Целые числа на числовой прямой
На числовой прямой целые числа отмечены точками на равном расстоянии друг от друга. На них вы попадаете, когда считаете от 0 вперёд или назад. Числа вроде 1/2, 3,5 или √2 лежат в промежутках между ними, поэтому целыми не являются. Ниже разберём, как отличить целое число от нецелого, почему ноль тоже целое число и как на самом деле работают правила знаков.
Как понять, что число целое?
Число целое, если его можно записать без дроби и без дробной части. Оно может быть положительным, отрицательным или равным нулю. В учебнике OpenStax Prealgebra 2e (на английском языке) это сказано просто: целые числа состоят из натуральных чисел, противоположных им чисел и нуля. Значит, числа 7, −7 и 0 целые, а 7,5 нет.
Пример
Проверьте себя.
- Число −12 целое, потому что оно противоположно натуральному числу 12.
- Число 0 целое.
- Число 3,5 не целое, потому что у него есть дробная часть.
- Число 1/2 не целое.
- Число 8/2 целое, потому что 8/2 = 4.
- Число √9 целое, потому что √9 = 3.
- Число √2 не целое, потому что оно примерно равно 1,41.
Последние примеры учат полезной привычке. Сначала найдите значение, потом решайте. Число может выглядеть как дробь или корень и всё равно оказаться целым.
Является ли 0 целым числом?
Да, 0 целое число. Он находится в середине числовой прямой, между отрицательными и положительными целыми числами. Ноль не является ни положительным, ни отрицательным, об этом прямо говорится и в OpenStax. При этом ноль чётный, потому что 0 = 2 · 0, то есть он делится на 2 без остатка.
Отрицательные числа целые?
Отрицательное число целое, только если у него нет дробной части. Числа −5 и −100 целые. Числа −2,5 и −3/4 отрицательные, но не целые. Эта проверка работает для любого числа, какой бы у него ни был знак.
Чем целые числа отличаются от натуральных?
В российской школе натуральными называют числа, которые используют при счёте предметов: 1, 2, 3 и так далее. Ноль к ним не относится, и отрицательных чисел среди них нет. Целые числа включают натуральные числа, ноль и отрицательные числа −1, −2, −3 и так далее. Поэтому −4 целое число, но не натуральное. Ноль тоже целое число, но в российских учебниках он не натуральный. В некоторых странах и книгах ноль относят к натуральным числам, поэтому полезно уточнить, какое определение принято в школе вашего ребёнка.
Пример
Вот как основные множества чисел вкладываются друг в друга.
- Натуральные числа: 1, 2, 3, 4, …
- Целые неотрицательные числа (натуральные числа и ноль): 0, 1, 2, 3, 4, …
- Целые числа: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
- Рациональные числа: все числа, которые можно записать в виде дроби с целыми числителем и знаменателем, например 1/2, −3/4 и 7 (то есть 7/1)
Множество целых чисел математики обозначают буквой ℤ. Она происходит от немецкого слова Zahlen, что значит «числа». Множество натуральных чисел обозначают ℕ. И здесь есть небольшое разногласие: в России натуральный ряд начинается с 1, а во многих других странах и книгах с 0.
Где встречаются целые числа в жизни?
Целые числа появляются везде, где счёт идёт вверх и вниз от нулевой отметки. Температура ниже нуля, подземные уровни здания, глубина ниже уровня моря и разница забитых и пропущенных мячей у футбольной команды могут выражаться отрицательными целыми числами. В каждом случае 0 означает точку отсчёта, а не «ничего».
Пример
Утром температура −4 °C, а к обеду она поднимается на 7 градусов. Начните с −4 и отсчитайте 7 шагов вверх по числовой прямой: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. В обед будет 3 °C, то есть −4 + 7 = 3.
