Räta linjens ekvation y = kx + m förklarad steg för steg

Varför formen y = kx + m är så användbar

När en ekvation står i den här formen kan du läsa av lutningen och startpunkten direkt och skissa linjen på några sekunder. Här nedan ser du hur du läser den, hur du tar fram den från två punkter eller från en annan form, och vilka misstag som oftast ställer till det.

Hur tar man fram räta linjens ekvation?

För att ta fram ekvationen y = kx + m behöver du två saker, riktningskoefficienten k och m-värdet, alltså var linjen skär y-axeln. Riktningskoefficienten räknar du ut från två punkter med k = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Sätt sedan in en punkt och k i y = kx + m och lös ut m. Skriv resultatet med dina tal i stället för k och m.

Exempel

Bestäm linjen genom punkterna (1, 5) och (3, 9).

1. Riktningskoefficient: k = (9 − 5) : (3 − 1) = 4 : 2 = 2
2. Använd punkten (1, 5): 5 = 2 · 1 + m, så m = 3
3. Ekvation: y = 2x + 3
4. Kontrollera med den andra punkten (3, 9): 2 · 3 + 3 = 9. Det stämmer.

Den sista kontrollen tar tio sekunder och fångar de flesta fel, så det lönar sig att göra den till en vana.

Vad händer om k-värdet är ett bråk?

Bråk är helt normala här, och ett bråk betyder inte att du har räknat fel. Ta punkterna (4, 0) och (−2, 4). Riktningskoefficienten är (4 − 0) : (−2 − 4) = 4 : (−6) = −2/3. Sedan ger 0 = −2/3 · 4 + m att m = 8/3, så y = −2/3x + 8/3. Kontroll med (−2, 4): 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.

Behåll k-värdet som bråk i stället för ett avrundat decimaltal, eftersom bråket är exakt och kontrollen går jämnt ut. Om det är bråken som bromsar dig gör några rundor i bråkspelet det mycket snabbare att förlänga och förkorta bråk.

I rundan ovan är 7/10 = 70/100, eftersom både täljare och nämnare multipliceras med 10.

Vad betyder k och m i y = kx + m?

I y = kx + m är k riktningskoefficienten och m talet som anger var linjen skär y-axeln. Riktningskoefficienten berättar hur mycket y ändras när x ökar med 1. Värdet m är y-värdet när x = 0, alltså punkten (0, m) där linjen skär y-axeln.

Exempel

I y = 3x − 2 är k = 3 och m = −2. Linjen skär y-axeln i (0, −2), och för varje steg på 1 åt höger går den 3 uppåt. I y = −2x + 4 är k = −2, så linjen går 2 nedåt för varje steg åt höger, och den skär y-axeln i (0, 4).

Läroboken OpenStax College Algebra 2e (på engelska) beskriver lutningen som "rise over run", alltså hur mycket linjen stiger delat med hur långt man går åt sidan, och skärningen med y-axeln som punkten där indatavärdet är noll. En positiv riktningskoefficient ger en linje som stiger från vänster till höger, en negativ ger en som sjunker, och ju större talet är (om man bortser från tecknet), desto brantare är linjen.

Ett vardagsexempel på k och m

Ett stearinljus är 20 cm högt och brinner ner 2 cm i timmen. Höjden efter t timmar är h = −2t + 20. Talet 20 är startvärdet (m), och −2 är förändringen varje timme (k). Efter 3 timmar är det 14 cm högt, och efter 10 timmar är det slut. Många elever tycker att det är lättare att tänka på m som startvärdet och k som förändringen per steg.

Hur ritar man en linje med y = kx + m?

För att rita y = kx + m börjar du i punkten (0, m) på y-axeln. Därifrån använder du riktningskoefficienten. Gå 1 steg åt höger och k steg uppåt (eller nedåt om k är negativt) för att hitta en andra punkt. Dra en rät linje genom båda punkterna och förläng den.

Exempel

Rita y = 2x + 1.

1. Markera punkten (0, 1) på y-axeln.
2. Riktningskoefficienten 2 betyder 2/1, så gå 1 åt höger och 2 uppåt. Då hamnar du i (1, 3).
3. Dra linjen genom (0, 1) och (1, 3).

För ett k-värde som −2/3 går du 3 åt höger och 2 nedåt. När du använder nämnaren som steget åt sidan hamnar du på rutnätets punkter, och linjen blir lättare att rita exakt.

Hur skriver man om en ekvation i allmän form till k-form?

