk kesirleri bulmayı ve sadeleştirmeyi çok hızlandırır.

Yukarıdaki turda 7/10 = 70/100, çünkü hem pay hem payda 10 ile çarpılır.

y = mx + n denkleminde m ve n ne anlama gelir?

y = mx + n denkleminde m eğimdir, n ise doğrunun y eksenini kestiği noktayı verir. Eğim, x 1 arttığında y'nin ne kadar değiştiğini söyler, yani dikey değişimin yatay değişime oranıdır. n, x = 0 olduğunda y'nin aldığı değerdir, yani doğrunun y eksenini kestiği (0, n) noktasıdır.

Örnek

y = 3x − 2 doğrusunda eğim 3, n ise −2'dir. Doğru y eksenini (0, −2) noktasında keser ve sağa doğru her 1 birimlik adımda 3 birim yukarı çıkar. y = −2x + 4 doğrusunda eğim −2'dir, yani doğru sağa her adımda 2 birim aşağı iner ve y eksenini (0, 4) noktasında keser.

OpenStax College Algebra 2e ders kitabı (İngilizce) eğimi "rise over run", yani dikey değişimin yatay değişime oranı olarak, y eksenini kesim noktasını da girdi değerinin sıfır olduğu nokta olarak tanımlar. Pozitif eğimli doğru soldan sağa yükselir, negatif eğimli doğru alçalır ve sayı (işaretine bakmadan) ne kadar büyükse doğru o kadar diktir.

m ve n'yi günlük hayatta düşünmek

20 cm boyundaki bir mum her saat 2 cm kısalıyor. t saat sonraki boyu h = −2t + 20 olur. 20 başlangıç değeridir (n), −2 ise her saatteki değişimdir (m). 3 saat sonra mum 14 cm olur, 10 saat sonra tamamen biter. Birçok öğrenci n'yi başlangıç değeri, m'yi de her adımdaki değişim olarak düşünmeyi daha kolay bulur.

y = mx + n doğrusunun grafiği nasıl çizilir?

y = mx + n grafiğini çizmek için y eksenindeki (0, n) noktasından başlayın. Oradan eğimi dikey değişim bölü yatay değişim olarak kullanın. Yatay değişim kadar sağa, dikey değişim kadar yukarı (eğim negatifse aşağı) giderek ikinci noktayı bulun. İki noktadan geçen doğruyu çizip uzatın.

Örnek

y = 2x + 1 grafiğini çizelim.

1. y eksenini kestiği (0, 1) noktasını işaretleyin.
2. Eğim 2, yani 2/1 demektir, bu yüzden 1 sağa ve 2 yukarı gidin. (1, 3) noktasına ulaşırsınız.
3. (0, 1) ve (1, 3) noktalarından geçen doğruyu çizin.

−2/3 gibi bir eğimde 3 sağa ve 2 aşağı gidin. Paydayı yatay adım olarak kullanmak sizi kareli kâğıdın köşe noktalarında tutar, böylece doğruyu daha düzgün çizersiniz.

Ax + By = C biçimindeki denklem y = mx + n biçimine nasıl çevrilir?

Ax + By = C gibi bir denklemi y = mx + n biçimine çevirmek için denklemi y'ye göre çözün. x'li terimi diğer tarafa atın, sonra her terimi y'nin katsayısına bölün. Artık x'in katsayısı eğimdir, tek başına duran sayı da n'dir.

Örnek

2x + 3y = 6 denklemini çevirelim.

1. Her iki taraftan 2x çıkarın: 3y = −2x + 6
2. Her terimi 3'e bölün: y = −2/3x + 2

Eğim −2/3, n ise 2'dir. Sık yapılan bir hata, eğimi doğrudan 2x + 3y = 6 içinden 2 olarak okumaktır. Sayılar ancak y bir tarafta yalnız kaldığında eğimi ve n'yi gösterir.

Bir noktası ve eğimi bilinen doğru mu, y = mx + n mi?

Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemi y − y₁ = m(x − x₁), bir nokta ve eğim bildiğinizde çok işe yarar, çünkü hemen yazılabilir. (1, 5) noktası ve 2 eğimi için y − 5 = 2(x − 1) elde edilir. Parantezi açıp sadeleştirin, y = 2x − 2 + 5, ve yine y = 2x + 3 bulunur. İki biçim de aynı doğruyu anlatır.

Hangi doğrular y = mx + n biçiminde yazılamaz?

Dikey doğrular y = mx + n biçiminde yazılamaz. Dikey bir doğrunun bütün noktalarının x değeri aynıdır, bu yüzden yatay değişim 0 olur ve eğim sıfıra bölmek anlamına gelir. Bu nedenle dikey doğrunun eğimi tanımsızdır. x = 3'ten geçen dikey doğru kısaca x = 3 diye yazılır.

Örnek

(3, 1) ve (3, 6) noktaları dikey bir doğru üzerindedir. Eğim (6 − 1) ÷ (3 − 3) = 5 ÷ 0 olurdu, bunun sonucu yoktur. Yani doğru x = 3'tür. Dikey doğru, y ekseninin kendisi değilse y eksenini hiç kesmez, bu yüzden n yerine yazılacak bir kesim noktası da yoktur.

Yatay doğrularda sorun yoktur. (−1, 4) ve (5, 4) noktaları 0 ÷ 6 = 0 eğimini verir, yani doğru y = 0x + 4, kısaca y = 4 olur.

y = mx + n ile ilgili en sık yapılan hatalar nelerdir?

Bu konudaki hataların çoğu yanlış anlamadan değil, küçük dikkatsizliklerden kaynaklanır. Bir noktanın koordinatlarının yeri değiştirilir, eğim formülünün üstünde ve altında farklı sırayla çıkarma yapılır ya da y yalnız kalmadan m ve n okunur. Bitmiş denklemi baştaki noktalardan biriyle kontrol etmek bunların neredeyse hepsini yakalar.

Her hata için hızlı çözüm

İşte sürekli karşılaşılan hatalar ve her biri için kısa bir çözüm.

• Bir noktada x ile y'yi karıştırmak. (5, 7), x = 5 ve y = 7 demektir. Okurken "önce yatay, sonra dikey" deyin.
• Çıkarma sırasını değiştirmek. Üstte 9 − 5 yaptıysanız altta da 3 − 1 yapın, iki seferde de aynı nokta önce gelsin.
• m ile n'yi karıştırmak. y = 4 + 3x denkleminde eğim yine 3'tür, çünkü m nerede durursa dursun x'in katsayısıdır.
• Eksi işaretini unutmak. y = −x + 2 denkleminde eğim 1 değil, −1'dir.
• Kesir çıkınca yanlış olduğunu sanmak. 3/4 ya da −2/3 gibi eğimler de 2 kadar geçerlidir.

y = mx + n konusunu otomatik hâle gelene kadar çalışmak

Doğruları hızlı okumak, çok sayıda doğru görmekle gelir. Doğrusal fonksiyonlar oyununda her saldırı bir doğruyla ilgili bir sorudur, böylece ödev yapıyormuş gibi hissetmeden eğimi ve kesim noktasını bulma alıştırması yaparsınız.

n'yi bulmak da aslında tek adımlık küçük bir denklemdir. Yavaşladığınız yer bu adımsa, denklemler oyunu iyi bir ısınma olur.

Harfler ülkeden ülkeye değişir. İngilizce konuşulan ülkelerde aynı fikir y = mx + b, Fransa ve Polonya'da y = ax + b, Rusya'da y = kx + b, İtalya'da ise y = mx + q olarak yazılır. Harfler ne olursa olsun, x'in katsayısı her zaman eğimdir, tek başına duran sayı da doğrunun y eksenini kestiği yeri gösterir.

Dikey olmayan her doğruyu iki sayı anlatır

Dikey olmayan her doğru y = mx + n biçiminde yazılabilir, bu yüzden onu tamamen tanımlamak için iki sayı yeter. Eğim doğrunun ne kadar dik olduğunu ve hangi yöne gittiğini, n ise nereden başladığını söyler. Bu iki sayıyı bulun, denkleminizi bir noktayla kontrol edin, gerisi kendiliğinden gelir.