В наших домах этажи считают с первого, поэтому возьмём уровни здания относительно земли и примем уровень земли за 0. Подземная парковка на два уровня ниже находится на уровне −2, а смотровая площадка на пять уровней выше на уровне 5. Чтобы подняться с −2 до 5, лифт проходит 7 уровней, потому что 5 − (−2) = 7.
Как складывать и вычитать целые числа?
Чтобы сложить целые числа, представьте числовую прямую. Прибавляя положительное число, вы двигаетесь вправо, а прибавляя отрицательное, влево. Вычитание противоположно сложению, поэтому при вычитании отрицательного числа вы двигаетесь вправо. Вот почему, если отнять отрицательное число, ответ получается больше.
Пример
Вычислите −3 + 5. Начните с −3 и сделайте 5 шагов вправо. Вы пройдёте −2, −1, 0 и 1 и остановитесь на 2. Значит, −3 + 5 = 2.
Ещё несколько примеров.
- −6 + 2 = −4, потому что 2 шага вправо от −6 приводят к −4.
- −2 − 5 = −7, потому что 5 шагов влево от −2 приводят к −7.
- 4 − (−3) = 7, потому что вычесть −3 значит то же самое, что прибавить 3.
Почему при вычитании отрицательного числа ответ становится больше?
Вычитание отвечает на вопрос «какова разница?». Расстояние между 4 и −3 на числовой прямой равно 7 шагам, поэтому 4 − (−3) = 7. В OpenStax общее правило записано так: a − (−b) = a + b. Многие дети спотыкаются на −5 + 4: они видят знак плюс и ждут числа побольше. Если начать с −5 и сдвинуться на 4 шага вправо, видно, что ответ −1.
Почему минус на минус даёт плюс?
Когда вы умножаете два целых числа, ответ положительный, если знаки одинаковые, и отрицательный, если разные. Произведение двух отрицательных чисел положительно из-за одной закономерности. Каждый раз, когда первый множитель уменьшается на 1, ответ меняется на одну и ту же величину, и эта закономерность сохраняется, только если ответ становится положительным.
Пример
Посмотрите, что происходит с 3 · (−2), когда первый множитель каждый раз уменьшается на 1.
- 3 · (−2) = −6
- 2 · (−2) = −4
- 1 · (−2) = −2
- 0 · (−2) = 0
- (−1) · (−2) = 2
- (−2) · (−2) = 4
Каждый ответ на 2 больше предыдущего. Чтобы закономерность продолжилась после нуля, (−1) · (−2) должно равняться 2. Можно представить это и по-другому: умножение на −1 разворачивает вас на числовой прямой. Развернитесь дважды, и вы снова смотрите в ту же сторону.
Действует ли то же правило знаков при делении?
Да. (−12) : 3 = −4 и (−12) : (−3) = 4, правило про одинаковые знаки остаётся тем же. Но есть одно отличие. Сумма, разность и произведение двух целых чисел всегда целые, а частное не всегда. 8 : 2 = 4 целое число, а 7 : 2 = 3,5 нет.
Как научиться быстрее считать с целыми числами?
Скорость приходит, когда вы решаете много небольших примеров, пока числовая прямая не окажется у вас в голове. В игре с отрицательными числами каждая атака требует быстро посчитать пример с отрицательными числами, так что дети тренируют правила знаков, пока стараются победить в бою.
В этом раунде вычесть −17 значит то же, что прибавить 17, поэтому −1 − (−17) = −1 + 17 = 16.
Расстояние от числа до нуля называют модулем числа, поэтому модуль −5 равен 5. Обычно это следующая тема после целых чисел, и игра на модуль числа превращает её в серию быстрых раундов.
Целые числа можно получить, считая вперёд или назад
До каждого целого числа можно дойти, считая от 0: вправо к положительным числам и влево к отрицательным. Ноль стоит посередине и тоже входит в эту группу. Если ребёнок может представить себе такую числовую прямую, правила сложения, вычитания и умножения перестают быть правилами для зубрёжки и начинают обретать смысл.
Потренируй дальше это