För att skriva om en ekvation som Ax + By = C till formen y = kx + m löser du ut y. Flytta x-termen till andra sidan och dela sedan varje term med talet framför y. Talet framför x är nu riktningskoefficienten, och det ensamma talet är m-värdet.

Exempel

Skriv om 2x + 3y = 6.

1. Subtrahera 2x från båda leden: 3y = −2x + 6
2. Dela varje term med 3: y = −2/3x + 2

Här är k = −2/3 och m = 2. Ett vanligt misstag är att läsa av k som 2 direkt från 2x + 3y = 6. Talen betyder k och m först när y står ensamt på ena sidan.

Enpunktsformeln eller k-form?

Enpunktsformeln, y − y₁ = k(x − x₁), är praktisk när du känner till en punkt och riktningskoefficienten, eftersom du kan skriva upp den direkt. För punkten (1, 5) och k = 2 får du y − 5 = 2(x − 1). Multiplicera in och förenkla, y = 2x − 2 + 5, så är du tillbaka vid y = 2x + 3. Båda formerna beskriver samma linje.

Vilka linjer kan inte skrivas som y = kx + m?

Lodräta linjer kan inte skrivas som y = kx + m. Alla punkter på en lodrät linje har samma x, så steget åt sidan är 0 och riktningskoefficienten skulle kräva division med noll. Därför är riktningskoefficienten för en lodrät linje inte definierad. En lodrät linje genom x = 3 skrivs helt enkelt x = 3.

Exempel

Punkterna (3, 1) och (3, 6) ligger på en lodrät linje. Riktningskoefficienten skulle bli (6 − 1) : (3 − 3) = 5 : 0, och det har inget svar. Linjen är alltså x = 3. En lodrät linje skär heller aldrig y-axeln, om den inte är y-axeln själv, så det finns inget m-värde att sätta in.

Vågräta linjer fungerar fint. Punkterna (−1, 4) och (5, 4) ger k = 0 : 6 = 0, så linjen är y = 0x + 4, alltså bara y = 4.

Vilka är de vanligaste misstagen med y = kx + m?

De flesta misstag med y = kx + m är små slarvfel snarare än missförstånd. Man byter plats på koordinaterna i en punkt, subtraherar i olika ordning i täljaren och nämnaren i formeln för k, eller läser av k och m innan y står ensamt. Om du kontrollerar den färdiga ekvationen med en av de ursprungliga punkterna fångar du nästan alla.

Snabba lösningar på varje slarvfel

Här är misstagen som dyker upp gång på gång, med en snabb lösning för varje.

• Att blanda ihop x och y i en punkt. (5, 7) betyder x = 5 och y = 7. Säg "först åt sidan, sedan uppåt" när du läser.
• Att byta ordning i subtraktionen. Räknar du 9 − 5 i täljaren, räkna 3 − 1 i nämnaren, med samma punkt först båda gångerna.
• Att blanda ihop k och m. I y = 4 + 3x är k fortfarande 3, eftersom k är talet framför x, var det än står.
• Att tappa ett minustecken. I y = −x + 2 är k = −1, inte 1.
• Att tro att ett bråk måste vara fel. Riktningskoefficienter som 3/4 eller −2/3 är lika giltiga som 2.

Öva på y = kx + m tills det går av sig självt

Man blir snabb på att läsa av linjer genom att se många av dem. I spelet om linjära funktioner är varje attack en fråga om en linje, så du får massor av träning i att hitta k och m utan att det känns som läxor.

Att lösa ut m är dessutom bara en liten ekvation i ett steg. Om det är där du fastnar är ekvationsspelet en bra uppvärmning.

Bokstäverna skiljer sig mellan länder. I Sverige skriver vi y = kx + m, medan engelskspråkiga länder skriver y = mx + b. Där står m alltså för lutningen och inte för skärningen med y-axeln, så se upp när du läser engelska förklaringar. I Norge, Danmark, Frankrike och Polen skriver man y = ax + b, i Ryssland y = kx + b och i Italien y = mx + q. Oavsett bokstäver är talet framför x alltid riktningskoefficienten, och det ensamma talet visar var linjen skär y-axeln.

Två tal beskriver varje linje som inte är lodrät

Varje linje som inte är lodrät kan skrivas som y = kx + m, så två tal räcker för att beskriva den helt. Riktningskoefficienten säger hur brant den är och åt vilket håll den går, och m-värdet säger var den börjar. Hitta de två talen, kontrollera ekvationen med en punkt, så följer resten.